مكعب ثماني السطوح

مكعب ثماني السطوح
يكتب	مادة صلبة أرخميدية
وجوه	14
الحواف	24
رؤوس	12
تكوين الرأس	3.4.3.4
مجموعة التماثل	تماثل ثماني السطوح تماثل رباعي السطوح${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$
زاوية ثنائية السطوح ( درجات )	حوالي 125 درجة
متعدد السطوح المزدوج	المعين الاثني عشري الوجوه
ملكيات	محدب ، توازن متجه، خاصية روبرت
شكل الرأس
شبكة

المكعب الثماني السطوح هو متعدد السطوح ذو 8 أوجه مثلثية و6 أوجه مربعة. يحتوي المكعب الثماني السطوح على 12 رأسًا متطابقًا ، مع مثلثين ومربعين يلتقيان عند كل منهما، و24 ضلعًا متطابقًا ، يفصل كل منها مثلثًا عن مربع. وعلى هذا النحو، فهو متعدد السطوح شبه المنتظم ، أي مجسم أرخميدس ليس فقط متعديًا للرؤوس ولكن أيضًا متعديًا للحواف . ^[1] وهو متساوي الأضلاع شعاعيًا. متعدد السطوح المزدوج هو الاثني عشر وجهًا المعين .

يمكن إنشاء المكعب الثماني السطوح بعدة طرق:

• يمكن البدء في بنائه عن طريق ربط قاعدتين مثلثتين منتظمتين ببعضهما البعض. وهذا يشبه أحد أشكال جونسون الصلبة، المثلث المستقيم . والفرق هو أن المثلث المستقيم يتم بناؤه بحيث تكون إحدى القباب ملتوية بحيث تكون الوجوه المتعددة الأضلاع المتشابهة متجاورة، في حين أن المكعب ثماني السطوح ليس كذلك. ونتيجة لذلك، يمكن أيضًا تسمية المكعب ثماني السطوح بالمثلث الجيروسكوبي . ^[2]
• يمكن البدء في إنشائه من مكعب أو ثماني السطوح منتظم ، وذلك بتحديد نقاط المنتصف لحوافهما، وقطع جميع الرؤوس عند تلك النقاط. تُعرف هذه العملية بالتقويم ، مما يجعل مكعب ثماني السطوح يُسمى المكعب المُقوّم وثماني السطوح المُقوّم . ^[3]
• هناك طريقة بديلة تتمثل في قطع جميع الرؤوس، والمعروفة باسم القطع . ويمكن البدء في ذلك من رباعي السطوح المنتظم ، وقطع الرؤوس وتنعيم الحواف. وتُعرف هذه العملية باسم التشكيل ، مما يجعل المكعب ثماني السطوح يسمى رباعي السطوح المائل . ^[4]

من كل هذه الإنشاءات، يحتوي المكعب ثماني السطوح على 14 وجهًا: 8 مثلثات متساوية الأضلاع و6 مربعات. كما يحتوي أيضًا على 24 ضلعًا و12 رأسًا. ^[5]

الإحداثيات الديكارتية لرؤوس مكعب ثماني السطوح بطول حافة مركزها الأصل هي: ^[6]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ $${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0),\qquad (\pm 1,0,\pm 1),\qquad (0,\pm 1,\pm 1).}$$

يمكن تحديد مساحة سطح مكعب ثماني السطوح عن طريق جمع مساحة كل وجوهه المتعددة الأضلاع. يمكن تحديد حجم مكعب ثماني السطوح عن طريق تقطيعه إلى قبتين مثلثتين منتظمتين، ومجموع حجمهما. بما أن طول الحافة ، فإن مساحة سطحه وحجمه هما: ^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle أ}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 9.464a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\approx 2.357a^{3}.\end{aligned}}}$$

