متعدد السطوح منتظم

بعض الأمثلة على المجسمات المنتظمة: الموشور المثلثي ، الموشور المربع المضاد ، رباعي الأوجه المنتظم ( مجسم أفلاطوني )، المكعب الثماني الأوجه ( مجسم أرخميدس )، المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا ( مجسم كبلر-بوانسو )، والمجسم ذو الاثني عشر وجهًا المقطوع ( مجسم نجمي منتظم ).

في الهندسة ، يتميز المجسم المنتظم بوجود مضلعات منتظمة كأوجه ، وهو متماثل الرؤوس - أي أن هناك تطابقًا هندسيًا يربط أي رأس بأي رأس آخر. وبالتالي، فإن جميع الرؤوس متطابقة . قد يكون المجسم المنتظم منتظمًا (إذا كان متماثل الأوجه والحواف أيضًا )، أو شبه منتظم (إذا كان متماثل الحواف فقط دون الأوجه)، أو شبه منتظم (إذا لم يكن متماثل الحواف أو الأوجه). لا يشترط أن تكون الأوجه والرؤوس محدبة ، لذا فإن العديد من المجسمات المنتظمة هي أيضًا مجسمات نجمية .

يوجد نوعان لانهائيان من المجسمات المنتظمة، بالإضافة إلى 75 مجسمًا آخر. وهما نوعان لانهائيان من الموشورات والموشورات المضادة ، والمجسمات المحدبة كما في 5 مجسمات أفلاطونية و13 مجسمًا أرخميديًا - اثنان منها شبه منتظمين و11 شبه منتظمين - والمجسمات النجمية غير المحدبة كما في 4 مجسمات كبلر-بوانسو و53 مجسمًا نجميًا منتظمًا - 14 منها شبه منتظمين و39 شبه منتظمين. كما توجد العديد من المجسمات المنتظمة المنحلة ذات أزواج من الحواف المتطابقة، بما في ذلك مجسم اكتشفه جون سكيلينج يُسمى المجسم المعيني الاثني عشري الكبير غير المقطوع ، وهو شكل سكيلينج. ^{[ 1 ]}

تُعتبر المجسمات الثنائية للمجسمات المنتظمة متماثلة الأوجه (متساوية الأوجه) ولها أشكال رؤوس منتظمة ، وتُصنف عمومًا بالتوازي مع مجسمها الثنائي (المنتظم). المجسم الثنائي للمجسم المنتظم يكون منتظمًا، بينما المجسم الثنائي للمجسم الأرخميدي يكون مجسمًا كاتالانيًا .

إن مفهوم متعدد السطوح المنتظم هو حالة خاصة من مفهوم متعدد السطوح المنتظم ، والذي ينطبق أيضًا على الأشكال في الفضاء ذي الأبعاد الأعلى (أو الأبعاد الأدنى).

تعريف

يعود أصل الخطيئة في نظرية المجسمات إلى إقليدس، وما زالت تؤثر على جميع الأعمال المتعلقة بهذا الموضوع (بما في ذلك أعمال الكاتب الحالي) من خلال كيبلر وبوانسو وكوشي وغيرهم. وتنشأ هذه الخطيئة من كون الاستخدام التقليدي لمصطلح "المجسمات المنتظمة" مخالفًا للنحو والمنطق: إذ توحي الكلمات بأننا نتعامل، ضمن الأشياء التي نسميها "مجسمات"، مع تلك المجسمات الخاصة التي تستحق أن تُسمى "منتظمة". ولكن في كل مرحلة - إقليدس، كيبلر، بوينسو، هيس، بروكينر، ... - فشل الكتّاب في تحديد ماهية "المجسمات" التي يجدون بينها المجسمات "المنتظمة".

— (برانكو غرونباوم 1994 )

عرّف كوكسيتر ولونغيت-هيغينز وميلر (1954) المجسمات المنتظمة بأنها مجسمات ذات أوجه منتظمة وقابلة للتعدي على الرؤوس . عرّفوا المجسم بأنه مجموعة منتهية من المضلعات بحيث يكون كل ضلع من أضلاع المضلع ضلعًا لمضلع آخر فقط، بحيث لا توجد مجموعة جزئية غير فارغة من المضلعات لها نفس الخاصية. ويقصدون بالمضلع ضمنيًا مضلعًا في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد؛ ويُسمح لهذه المضلعات بأن تكون غير محدبة ومتقاطعة. ^{[ 2 ]}

توجد بعض التعميمات لمفهوم متعدد السطوح المنتظم. فإذا أُسقطت فرضية الاتصال، نحصل على مركبات منتظمة، يمكن تقسيمها إلى اتحاد متعددات سطوح، مثل مركب 5 مكعبات. وإذا أُسقط شرط عدم انحلال تمثيل متعدد السطوح، نحصل على ما يُسمى متعددات السطوح المنتظمة المنحلة. ويتطلب هذا تعريفًا أكثر عمومية لمتعددات السطوح. وقدّم غرونباوم (1994) تعريفًا معقدًا نوعًا ما لمتعدد السطوح، بينما قدّم ماكمولين وشولتي (2002) تعريفًا أبسط وأكثر عمومية: فبحسب مصطلحاتهما، متعدد السطوح هو متعدد سطوح ثنائي الأبعاد مجرد ذو تمثيل ثلاثي الأبعاد غير منحل. هنا، يُعرَّف متعدد السطوح المجرد بأنه مجموعة مرتبة جزئيًا من "وجوهه" التي تحقق شروطًا مختلفة، والتحقيق هو دالة من رؤوسه إلى فضاء ما، ويُسمى التحقيق غير منحل إذا كان لأي وجهين مختلفين من متعدد السطوح المجرد تحقيقان مختلفان. وفيما يلي بعض الطرق التي يمكن أن يكون بها متعدد السطوح منحلًا:

