شكل متساوي الأوجه

الموسوعة الحرة
مجموعة من النرد متساوي الأوجه

في الهندسة ، يُقال إن التبليط ذو البعد 2 (التبليط المستوي) أو أعلى، أو متعدد السطوح ذو البعد 3 ( متعدد السطوح ) أو أعلى، يكون متساوي السطوح أو متعديًا على السطوح إذا كانت جميع سطوحه متطابقة. وبشكل أدق، يجب ألا تكون جميع السطوح متطابقة فحسب ، بل يجب أن تكون متعدية ، أي يجب أن تقع ضمن مدار التناظر نفسه . بعبارة أخرى، لأي سطوح A و B ، يجب أن يكون هناك تناظر للشكل بأكمله عن طريق الإزاحات والدورانات و/أو الانعكاسات بحيث يُسقط A على B. لهذا السبب، تُعد متعددات السطوح المحدبة متساوية السطوح هي الأشكال التي تُصنع منها نرد عادل . [ 1 ]

تُسمى المجسمات متعددة الأوجه متساوية السطوح بالمجسمات متساوية السطوح . ويمكن وصفها من خلال ترتيب أوجهها . يحتوي المجسم متساوي السطوح على عدد زوجي من الأوجه.

المجسم الثنائي للمجسم متساوي الأوجه متعدٍّ على الرؤوس ، أي متساوي الزوايا. المجسمات الكاتالونية ، والمجسمات الأفلاطونية، والهرم المزدوج ، وشبه المنحرف ، جميعها متساوية الأوجه. وهي المجسمات الثنائية للمجسمات الأرخميدية (متساوية الزوايا) ، والمجسمات الأفلاطونية ، والموشورات ، والموشورات المضادة ، على التوالي. المجسمات الأفلاطونية ، سواء كانت ثنائية مع نفسها أو ثنائية مع مجسم أفلاطوني آخر، متعدية على الرؤوس والحواف والوجوه (أي متساوية الزوايا، ومتساوية المحاور، ومتساوية الأوجه).

يُطلق على الشكل الذي يكون متساوي الأوجه، وله رؤوس منتظمة، ويكون أيضًا متعديًا على الحواف (أي متساوي المحاور) اسم الشكل الثنائي شبه المنتظم . يعتبر بعض المنظرين هذه الأشكال شبه منتظمة حقًا لأنها تشترك في نفس التناظرات، لكن هذا ليس مقبولًا بشكل عام.

يُقال عن متعدد السطوح الذي يكون متساوي الأوجه ومتساوي الزوايا أنه نبيل .

ليست كل الأشكال متساوية الوجوه [ 2 ] متساوية الوجوه. [ 3 ] على سبيل المثال، الشكل المعيني ذو الوجوه العشرين هو شكل متساوي الوجوه ولكنه ليس شكلاً متساوي الوجوه. [ 4 ]

أمثلة

محدبمقعر
الهرميات الثنائية السداسية ، V4.4.6، هي متعددات وجوه متساوية الأوجه غير منتظمة .التبليط الخماسي للقاهرة ، V3.3.4.3.4، متساوي الأوجه.إن قرص العسل المعيني ذو الاثني عشر وجهًا متساوي الأوجه (ومتساوي الحجم، ويملأ الفراغ).إن التبليط المربع المشوه إلى تبليط حلزوني على شكل حرف H (مكافئ طوبولوجيًا) لا يزال متساوي الأوجه.