يمكن حساب الزاوية ثنائية السطوح لمكعب ثماني السطوح باستخدام زاوية القباب المثلثة. الزاوية ثنائية السطوح لقبعة مثلثة بين المربع والمثلث هي تقريبًا 125 درجة، والزاوية بين المربع والسداسي هي 54.7 درجة، والزاوية بين المثلث والسداسي هي 70.5 درجة. وبالتالي، فإن الزاوية ثنائية السطوح لمكعب ثماني السطوح بين المربع والمثلث، على الحافة حيث يتم توصيل قاعدة قبتين مثلثتين هي 54.7 درجة + 70.5 درجة تقريبًا 125 درجة. وبالتالي، فإن الزاوية ثنائية السطوح لمكعب ثماني السطوح بين المربع والمثلث هي تقريبًا 125 درجة. ^[7]

وجد باكمينستر فولر أن المكعب ثماني السطوح هو متعدد السطوح الوحيد الذي تكون فيه المسافة بين مركزه ورأسه مساوية للمسافة بين حافتيه. بعبارة أخرى، يكون له نفس متجهات الطول في الفضاء ثلاثي الأبعاد، والمعروف باسم توازن المتجهات . ^[8] يمكن أيضًا تحويل الدعامات الصلبة والرؤوس المرنة للمكعب ثماني السطوح تدريجيًا إلى عشريني السطوح منتظم ، ثماني السطوح منتظم، رباعي السطوح منتظم. أطلق فولر على هذا تحويل جيتربج . ^[9]

يتمتع مكعب ثماني السطوح بخاصية روبرت ، مما يعني أن هناك متعدد السطوح بنفس الحجم أو أكبر يمكنه المرور عبر ثقبه. ^[10]

المكعب ثماني السطوح هو مجسم أرخميدس ، مما يعني أنه متعدد السطوح متماثل للغاية وشبه منتظم، ويلتقي وجهان أو أكثر من الوجوه المتعددة الأضلاع المنتظمة المختلفة في رأس واحد. ^[11] يحتوي المكعب ثماني السطوح على تماثلين ناتجين عن الإنشاءات المذكورة أعلاه: نفس التماثل مثل ثماني السطوح المنتظم أو المكعب، التماثل ثماني السطوح ، ونفس التماثل مثل رباعي السطوح المنتظم، التماثل رباعي السطوح . ^[12] الوجوه المتعددة الأضلاع التي تلتقي عند كل رأس هي مثلثان متساويان الأضلاع ومربعان، وشكل رأس المكعب ثماني السطوح هو 3.4.3.4. ثنائي المكعب ثماني السطوح هو اثنا عشري السطوح معيني . ^[13]${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{\mathrm {d} }}$

في مكعب ثماني السطوح، يكون نصف القطر الطويل (من المركز إلى الرأس) هو نفس طول الحافة؛ وبالتالي فإن قطره الطويل (من الرأس إلى الرأس المقابل) هو طول حافتين. ^[14] يشبه مركزه الرأس القمي للهرم القياسي: طول حافة واحد بعيدًا عن جميع الرؤوس الأخرى. (في حالة مكعب ثماني السطوح، يكون المركز في الواقع قمة 6 أهرامات مربعة و8 أهرامات مثلثة). هذا التناظر الشعاعي المتساوي الأضلاع هو خاصية لعدد قليل فقط من متعددات السطوح المنتظمة، بما في ذلك السداسي ثنائي الأبعاد ، ومكعب ثماني السطوح ثلاثي الأبعاد، ومتعددات السطوح رباعية الأبعاد ذات 24 خلية و 8 خلايا (تسيراكت) . ^{[15] متعددات السطوح} المتساوية الأضلاع شعاعيًا هي تلك التي يمكن إنشاؤها، بأقطارها الطويلة، من مثلثات متساوية الأضلاع تلتقي في مركز متعدد السطوح، ويساهم كل منها بنصف قطرين وحافة. لذلك، فإن جميع العناصر الداخلية التي تلتقي في مركز هذه متعددات السطوح لها وجوه داخلية مثلثية متساوية الأضلاع، كما هو الحال في تشريح المكعب الثماني السطوح إلى 6 أهرامات مربعة و8 رباعيات السطوح.