وجوه مخفية. بعض المجسمات متعددة الأوجه لها وجوه مخفية، بمعنى أنه لا يمكن رؤية أي نقطة من داخلها من الخارج. وعادةً لا تُصنف هذه المجسمات ضمن المجسمات المنتظمة.
المركبات المنحلة. بعض المجسمات متعددة الأوجه لها حواف متعددة ووجوهها هي وجوه مجسمين أو أكثر، على الرغم من أن هذه ليست مركبات بالمعنى السابق لأن المجسمات تشترك في الحواف.
أغطية مزدوجة. بعض المجسمات متعددة الأوجه غير القابلة للتوجيه لها أغطية مزدوجة تُحقق تعريف المجسم المنتظم. هذه الأغطية المزدوجة لها أوجه وحواف ورؤوس مزدوجة. وعادةً لا تُعتبر مجسمات منتظمة.
الوجوه المزدوجة. توجد عدة مجسمات متعددة الأوجه ذات وجوه مزدوجة ناتجة عن بناء ويثوف. لا يسمح معظم المؤلفين بالوجوه المزدوجة ويزيلونها كجزء من عملية البناء.
حواف مزدوجة. يتميز شكل سكيلينج بخاصية وجود حواف مزدوجة (كما هو الحال في متعددات السطوح المنتظمة المنحلة) ولكن لا يمكن كتابة وجوهه كاتحاد لمتعددي سطوح منتظمين.

تاريخ

متعددات السطوح المحدبة المنتظمة

يعود تاريخ المجسمات الأفلاطونية إلى الإغريق الكلاسيكيين، وقد درسها الفيثاغوريون ، وأفلاطون (حوالي 424-348 قبل الميلاد)، وثييتيتوس (حوالي 417-369 قبل الميلاد)، وتيماوس اللوكري (حوالي 420-380 قبل الميلاد)، وإقليدس (ازدهر حوالي 300 قبل الميلاد). اكتشف الأتروسكان المجسم الاثني عشري المنتظم قبل عام 500 قبل الميلاد. ^{[ 3 ]}

متعددات السطوح المحدبة المنتظمة غير المنتظمة

كان المجسم المكعب الثماني الأوجه معروفًا لدى أفلاطون .
اكتشف أرخميدس (287 ق.م. - 212 ق.م.) جميع المجسمات الأرخميدية الثلاثة عشر . فُقد كتابه الأصلي حول هذا الموضوع، لكن بابوس الإسكندري (حوالي 290 - حوالي 350 م) ذكر أن أرخميدس قد سرد ثلاثة عشر مجسمًا متعدد الأوجه.
أعاد بييرو ديلا فرانشيسكا (1415-1492) اكتشاف الأشكال الخمسة المقطوعة للأجسام الأفلاطونية - رباعي الأوجه المقطوع، وثماني الأوجه المقطوع، والمكعب المقطوع، واثني عشري الأوجه المقطوع، وعشروني الأوجه المقطوع - وأدرج رسومات توضيحية وحسابات لخصائصها المترية في كتابه " De quinque corporibus regularibus" . كما ناقش المكعب الثماني الأوجه في كتاب آخر. ^{[ 4 ]}
قام لوكا باسيولي بسرقة عمل فرانشيسكا في كتابه التناسب الإلهي عام 1509، مضيفًا المجسم المعيني ، واصفًا إياه بالمجسم العشروني لوجهه الـ 26، والذي رسمه ليوناردو دافنشي .
كان يوهانس كيبلر (1571-1630) أول من نشر القائمة الكاملة للأجسام الأرخميدية ، في عام 1619. كما حدد العائلات اللانهائية من الموشورات والموشورات المضادة المنتظمة .

متعددات السطوح النجمية المنتظمة

اكتشف كيبلر (1619) اثنين من متعددات السطوح المنتظمة لكيبلر-بوينسو ، وهما المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهاً والمجسم النجمي الكبير ذو الاثني عشر وجهاً .
اكتشف لويس بوينسو (1809) الشكلين الآخرين، وهما الشكل ذو الاثني عشر وجهاً والشكل ذو العشرين وجهاً .
تم إثبات اكتمال المجموعة المكونة من أربعة أفراد من قبل أوغسطين لويس كوشي في عام 1813 وتم تسميتها من قبل آرثر كايلي في عام 1859.