تصنيفات المجسمات متساوية السطوح حسب التناظر

وجوهتكوين الوجه .فصلاسمالتناظرطلبمحدبمستوٍغير محدب
4الإصدار 3أفلاطونيرباعي الأوجه، رباعي الأضلاع، ثنائي الوتدي ، معيني ثنائي الوتديT d , [3,3], (*332) D 2d , [2 + ,2], (2*) D 2 , [2,2] + , (222)24 4 4 4رباعي الأوجه
6الإصدار 3 4أفلاطونيمكعب شبه منحرف ثلاثي شبه منحرف ثلاثي غير متماثليا ح , [4,3], (*432) د 3 د , [2 + ,6] (2*3) د 3 [2,3] + , (223)48 12 12 6مكعب
8V4 3أفلاطونيثماني الأوجه، هرم ثنائي مربع ، هرم ثنائي معيني، هرم غير متماثل مربعO h , [4,3], (*432) D 4h ,[2,4],(*224) D 2h ,[2,2],(*222) D 2d ,[2 + ,4],(2*2)48 16 8 8المجسم الثماني
12الإصدار 3 5أفلاطونيمجسم اثنا عشري منتظم، مجسم بيريتوهيدرون، رباعي الأوجهI h , [5,3], (*532) T h , [3 + ,4], (3*2) T, [3,3] + , (*332)120 24 12مجسم ذو اثني عشر وجهًا
20V5 3أفلاطونيمجسم عشروني منتظمI h , [5,3], (*532)120المجسم العشري الوجوه
12الإصدار 3.6 2الكاتالونيةثلاثي الأوجهT d , [3,3], (*332)24رباعي الأوجه ترياكيس
12V(3.4) 2الكاتالونيةمجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا، مجسم ذو اثني عشر وجهًا مثلثيًاO h , [4,3], (*432) T d , [3,3], (*332)48 24مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا
24الإصدار 3.8 2الكاتالونيةثلاثي الأوجهأوه ، [4,3]، (*432)48ثلاثي الأوجه
24الإصدار 4.6 2الكاتالونيةرباعي الأوجه سداسي الأوجهأوه ، [4,3]، (*432)48رباعي الأوجه سداسي الأوجه
24الإصدار 3.4الكاتالونيةهرم رباعي الأوجه ذو شكل دلتويديأوه ، [4,3]، (*432)48هرم رباعي الأوجه ذو شكل دلتويدي
48الإصدار 4.6.8الكاتالونيةمجسم ذو اثني عشر وجهًاأوه ، [4,3]، (*432)48مجسم ذو اثني عشر وجهًا
24الإصدار 3 4 .4الكاتالونيةهرم خماسي الأضلاع ذو عشرين وجهًاO, [4,3] + , (432)24خماسي الأضلاع ذو عشرين وجهًا
30V(3.5) 2الكاتالونيةمجسم ثلاثي الأضلاع معينيI h , [5,3], (*532)120مجسم ثلاثي الأضلاع معيني
60الإصدار 3.10 2الكاتالونيةثلاثي الوجوه العشريI h , [5,3], (*532)120ترياكيس إيكوساهيدرون
60الإصدار 5.6 2الكاتالونيةخماسي الأوجه ذو اثني عشر وجهًاI h , [5,3], (*532)120مجسم خماسي الأوجه ذو اثني عشر وجهًا
60الإصدار 3.4.5.4الكاتالونيةسداسي الأوجه دلتاويI h , [5,3], (*532)120سداسي الأوجه دلتويدي
120الإصدار 4.6.10الكاتالونيةديسدياكيس ترياكونتاهيدرونI h , [5,3], (*532)120ديسدياكيس ثلاثي الأضلاع
60V3 4 .5الكاتالونيةسداسي الأوجه خماسي الأضلاعأنا، [5,3] + ، (532)60هكسيكونتاهيدرون خماسي الأضلاع
2 نV3 3 . nبولارشبه منحرف شبه منحرف غير متماثلد ن د , [2 + ,2 ن ], (2* ن ) د ن , [2, ن ] + , (22 ن )4 ن 2 ن
2 ن 4 نV4 2 . n V4 2 .2 n V4 2 .2 nبولارهرم ثنائي منتظم من النوع n ، إيزوتوكسال 2 ، هرم ثنائي من النوع n ، هرم ذو أوجه متباينة من النوع nD n h , [2, n ], (*22 n ) D n h , [2, n ], (*22 n ) D n d , [2 + ,2 n ], (2* n )4 ن

k- متساوي السطوحشكل

يكون متعدد السطوح (أو متعدد الوجوه بشكل عام) متساوي الأوجه من الرتبة k إذا احتوى على k وجهًا ضمن نطاقات التناظر الأساسية الخاصة به. [ 5 ] وبالمثل، فإن التبليط متساوي الأوجه من الرتبة k يحتوي على k مدارات تناظر منفصلة (قد يحتوي على m أشكال وجوه مختلفة، عندما m = k ، أو فقط عندما m < k ). [ 6 ] (مصطلح "متساوي الأوجه من الرتبة 1" هو نفسه مصطلح "متساوي الأوجه").