يحدث كل من هذه متعددات السطوح المتساوية الأضلاع شعاعيًا أيضًا كخلايا ذات فسيفساء مميزة تملأ الفراغ : بلاط السداسيات المنتظمة، وقرص العسل المكعب المُستقيم (من المكعبات ثماني السطوح وثماني السطوح المتناوبة)، وقرص العسل المكون من 24 خلية وقرص العسل التسيراكتيكي ، على التوالي. ^[16] كل فسيفساء لها فسيفساء مزدوجة ؛ مراكز الخلايا في فسيفساء هي رؤوس الخلايا في فسيفسائها المزدوجة. يستخدم أكثر حشوات الكرات المنتظمة المعروفة كثافة في بعدين وثلاثة وأربعة أبعاد مراكز الخلايا في أحد هذه الفسيفساء كمراكز كروية.

نظرًا لأنه متساوي الأضلاع شعاعيًا، فإن مركز المكعب الثماني السطوح يبعد مسافة طول حافة واحدة عن الرؤوس الـ12.

يتشارك المكعب ثماني السطوح هيكله مع متعددي السطوح المنتظمين غير المحدبين ، وهما المكعب ثماني السطوح وثماني السطوح ثماني السطوح . يتكون هذان المجسمان من هيكل مكعب ثماني السطوح حيث تقسم المستويات السداسية الأربعة قطره، وتتقاطع مع داخله. يؤدي إضافة ستة مربعات أو ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع إلى ظهور المكعب نصف السطوح أو ثماني السطوح ثماني السطوح على التوالي. ^[17]

يغطي المكعب ثماني السطوح 2 رباعي السطوح السداسي ، والذي له وفقًا لذلك نفس شكل الرأس المجرد (مثلثان ومربعان: ) ونصف الرؤوس والحواف والوجوه. (شكل الرأس الفعلي لرباعي السطوح السداسي هو ، مع عامل الصليب.) ^[18]${\displaystyle 3\cdot 4\cdot 3\cdot 4}$${\textstyle 3\cdot 4\cdot {\frac {3}{2}}\cdot 4}$${\textstyle {\frac {a}{2}}}$

يمكن تشريح المكعب ثماني السطوح إلى 6 أهرامات مربعة و8 رباعيات السطوح تلتقي في نقطة مركزية. يتم التعبير عن هذا التشريح في قرص العسل رباعي السطوح وثماني السطوح حيث يتم دمج أزواج الأهرامات المربعة في ثماني السطوح . ^[19]

يمكن تمثيل هيكل مكعب ثماني السطوح على هيئة الرسم البياني ، وهو أحد الرسوم البيانية الأرخميدية . وله 12 رأسًا و24 ضلعًا. وهو رسم بياني رباعي ، يتكون من أربع رؤوس تربط كل رأس. ^[20]

يمكن إنشاء رسم مكعب ثماني السطوح على هيئة رسم بياني خطي للمكعب، مما يجعله يصبح رسمًا بيانيًا خطيًا محليًا . ^[21]

ربما كان المكعب ثماني السطوح معروفًا لأفلاطون : يقتبس هيرون في تعريفاته من أرخميدس قوله إن أفلاطون كان يعرف جسمًا صلبًا مكونًا من 8 مثلثات و 6 مربعات. ^[22]

• متعدد السطوح المنتظم
• متعددات السطوح في الواقع الافتراضي موسوعة متعددات السطوح
• وايسشتاين، إريك دبليو ، "مكعب ثماني السطوح" ("الشكل الصلب الأرخميدي") في MathWorld .
• مكعب ثماني السطوح على موقع Hexnet وهو موقع مخصص لرياضيات السداسيات.
• كليتزينج، ريتشارد. "متعدد السطوح المنتظم المحدب ثلاثي الأبعاد o3x4o - co".
• شبكة قابلة للطباعة والتعديل لمكعب ثماني السطوح مع عرض تفاعلي ثلاثي الأبعاد