53 مجسمًا نجميًا غير منتظم آخر

من بين الأشكال الـ 53 المتبقية، اكتشف إدموند هيس (1878) شكلين ( المجسم ذو الاثني عشر وجهًا والمجسم ذو العشرين وجهًا الكبير )، واكتشف ألبرت بادورو (1881) 37 شكلًا (بما في ذلك الشكلين اللذين اكتشفهما هيس)، واكتشف بيتسش (1881) بشكل مستقل 18 شكلًا، منها أربعة أشكال ( المجسم ذو العشرين وجهًا الصغير ، والمجسم ذو الاثني عشر وجهًا الكبير المبتور ، والمجسم ذو العشرين وجهًا الكبير المبتور ، والمجسم ذو الاثني عشر وجهًا النجمي الكبير شبه المبتور ) لم يكتشفها هيس أو بادورو. وبذلك بلغ مجموع الأشكال 41 شكلًا متعدد السطوح.
اكتشف عالم الهندسة إتش إس إم كوكسيتر الاثني عشر شكلاً المتبقية بالتعاون مع جيه سي بي ميلر (1930-1932)، لكنه لم ينشرها. واكتشف كل من إم إس لونغيه-هيغينز وإتش سي لونغيه-هيغينز أحد عشر شكلاً منها بشكل مستقل (جميعها باستثناء الشكل الكبير ذي المعين المزدوج ذي الاثني عشر وجهاً ). وأعاد ليسافر وميرسييه اكتشاف خمسة منها في عام 1947.
نشر كوكسيتر، لونغيت-هيغينز وميلر (1954) قائمة متعددة السطوح المنتظمة.
أثبت سوبوف (1970) فرضيتهم بأن القائمة كانت كاملة.
في عام 1974، نشر ماغنوس وينينجر كتابه " نماذج متعددة السطوح" ، والذي يسرد جميع الـ 75 متعددة السطوح غير المنشورية المنتظمة، مع العديد من الأسماء التي لم يسبق نشرها والتي أطلقها عليها نورمان جونسون .
أثبت سكيلينج (1975) بشكل مستقل اكتمالها وأظهر أنه إذا تم تخفيف تعريف متعدد السطوح المنتظم للسماح للحواف بالتطابق، فهناك احتمال إضافي واحد فقط ( متعدد السطوح المعيني الكبير غير المنقسم ).
في عام 1987، قام إدموند بونان برسم جميع المجسمات المنتظمة ونظائرها ثلاثية الأبعاد باستخدام برنامج مكتوب بلغة توربو باسكال يُدعى بوليكا . عُرضت معظم هذه الرسومات خلال المؤتمر الدولي للاتحاد الدولي للتصوير المجسم الذي عُقد عام 1993 في مسرح المؤتمرات بمدينة إيستبورن، إنجلترا؛ ومرة أخرى عام 2005 في قاعة كورسال بمدينة بيزانسون، فرنسا. ^{[ 5 ]}
في عام 1993، قام تسفي هارييل (1949-2008) ^{[ 6 ]} بإنتاج بناء كامل متعدد السطوح المنتظم والمزدوج باستخدام برنامج كمبيوتر يسمى Kaleido ولخصه في ورقة بحثية بعنوان الحل الموحد لمتعدد السطوح المنتظم ، مع عد الأشكال من 1 إلى 80. ^{[ 7 ]}
وفي عام 1993 أيضاً، قام ر. مادير بنقل حل Kaleido هذا إلى Mathematica بنظام فهرسة مختلف قليلاً. ^{[ 8 ]}
في عام 2002 اكتشف بيتر دبليو ميسر مجموعة دنيا من التعبيرات المغلقة لتحديد الكميات التوافقية والمترية الرئيسية لأي متعدد السطوح منتظم (ومزدوجه) بمعرفة رمز Wythoff الخاص به فقط . ^{[ 9 ]}

متعددات السطوح النجمية الموحدة

تم تجميع الأشكال الـ 57 غير المنشورية وغير المحدبة، باستثناء الشكل الكبير ذي المعين المزدوج ذي الاثني عشر وجهًا ، بواسطة تركيبات Wythoff داخل مثلثات Schwarz .

أشكال محدبة من تصميم شركة Wythoff للإنشاءات

يمكن تسمية المجسمات المتعددة الأوجه المحدبة المنتظمة بواسطة عمليات بناء Wythoff على الشكل المنتظم.

بمزيد من التفصيل، يتم تقديم المجسمات متعددة السطوح المحدبة المنتظمة أدناه من خلال بناء Wythoff الخاص بها داخل كل مجموعة تناظر.

في تصميم ويثوف، توجد تكرارات ناتجة عن أشكال ذات تناظر أقل. المكعب هو متعدد السطوح منتظم، ومنشور مربع. ثماني السطوح هو متعدد السطوح منتظم، ومنشور مثلثي مضاد. ثماني السطوح هو أيضًا رباعي سطوح مُعدَّل . تتكرر العديد من متعددات السطوح من مصادر بناء مختلفة، وتُلوَّن بألوان مختلفة.

ينطبق بناء ويثوف بالتساوي على المجسمات المنتظمة والتبليطات المنتظمة على سطح الكرة ، لذا تُعرض صور لكليهما. تشمل التبليطات الكروية مجموعة المجسمات المتماثلة والمجسمات الثنائية ، وهي مجسمات متدهورة.

تتكون مجموعات التناظر هذه من مجموعات النقاط الانعكاسية في ثلاثة أبعاد ، كل منها ممثل بمثلث أساسي ( p q r )، حيث p > 1، q > 1، r > 1 و 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1 .

التناظر الرباعي الأوجه (3 3 2) - الرتبة 24
التناظر الثماني الأوجه (4 3 2) - الرتبة 48
التناظر العشري الوجوه (5 3 2) – الرتبة 120
التناظر ثنائي السطوح ( n 2 2)، حيث n = 3، 4، 5، ... – الرتبة 4n

يتم إنشاء الأشكال غير العاكسة المتبقية عن طريق عمليات التناوب المطبقة على المجسمات متعددة الأوجه ذات عدد زوجي من الأضلاع.

إلى جانب الموشورات وتناظرها ثنائي السطوح ، تُضيف عملية بناء ويثوف الكروية فئتين منتظمتين تتحولان إلى متعددات السطوح : ثنائيات السطوح ومتعددات السطوح ، الأولى لها وجهان فقط، والثانية لها رأسان فقط. وينتج عن اقتطاع متعددات السطوح المنتظمة الموشورات.

يتم ترقيم الأشكال متعددة السطوح المحدبة المنتظمة من 1 إلى 18 للأشكال غير المنشورية كما هي معروضة في الجداول حسب شكل التناظر.

بالنسبة للمجموعة اللانهائية من الأشكال المنشورية، يتم فهرستها في أربع عائلات:

Hosohedra H _2... (فقط على شكل تبليط كروي)
ثنائيات الأوجه D _2... (فقط كبلاطات كروية)
المنشورات P _3... (هوسوهيدرا مقطوعة)
المنشورات المضادة A _3... (منشورات قصيرة)

جداول ملخصة

اسم جونسون	أحد الوالدين	مختصر	تم تصحيحه	مُقتطع (ثنائي متعدٍ)	مُقوَّم ثنائيًا (مزدوجًا)	مُقَنَّط	مختصر بالكامل ( مختصر بشكل غير منتظم )	سحق
مخطط كوكسيتر
رمز شلافلي الموسع	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$
	{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}	2r{p,q}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
	t ₀ {p,q}	t _0,1 {p,q}	t ₁ {p,q}	t _1,2 {p,q}	t ₂ {p,q}	t _0,2 {p,q}	t _0,1,2 {p,q}	ht _0,1,2 {p,q}
رمز Wythoff (pq 2)	q \| p 2	2 ق \| ص	2 \| pq	2 ص \| ق	ص \| ق 2	pq \| 2	pq 2 \|	\| pq 2
شكل الرأس	ص ^ق	q.2p.2p	(pq) ²	ص. 2ق.2ق	q ^p	ص. 4.س.4	4.2p.2q	3.3.ص. 3.ق
رباعي الأوجه (3 3 2)	3.3.3	3.6.6	3.3.3.3	3.6.6	3.3.3	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3.3
ثماني الأوجه (4 3 2)	4.4.4	3.8.8	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3	3.4.4.4	4.6.8	3.3.3.3.4
الشكل العشري الوجوه (5 3 2)	5.5.5	3.10.10	3.5.3.5	5.6.6	3.3.3.3.3	3.4.5.4	4.6.10	3.3.3.3.5