المجسم أحادي السطوح أو التبليط أحادي السطوح ( m = 1) له أوجه متطابقة، إما مباشرة أو انعكاسية، تقع في موضع تناظر واحد أو أكثر. المجسم أو التبليط ذو m وجه له m شكل وجه مختلف (" ثنائي السطوح "، " ثلاثي السطوح "... هي نفسها "ثنائي السطوح"، "ثلاثي السطوح"... على التوالي). [ 7 ]

فيما يلي بعض الأمثلة على متعددات السطوح متساوية الأوجه من النوع k والتبليطات، مع تلوين وجوهها وفقًا لمواضع التناظر k الخاصة بها:

3-متساوي الأوجهرباعي الأوجهمتساوي الأوجه2-متساوي الأوجه
متعددات السطوح ثنائية الأوجه منتظمة الوجهمتعددات السطوح أحادية الشكل
يحتوي الشكل الثماني المكعب المعيني على نوع مثلث واحد ونوعين مربعين.يحتوي الشكل شبه المعيني المكعب الثماني الأوجه على نوع مثلث واحد و3 أنواع مربعة.يحتوي الشكل الرباعي الوجوه ذو الشكل الدلتاوي على نوع واحد من الوجوه.يحتوي الشكل الرباعي الوجوه شبه الدلتاوي على نوعين من الوجوه، بنفس الشكل.
2-متساوي الأوجهرباعي الأوجهمتساوي الأوجه3-متساوي الأوجه
بلاطات ذات وجه منتظم على شكل زاويتينالتبليطات أحادية السطوح
يحتوي التبليط الفيثاغوري على نوعين مربعين (من حيث الحجم).يحتوي هذا البلاط الموحد ثلاثي الأشكال على 3 أنواع من المثلثات، بنفس الشكل، ونوع واحد مربع.يحتوي نمط متعرج العظام على نوع مستطيل واحد.يحتوي هذا البلاط الخماسي على 3 أنواع من الأشكال الخماسية غير المنتظمة، بنفس الشكل.

الشكل المتماثل أو المتساوي الحجم هو متعدد السطوح ذو n خلية ( حيث n ≥ 4) أو قرص عسل ذو n خلية ( حيث n ≥ 3) تكون خلاياه متطابقة ومتعدية فيما بينها. في ثلاثة أبعاد، تكون أقراص العسل العاكسة ، وهي نظائر لأقراص العسل المنتظمة، متساوية الحجم. في أربعة أبعاد، تم حصر متعددات السطوح متساوية الحجم حتى 20 خلية. [ 8 ]

الشكل المتماثل أو المتعدي على الأوجه هو متعدد سطوح أو خلية نحل ذو أبعاد n ، وتكون أوجهه (( n -1)- وجهًا ) متطابقة ومتعدية. ويُعرف الشكل الثنائي للمتماثل بأنه متعدد سطوح متساوي الزوايا . وبحسب التعريف، فإن هذه الخاصية المتماثلة مشتركة بين الأشكال الثنائية لمتعددات السطوح المنتظمة .

  • الشكل ثنائي الأبعاد المتماثل هو شكل متساوي الأكسدة، أي أنه متعدٍ على الحواف.
  • الشكل ثلاثي الأبعاد المتماثل هو شكل متساوي الأوجه، أي أنه متعدٍ على الأوجه.
  • الشكل النظائري رباعي الأبعاد متساوي الحجم، أي أنه متعدٍ على الخلايا.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ماكلين، ك. روبن (1990)، "الأبراج المحصنة والتنانين والنرد"، المجلة الرياضية ، 74 (469): 243-256 ، doi : 10.2307/3619822 ، JSTOR 3619822 ، S2CID 195047512  .
  2. ↑ وايسشتاين، إريك و. "مجسم متساوي الأوجه" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26-12-2019 .
  3. ↑ وايسشتاين، إريك و. "المجسم المتساوي السطوح" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-12-2019 .
  4. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "المجسم العشري الوجوه المعيني" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-12-2019 .
  5. ↑ سوكولار، جوشوا إي إس (2007). "تبليطات الباركيه السداسية: بلاطات أحادية متساوية الأوجه من الرتبة k ذات قيمة k كبيرة بشكل تعسفي " (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الذكية . 29 (2): 33-38 . arXiv : 0708.2663 . doi : 10.1007/bf02986203 . S2CID 119365079. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF مصحح) بتاريخ 2016-03-03 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2007-09-09 . 
  6. ↑ كريج إس. كابلان، "نظرية التبليط التمهيدية لرسومات الحاسوب" مؤرشفة في 2022-12-08 في Wayback Machine ، 2009، الفصل 5: "التبليط متساوي الأوجه"، ص 35.
  7. ↑ التبليط والأنماط ، ص 20، 23.
  8. ↑ "نرد رباعي الأبعاد يصل إلى عشرين وجهًا" .