الثنائية (نظرية الفئات)

في نظرية الفئات ، وهي فرع من الرياضيات ، تُعرَّف الازدواجية بأنها علاقة تناظر بين خصائص فئة C وخصائصها الثنائية للفئة المقابلة C  op . فعند إعطاء عبارة تتعلق بالفئة C ، يُمكننا، من خلال تبديل مصدر وهدف كل تشاكل ، بالإضافة إلى تبديل ترتيب تركيب تشاكلين، الحصول على عبارة ثنائية مقابلة تتعلق بالفئة المقابلة C op . ( تُركَّب C op بعكس كل تشاكل من C ). وبالتالي، فإن الازدواجية هي التأكيد على أن الصدق ثابت تحت تأثير هذه العملية على العبارات. بعبارة أخرى، إذا كانت العبارة S صحيحة بالنسبة إلى C ، فإن عبارتها الثنائية صحيحة بالنسبة إلى C op . كذلك، إذا كانت العبارة خاطئة بالنسبة إلى C ، فإن عبارتها الثنائية يجب أن تكون خاطئة بالنسبة إلى C op . (باختصار، تكون S صحيحة بالنسبة إلى C إذا وفقط إذا كانت عبارتها الثنائية صحيحة بالنسبة إلى C op ).

بالنظر إلى فئة ملموسة C ، غالبًا ما تكون الفئة المقابلة لها C op  مجردة. ولا يشترط أن تكون C  op  فئة ناتجة عن ممارسة رياضية. في هذه الحالة، تُوصف فئة أخرى D بأنها ثنائية مع C إذا كانت D و C op متكافئتين كفئتين .

في حالة كون C ونقيضها C ^op متكافئين، فإن هذه الفئة تكون ذاتية التناظر . ^{[ 1 ]}

نحن نعرّف اللغة الأولية لنظرية الفئات بأنها لغة من الدرجة الأولى ذات نوعين مع الكائنات والتشكلات كأنواع متميزة، إلى جانب علاقات الكائن كمصدر أو هدف للتشكل ورمز لتكوين تشكلين.

لنفترض أن σ هي أي عبارة في هذه اللغة. نشكل العبارة الثنائية σ ^op على النحو التالي:

1. قم بتبديل كل ظهور لكلمة "source" في σ مع كلمة "target".
2. قم بتبديل ترتيب التشكلات المكونة. أي استبدل كل ظهور لـ${\displaystyle g\circ f}$مع${\displaystyle f\circ g}$

بشكل غير رسمي، تنص هذه الشروط على أن ثنائي العبارة يتكون عن طريق عكس الأسهم والتركيبات .

الازدواجية هي الملاحظة التي تفيد بأن σ صحيحة لفئة ما C إذا وفقط إذا كانت σ ^op صحيحة لـ C ^op . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• التشكل${\displaystyle f\colon A\to B}$يكون أحادي الشكل إذا${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$يشير إلى${\displaystyle g=h}$بإجراء العملية المزدوجة، نحصل على العبارة التالية:${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$يشير إلى${\displaystyle g=h.}$هذا التشاكل المعكوس${\displaystyle f\colon B\to A}$هو، بحكم التعريف، تشاكل فوقي . باختصار، خاصية كونه تشاكلاً أحادياً هي خاصية مزدوجة لخاصية كونه تشاكلاً فوقياً.

بتطبيق الازدواجية، هذا يعني أن التشكل في فئة ما C هو شكل أحادي إذا وفقط إذا كان التشكل العكسي في الفئة المقابلة C ^op (المكون من عكس جميع التشكلات في C ) هو شكل فوقي.

• يأتي مثال على ذلك من عكس اتجاه المتباينات في علاقة الترتيب الجزئي . لذا، إذا كانت X مجموعة و ≤ علاقة ترتيب جزئي، فيمكننا تعريف علاقة ترتيب جزئي جديدة ≤ _جديدة بواسطة

x ≤ y _الجديد إذا وفقط إذا كان y ≤ x .

يُعدّ هذا المثال المتعلق بالترتيبات حالةً خاصة، إذ تُقابل الترتيبات الجزئية نوعًا معينًا من الفئات التي لا يمكن أن تحتوي فيها Hom( A , B ) (مجموعة جميع التشاكلات من A إلى B في فئة ما) إلا على عنصر واحد على الأكثر. في تطبيقات المنطق، يبدو هذا وصفًا عامًا جدًا للنفي (أي أن البراهين تسير في الاتجاه المعاكس). على سبيل المثال، إذا أخذنا معكوس الشبكة ، فسنجد أن التقاءات والوصلات تتبادل أدوارها. هذا شكل مجرد لقوانين دي مورغان ، أو للازدواجية المطبقة على الشبكات.

• النهايات والنهايات المشتركة مفاهيم مزدوجة.
• تُعدّ التليفات والتليفات المشتركة أمثلة على المفاهيم الثنائية في الطوبولوجيا الجبرية ونظرية التماثل . وفي هذا السياق، تُسمى هذه الثنائية غالبًا ثنائية إيكمان-هيلتون .

• الدالة المرافقة
• الغرض المزدوج
• الازدواجية (الرياضيات)
• الفئة المعاكسة
• ساحة السكان