وعينة من التناظرات ثنائية السطوح:

(لم يتم قطع الكرة، بل تم قطع التبليط فقط.) (على الكرة، الحافة هي قوس الدائرة العظمى، أقصر طريق، بين رأسيها. وبالتالي، فإن الشكل الثنائي الذي لا تكون رؤوسه متقابلة قطبيًا يكون مسطحًا: يبدو كحافة.)

(ص 2 2)	أحد الوالدين	مختصر	تم تصحيحه	مُقتطع (ثنائي متعدٍ)	مُقوَّم ثنائيًا (مزدوجًا)	مُقَنَّط	مختصر بالكامل ( مختصر بشكل غير منتظم )	سحق
مخطط كوكسيتر
رمز شلافلي الموسع	${\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}$	$r{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$
	{p,2}	t{p,2}	r{p,2}	2t{p,2}	2r{p,2}	rr{p,2}	tr{p,2}	sr{p,2}
	t ₀ {p,2}	t _0,1 {p,2}	t ₁ {p,2}	t _1,2 {p,2}	t ₂ {p,2}	t _0,2 {p,2}	t _0,1,2 {p,2}	ht _0,1,2 {p,2}
رمز Wythoff	2 \| ص 2	2 2 \| ص	2 \| ص 2	2 ص \| 2	ص \| 2 2	ص ٢ \| ٢	ص 2 2 \|	\| ص 2 2
شكل الرأس	ص ²	2.2p.2p	ص. 2. ص. 2	ص 4.4	2 ^بنس	ص 4.2.4	4.2 ص.4	3.3.3.p
الزاوية الثنائية (2 2 2)	{2,2}	2.4.4	2.2.2.2	4.4.2	2.2	2.4.2.4	4.4.4	3.3.3.2
الزاوية الثنائية (3 2 2)	3.3	2.6.6	2.3.2.3	4.4.3	2.2.2	2.4.3.4	4.4.6	3.3.3.3
الزاوية الثنائية (4 2 2)	4.4	2.8.8	2.4.2.4	4.4.4	2.2.2.2	2.4.4.4	4.4.8	3.3.3.4
الزاوية الثنائية (5 2 2)	5.5	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	2.2.2.2.2	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5
الزاوية الثنائية (6 2 2)	6.6	2.12.12	2.6.2.6	4.4.6	2.2.2.2.2.2	2.4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

(3 3 2) تناظر رباعي الأوجه T _d

يؤدي التناظر الرباعي الأوجه للكرة إلى توليد 5 أشكال متعددة الأوجه منتظمة، وشكل سادس عن طريق عملية الحذف.

يُمثَّل التناظر الرباعي الأوجه بمثلث أساسي له رأس واحد له صورتان مرآويتان، ورأسان لهما ثلاث صور مرآوية، ويُرمز له بالرمز (3 3 2). ويمكن تمثيله أيضًا بمجموعة كوكسيتر A ₂ أو [3,3] ، بالإضافة إلى مخطط كوكسيتر .

يوجد 24 مثلثًا، مرئية في أوجه المجسم السداسي رباعي الأوجه ، وفي المثلثات ذات الألوان المتناوبة على الكرة:

8	اسم	الرسم البياني أ ₃	الرسم البياني أ ₂	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	عدد الوجوه حسب الموقع			عدد العناصر
8	اسم	الرسم البياني أ ₃	الرسم البياني أ ₂	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	المركز 2 [3] (4)	المركز 1 [2] (6)	الموضع 0 [3] (4)	وجوه	الحواف	الرؤوس
1	رباعي الأوجه						{3,3}	{3}			4	6	4
[1]	رباعي الأوجه ثنائي الانحراف (نفس رباعي الأوجه )						t ₂ {3,3}={3,3}			{3}	4	6	4
2	رباعي الأوجه المُقوَّم (يشبه ثماني الأوجه )						t ₁ {3,3}=r{3,3}	{3}		{3}	8	12	6
3	رباعي الأوجه المقطوع						t _0,1 {3,3}=t{3,3}	{6}		{3}	8	18	12
[3]	رباعي الأوجه المقطوع مرتين (نفس رباعي الأوجه المقطوع )						t _1,2 {3,3}=t{3,3}	{3}		{6}	8	18	12
4	رباعي الأوجه ذو الكانتيليون، رباعي الأوجه المعيني (نفس المكعب الثماني الأوجه )						t _0,2 {3,3}=rr{3,3}	{3}	{4}	{3}	14	24	12
5	رباعي الأوجه المقطوع بالكامل، رباعي الأوجه المقطوع (نفس ثماني الأوجه المقطوع )						t _0,1,2 {3,3}=tr{3,3}	{6}	{4}	{6}	14	36	24
6	رباعي الأوجه المقطوع (نفس شكل عشريني الأوجه )						sr{3,3}	{3}	2 {3}	{3}	20	30	12

(4 3 2) O _h تناظر ثماني السطوح

يُنتج التناظر الثماني الأوجه للكرة سبعة أشكال متعددة الأوجه منتظمة، وسبعة أخرى بالتناوب. ستة من هذه الأشكال تتكرر من جدول التناظر الرباعي الأوجه المذكور أعلاه.

يُمثَّل التناظر الثماني الأوجه بمثلث أساسي (4 3 2) مع احتساب الانعكاسات عند كل رأس. ويمكن تمثيله أيضًا بمجموعة كوكسيتر B ₂ أو [4,3] ، بالإضافة إلى مخطط كوكسيتر .

يوجد 48 مثلثًا، مرئية في أوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهًا ، وفي المثلثات ذات الألوان المتناوبة على الكرة:

8	اسم	الرسم البياني ب ₃	الرسم البياني ب ₂	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	عدد الوجوه حسب الموقع			عدد العناصر
8	اسم	الرسم البياني ب ₃	الرسم البياني ب ₂	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	المركز 2 [4] (6)	المركز 1 [2] (12)	الموضع 0 [3] (8)	وجوه	الحواف	الرؤوس
7	مكعب						{4,3}	{4}			6	12	8
[2]	المجسم الثماني						{3,4}			{3}	8	12	6
[4]	مكعب مُقوَّم، ثماني السطوح مُقوَّم ( مكعب ثماني السطوح )						{4,3}	{4}		{3}	14	24	12
8	مكعب مقطوع						t _0,1 {4,3}=t{4,3}	{8}		{3}	14	36	24
[5]	ثماني السطوح المقطوع						t _0,1 {3,4}=t{3,4}	{4}		{6}	14	36	24
9	مكعب ذو نقوش بارزة، ثماني السطوح ذو نقوش بارزة، مكعب ثماني السطوح معيني						t _0,2 {4,3}=rr{4,3}	{4}	{4}	{3}	26	48	24
10	مكعب مقطوع بالكامل، ثماني السطوح مقطوع بالكامل، مكعب ثماني السطوح مقطوع						t _0,1,2 {4,3}=tr{4,3}	{8}	{4}	{6}	26	72	48
[6]	ثماني السطوح المقطوع (نفس شكل عشروني السطوح )						= s{3,4}=sr{3,3}		{3}	{3}	20	30	12
[1]	نصف مكعب (مثل رباعي الأوجه )						= h{4,3}={3,3}	¹ / ₂{3}			4	6	4
[2]	مكعب كانتيك (نفس رباعي الأوجه المقطوع )						= h ₂ {4,3}=t{3,3}	¹ / ₂{6}		¹ / ₂{3}	8	18	12
[4]	(نفس شكل المكعب الثماني الأوجه )						= rr{3,3}				14	24	12
[5]	(نفس شكل ثماني السطوح المقطوع )						= tr{3,3}				14	36	24
[9]	ثماني السطوح كانتيكي (نفس شكل ثماني السطوح المعيني المكعب )						s ₂ {3,4}=rr{3,4}				26	48	24
11	مكعب ثماني الأوجه قصير						sr{4,3}	{4}	2 {3}	{3}	38	60	24

(5 3 2) I _h تناظر عشريني الوجوه

يُنتج التناظر العشري الوجوه للكرة 7 أشكال متعددة الوجوه منتظمة، وشكلًا إضافيًا واحدًا بالتناوب. يتكرر شكل واحد فقط من جدول التناظر الرباعي الوجوه والثماني الوجوه المذكور أعلاه.

يُمثَّل التناظر العشري الوجوه بمثلث أساسي (5 3 2) مع احتساب الانعكاسات عند كل رأس. ويمكن تمثيله أيضًا بمجموعة كوكسيتر G ₂ أو [5,3] ، بالإضافة إلى مخطط كوكسيتر .

يوجد 120 مثلثًا، مرئية في أوجه المجسم ثلاثي الأضلاع ثنائي الأبعاد ، وفي المثلثات ذات الألوان المتناوبة على الكرة:

8	اسم	الرسم البياني (أ ₂ ) [6]	الرسم البياني (H ₃ ) [10]	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	عدد الوجوه حسب الموقع			عدد العناصر
8	اسم	الرسم البياني (أ ₂ ) [6]	الرسم البياني (H ₃ ) [10]	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	المركز 2 [5] (12)	المركز 1 [2] (30)	الموضع 0 [3] (20)	وجوه	الحواف	الرؤوس
12	مجسم ذو اثني عشر وجهًا						{5,3}	{5}			12	30	20
[6]	المجسم العشري الوجوه						{3,5}			{3}	20	30	12
13	مجسم ذو اثني عشر وجهًا مُعدَّل، مجسم ذو عشرين وجهًا مُعدَّل، مجسم ذو عشرين اثني عشر وجهًا						t ₁ {5,3}=r{5,3}	{5}		{3}	32	60	30
14	مجسم ذو اثني عشر وجهًا مبتورًا						t _0,1 {5,3}=t{5,3}	{10}		{3}	32	90	60
15	مجسم عشروني الوجوه مقطوع						t _0,1 {3,5}=t{3,5}	{5}		{6}	32	90	60
16	مجسم ذو اثني عشر وجهًا مزخرفًا، مجسم ذو عشرين وجهًا مزخرفًا، مجسم ذو عشرين وجهًا معينيًا مزخرفًا.						t _0,2 {5,3}=rr{5,3}	{5}	{4}	{3}	62	120	60
17	مجسم ذو اثني عشر وجهًا مقطوعًا بالكامل، مجسم ذو عشرين وجهًا مقطوعًا بالكامل، مجسم ذو عشرين اثني عشر وجهًا مقطوعًا						t _0,1,2 {5,3}=tr{5,3}	{10}	{4}	{6}	62	180	120
18	مجسم ذو عشرين وجهًا قصيرًا						sr{5,3}	{5}	2 {3}	{3}	92	150	60

(p 2 2) عائلة المنشور [p,2]، I _{2 (p) (تناظر ثنائي السطوح D}_{p h} )

يؤدي التناظر ثنائي السطوح للكرة إلى توليد مجموعتين لانهائيتين من متعددات السطوح المنتظمة، وهي الموشورات والموشورات المضادة، ومجموعتين لانهائيتين أخريين من متعددات السطوح المنحلة، وهي المجسمات المتماثلة والمجسمات ثنائية السطوح التي توجد على شكل تبليط على الكرة.

يُمثَّل التناظر ثنائي السطوح بمثلث أساسي (p 2 2) مع حساب المرايا عند كل رأس. ويمكن تمثيله أيضًا بمجموعة كوكسيتر I ₂ (p) أو [n,2] ، بالإضافة إلى مخطط كوكسيتر المنشوري .

فيما يلي أول خمسة تناظرات ثنائية السطوح: D ₂ ... D _6. التناظر ثنائي السطوح D _p له رتبة 4n ، ويمثل أوجه الهرم المزدوج ، وعلى الكرة كخط استوائي على خط الطول، و n خطوط طول متساوية التباعد.

(2 2 2) تناظر ثنائي السطوح

هناك 8 مثلثات أساسية، تظهر في أوجه الهرم المربع (ثماني الأوجه) ومثلثات ملونة بالتناوب على الكرة:

8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	عدد الوجوه حسب الموقع			عدد العناصر
8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	الموضع 2 [2] (2)	الموضع 1 [2] (2)	الموضع 0 [2] (2)	وجوه	الحواف	الرؤوس
D ₂ H ₂	ثنائي السطوح Digonal ، هوسوهيدرون Digonal				{2,2}	{2}			2	2	2
د ₄	ثنائي السطوح المقطوع (نفس ثنائي السطوح المربع )				t{2,2}={4,2}	{4}			2	4	4
ص ₄ [7]	ثنائي السطوح المقطوع بالكامل (نفس المكعب )				t _0,1,2 {2,2}=tr{2,2}	{4}	{4}	{4}	6	12	8
أ ₂ [1]	ثنائي السطوح المقطوع (نفس رباعي السطوح )				sr{2,2}		2 {3}		4	6	4

(3 2 2) تماثل ثنائي السطوح D _3h

يوجد 12 مثلثًا أساسيًا، تظهر في أوجه الهرم المزدوج السداسي ، ومثلثات ملونة بالتناوب على الكرة:

8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	عدد الوجوه حسب الموقع			عدد العناصر
8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	الموضع 2 [3] (2)	الموضع 1 [2] (3)	الموضع 0 [2] (3)	وجوه	الحواف	الرؤوس
د ₃	ثنائي السطوح الثلاثي				{3,2}	{3}			2	3	3
H ₃	مجسم ثلاثي الأضلاع				{2,3}			{2}	3	3	2
د ₆	ثنائي السطوح ثلاثي الأضلاع المقطوع (نفس ثنائي السطوح سداسي الأضلاع )				t{3,2}	{6}			2	6	6
الصفحة ₃	مجسم ثلاثي الأضلاع مقطوع ( منشور ثلاثي )				t{2,3}	{3}	{4}		5	9	6
ص ₆	ثنائي السطوح ثلاثي الأضلاع مقطوع بالكامل ( منشور سداسي )				t _0,1,2 {2,3}=tr{2,3}	{6}	{4}	{4}	8	18	12
أ ₃ [2]	ثنائي السطوح المثلثي المقطوع (نفس المنشور المثلثي المضاد ) (نفس ثماني السطوح )				sr{2,3}	{3}	2 {3}		8	12	6
الصفحة ₃	ثنائي السطوح المثلثي المقطوع ( منشور مثلثي )				s ₂ {2,3}=t{2,3}				5	9	6

(4 2 2) D _4h تناظر ثنائي السطوح

يوجد 16 مثلثًا أساسيًا، تظهر في أوجه الهرم الثنائي المثمن ، ومثلثات ملونة بالتناوب على الكرة:

8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	عدد الوجوه حسب الموقع			عدد العناصر
8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	المركز 2 [4] (2)	المركز 1 [2] (4)	الموضع 0 [2] (4)	وجوه	الحواف	الرؤوس
د ₄	ثنائي السطوح المربع				{4,2}	{4}			2	4	4
H ₄	مجسم مربع ذو وجهين				{2,4}			{2}	4	4	2
د ₈	ثنائي السطوح المربع المقطوع (نفس ثنائي السطوح الثماني )				t{4,2}	{8}			2	8	8
ص ₄ [7]	مجسم مربع مقطوع ( مكعب )				t{2,4}	{4}	{4}		6	12	8
د ₈	ثنائي السطوح المربع المقطوع بالكامل ( منشور ثماني الأضلاع )				t _0,1,2 {2,4}=tr{2,4}	{8}	{4}	{4}	10	24	16
أ ₄	ثنائي السطوح المربع المقطوع ( منشور مربع مضاد )				sr{2,4}	{4}	2 {3}		10	16	8
ص ₄ [7]	ثنائي السطوح المربع المقطوع ( المكعب )				s ₂ {4,2}=t{2,4}				6	12	8
أ ₂ [1]	مجسم رباعي الأوجه مربع مقطوع ( منشور ثنائي مضاد ) ( هرم رباعي الأوجه )				s{2,4}=sr{2,2}				4	6	4

(5 2 2) D _5h تناظر ثنائي السطوح

يوجد 20 مثلثًا أساسيًا، تظهر في أوجه الهرم العشري ، ومثلثات ملونة بالتناوب على الكرة:

8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	عدد الوجوه حسب الموقع			عدد العناصر
8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	المركز 2 [5] (2)	المركز 1 [2] (5)	الموضع 0 [2] (5)	وجوه	الحواف	الرؤوس
د ₅	ثنائي السطوح الخماسي				{5,2}	{5}			2	5	5
H ₅	مجسم خماسي الأضلاع				{2,5}			{2}	5	5	2
D ₁₀	ثنائي السطوح الخماسي المبتور (نفس ثنائي السطوح العشري )				t{5,2}	{10}			2	10	10
ص ₅	مجسم خماسي مقطوع (يشبه المنشور الخماسي )				t{2,5}	{5}	{4}		7	15	10
صفحة ₁₀	ثنائي السطوح الخماسي المقطوع ( منشور عشري )				t _0,1,2 {2,5}=tr{2,5}	{10}	{4}	{4}	12	30	20
5	ثنائي السطوح الخماسي المقطوع ( منشور خماسي مضاد )				sr{2,5}	{5}	2 {3}		12	20	10
ص ₅	ثنائي السطوح الخماسي المقطوع ( منشور خماسي )				s ₂ {5,2}=t{2,5}				7	15	10

(6 2 2) D تناظر ثنائي السطوح _6h

يوجد 24 مثلثًا أساسيًا، مرئية في أوجه الهرم الثنائي ذي الاثني عشر ضلعًا ، ومثلثات ملونة بالتناوب على الكرة.

8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	عدد الوجوه حسب الموقع			عدد العناصر
8	اسم	صورة	تبليط	شكل الرأس	رموز كوكسيتر وشلافلي	المركز 2 [6] (2)	المركز 1 [2] (6)	الموضع 0 [2] (6)	وجوه	الحواف	الرؤوس
د ₆	ثنائي السطوح سداسي				{6,2}	{6}			2	6	6
H ₆	مجسم سداسي الأضلاع				{2,6}			{2}	6	6	2
د _١٢	ثنائي السطوح سداسي مقطوع (يشبه ثنائي السطوح ذو الاثني عشر ضلعًا )				t{6,2}	{12}			2	12	12
H ₆	مجسم سداسي مقطوع (يشبه المنشور السداسي )				t{2,6}	{6}	{4}		8	18	12
ص ₁₂	ثنائي السطوح سداسي مقطوع بالكامل ( منشور ذو اثني عشر ضلعًا )				t _0,1,2 {2,6}=tr{2,6}	{12}	{4}	{4}	14	36	24
أ ₆	ثنائي السطوح سداسي الشكل ( منشور سداسي مضاد )				sr{2,6}	{6}	2 {3}		14	24	12
الصفحة ₃	ثنائي السطوح السداسي الكانتيكي ( منشور مثلثي )				= h ₂ {6,2}=t{2,3}				5	9	6
ص ₆	ثنائي السطوح السداسي المقطوع ( منشور سداسي )				s ₂ {6,2}=t{2,6}				8	18	12
أ ₃ [2]	مجسم سداسي مقطوع (يشبه المنشور المثلثي المضاد ) (يشبه المجسم الثماني الأوجه )				s{2,6}=sr{2,3}				8	12	6

مشغلو الإنشاءات في شركة ويثوف

عملية	رمز	وصف
أحد الوالدين	{p,q} t ₀ {p,q}	أي متعدد السطوح منتظم أو تبليط
مُصحَّح (r)	r{p,q} t ₁ {p,q}	تُقطع الحواف بالكامل إلى نقاط مفردة. يمتلك المجسم الآن الوجوه المدمجة للمجسم الأصلي والمجسم الثنائي. تُسمى المجسمات بعدد أضلاع الشكلين المنتظمين: {p,q} و {q,p}، مثل المكعب الثماني الأوجه لـ r{4,3} بين المكعب والثماني الأوجه.
ثنائي التوجيه (2r) (وأيضًا ثنائي )	2r{p,q} t ₂ {p,q}	يُعدّ الشكل المُصحّح (المُزدوج) عملية اقتطاع إضافية تُختزل فيها الأوجه الأصلية إلى نقاط. تتشكل أوجه جديدة أسفل كل رأس أصلي. يبقى عدد الحواف دون تغيير، وتُدار بزاوية 90 درجة. يُمكن اعتبار الشكل المُصحّح بمثابة الشكل المُزدوج.
مختصر (t)	t{p,q} t _0,1 {p,q}	يتم قطع كل رأس أصلي، ويملأ الفراغ وجه جديد. للقطع درجة حرية واحدة، ولها حل واحد ينتج عنه متعدد سطوح مقطوع منتظم. يتضاعف عدد أضلاع متعدد السطوح الأصلي، ويحتوي على أوجه المجسم الثنائي.
مُقتطع ثنائي (2t) (وأيضًا مُقتطع ثنائي)	2t{p,q} t _1,2 {p,q}	يمكن اعتبار القطع الثنائي بمثابة قطع للثنائي. المكعب المقطوع ثنائياً هو ثماني السطوح مقطوع.
مُقَفّى (rr) ( مُوسّع أيضًا )	rr{p,q}	إضافةً إلى اقتطاع الرؤوس، تُشطَّف كل حافة أصلية، وتظهر وجوه مستطيلة جديدة مكانها. يُمثِّل الكانتيليشن المنتظم نقطة وسطية بين الشكل الأصلي والشكل الثنائي. يُسمى متعدد السطوح المُقنَّش بـ rhombi-r{p,q}، مثل rhombicuboctahedron لـ rr{4,3}.
مختصر (tr) (وأيضًا مختصر بالكامل )	tr{p,q} t _0,1,2 {p,q}	يتم تطبيق عمليات القطع والحذف معًا لإنشاء شكل مقطوع بالكامل حيث تكون أوجه الأصل مضاعفة في الجوانب، وأوجه الثنائي مضاعفة في الجوانب، ومربعات حيث كانت الحواف الأصلية موجودة.

عمليات التناوب
عملية	رمز	وصف
تم تصحيح الانحناء (sr)	sr{p,q}	الشكل المتناوب المقطوع جزئيًا. تنتهي جميع الأوجه الأصلية بنصف عدد الأضلاع، وتتحول المربعات إلى حواف. ولأن الأشكال المقطوعة كليًا لها 3 أوجه/رأس، تتشكل مثلثات جديدة. عادةً ما تتعرض هذه الأشكال المتناوبة ذات الأوجه لتشويه طفيف بعد ذلك لتنتهي مرة أخرى كمجسمات متعددة الأوجه منتظمة. تعتمد إمكانية هذا التباين الأخير على درجة الحرية.
مانع (مانعات)	s{p,2q}	الاقتطاع المتناوب
ترنيمة الرفض (s ₂ )	s ₂ {p,2q}
الترتيل المتناوب (hrr)	hrr{2p,2q}	لا يمكن ذلك إلا في التبليطات المنتظمة (المجسمات المتعددة الأوجه اللانهائية)، بتناوب على سبيل المثال،
نصف (ح)	h{2p,q}	تناوب ، كما هو
كانتيك (ح ₂ )	h ₂ {2p,q}	نفس الشيء
نصف مصحح (ساعة)	hr{2p,2q}	ممكن فقط في التبليطات المنتظمة (المجسمات المتعددة الأوجه اللانهائية)، تناوب ، نفس أو على سبيل المثال، = أو
ربع (q)	q{2p,2q}	لا يمكن ذلك إلا في التبليطات المنتظمة (المجسمات المتعددة الأوجه اللانهائية)، كما هو الحال في المثال، = أو

انظر أيضاً

قائمة المجسمات المنتظمة

قائمة نماذج متعددات السطوح من وينينجر

متعدد الأوجه

ملحوظات

↑ Diudea (2018) ، ص 40 .
^ كوكستر، لونجيت هيجنز وميلر (1954) .
↑ متعددات الوجوه المنتظمة، ص 13
^ بييرو ديلا فرانشيسكا متعدد الوجوه
^ إدموند بونان، “بولييدريس إيستبورن 1993”، Stéréo-Club Français 1993
↑ الدكتور تسفي هاريل (14 ديسمبر 1949 - 2 فبراير 2008) ودراسات جول فيرن الدولية - تكريم
^ هرئيل، تسفي (1993). “الحل الموحد لمتعددات الوجوه الموحدة” (PDF) . Geometriae Dedicata . 47 : 57 – 110. دوى : 10.1007 / BF01263494 .تسفي هارئيل ، برنامج كاليدو ، صور ، صور مزدوجة
↑ مادير، ر. إي.، متعددات السطوح المنتظمة ، مجلة ماثيماتيكا، 3، 48-57، 1993، المبرمج الرياضي: متعددات السطوح المنتظمة
↑ ميسر، بيتر دبليو. (2002). "تعبيرات مغلقة الشكل للمجسمات المتعددة السطوح المنتظمة ومجسماتها الثنائية" . الهندسة المنفصلة والحسابية . 27 (3): 353-375 . doi : 10.1007/s00454-001-0078-2 .

مراجع

بروكنر، م. فيليكي وفيفلاش. النظرية والتاريخ. . لايبزيغ، ألمانيا: تيوبنر، 1900.
كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد ؛ لونغيت-هيغينز، ماجستير العلوم ؛ ميلر، جيه سي بي (1954). "المجسمات المنتظمة" ( ملف PDF) . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ . 246 (916): 401-450 . رمز Bibcode : 1954RSPTA.246..401C . doi : 10.1098 /rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183 .
ديوديا، إم في (2018)، التجمعات متعددة الأوجه متعددة الأغلفة ، مواد الكربون: الكيمياء والفيزياء، المجلد 10، سبرينغر ، doi : 10.1007/978-3-319-64123-2 ، ISBN 978-3-319-64123-2
غرونباوم، ب. (1994)، "متعددات السطوح ذات الوجوه المجوفة"، في تيبور بيشتريكزكي؛ بيتر ماكمولين؛ رولف شنايدر؛ وآخرون (محررون)، وقائع معهد الدراسات المتقدمة التابع لحلف الناتو حول متعددات السطوح: المجردة والمحدبة والحسابية ، سبرينغر، ص 43-70 ، doi : 10.1007/978-94-011-0924-6_3 ، ISBN 978-94-010-4398-4
مكمولين، بيتر ؛ شولت، إيغون (2002)، متعددات الوجوه المنتظمة المجردة ، مطبعة جامعة كامبريدج
سكيلينغ، ج. (1975). "المجموعة الكاملة للمجسمات المنتظمة". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ. العلوم الرياضية والفيزيائية . 278 ( 1278 ): 111-135 . Bibcode : 1975RSPTA.278..111S . doi : 10.1098/rsta.1975.0022 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 74475. MR 0365333. S2CID 122634260 .
سوبوف، إس بي (1970). "برهان على اكتمال قائمة المجسمات المتجانسة الأولية". المجموعة الهندسية الأوكرانية (8): 139-156 . MR 0326550 .
وينينجر، ماغنوس (1974). نماذج متعددة السطوح . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-09859-5.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "متعدد السطوح المنتظم" . عالم الرياضيات .
حل موحد للمجسمات متعددة الأوجه المنتظمة
المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة
متعددات السطوح الافتراضية متعددة السطوح الموحدة
معرض المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة، مؤرشف بتاريخ 9 أكتوبر 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
متعدد السطوح المنتظم - من Wolfram MathWorld يحتوي على مخطط مرئي لجميع الـ 75

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبليكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

[FOOTNOTEDiudea2018[httpsbooksgooglecombooksidp_06DwAAQBAJpgPA40_40]-1] Diudea (2018) ، ص 40 .

[FOOTNOTECoxeterLonguet-HigginsMiller1954-2] كوكستر، لونجيت هيجنز وميلر (1954) .

[3] متعددات الوجوه المنتظمة، ص 13

[4] بييرو ديلا فرانشيسكا متعدد الوجوه

[5] إدموند بونان، “بولييدريس إيستبورن 1993”، Stéréo-Club Français 1993

[6] الدكتور تسفي هاريل (14 ديسمبر 1949 - 2 فبراير 2008) ودراسات جول فيرن الدولية - تكريم

[7] هرئيل، تسفي (1993). “الحل الموحد لمتعددات الوجوه الموحدة” (PDF) . Geometriae Dedicata . 47 : 57 – 110. دوى : 10.1007 / BF01263494 .تسفي هارئيل ، برنامج كاليدو ، صور ، صور مزدوجة

[8] مادير، ر. إي.، متعددات السطوح المنتظمة ، مجلة ماثيماتيكا، 3، 48-57، 1993، المبرمج الرياضي: متعددات السطوح المنتظمة

[9] ميسر، بيتر دبليو. (2002). "تعبيرات مغلقة الشكل للمجسمات المتعددة السطوح المنتظمة ومجسماتها الثنائية" . الهندسة المنفصلة والحسابية . 27 (3): 353-375 . doi : 10.1007/s00454-001-0078-2 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