قوانين أويلر للحركة

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة

في الميكانيكا الكلاسيكية ، تُعدّ قوانين أويلر للحركة معادلات حركة تُوسّع نطاق قوانين نيوتن لحركة الجسيمات النقطية لتشمل حركة الأجسام الصلبة . [ 1 ] وقد صاغها ليونارد أويلر بعد حوالي 50 عامًا من صياغة إسحاق نيوتن لقوانينه.

ملخص

قانون أويلر الأول

ينص قانون أويلر الأول على أن معدل تغير الزخم الخطي p لجسم صلب يساوي محصلة جميع القوى الخارجية F ext المؤثرة على الجسم: [ 2 ]

Fext=دصدت.{\displaystyle \mathbf {F} _{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.}

لا تساهم القوى الداخلية بين الجسيمات المكونة للجسم في تغيير زخم الجسم، حيث توجد قوة مساوية ومعاكسة لا ينتج عنها أي تأثير محصل. [ 3 ]

الزخم الخطي لجسم صلب هو حاصل ضرب كتلة الجسم وسرعة مركز كتلته v سم . [ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]

قانون أويلر الثاني

ينص قانون أويلر الثاني على أن معدل تغير الزخم الزاوي L حول نقطة ثابتة في إطار مرجعي قصوري (غالبًا مركز كتلة الجسم)، يساوي مجموع عزوم القوة الخارجية ( العزوم ) المؤثرة على ذلك الجسم M حول تلك النقطة: [ 1 ] [ 4 ] [ 5 ]م=دلدت.{\displaystyle \mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}.}

لاحظ أن الصيغة المذكورة أعلاه صحيحة فقط إذا تم حساب كل من M و L بالنسبة إلى إطار مرجعي ثابت أو إطار موازٍ للإطار المرجعي ولكنه مثبت على مركز الكتلة. بالنسبة للأجسام الصلبة التي تتحرك وتدور في بعدين فقط، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي: [ 6 ]م=رجم×أجمم+أناα،{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},} أين:

  • يمثل r cm متجه موضع مركز كتلة الجسم بالنسبة للنقطة التي يتم جمع العزوم حولها.
  • يمثل a سم التسارع الخطي لمركز كتلة الجسم،
  • m هي كتلة الجسم،
  • α هو التسارع الزاوي للجسم، و
  • I هو عزم القصور الذاتي للجسم حول مركز كتلته.

انظر أيضًا معادلات أويلر (ديناميكيات الأجسام الصلبة) .

الشرح والاستنتاج

لا يكون توزيع القوى الداخلية في الجسم القابل للتشوه متساوياً بالضرورة في جميع أنحائه، أي أن الإجهادات تختلف من نقطة إلى أخرى. ويخضع هذا التباين في القوى الداخلية في جميع أنحاء الجسم لقانون نيوتن الثاني للحركة، الذي ينص على حفظ الزخم الخطي والزخم الزاوي ، واللذان يُطبقان في أبسط استخداماتهما على جسيم ذي كتلة، ولكنهما يُعممان في ميكانيكا الأوساط المتصلة ليشملا جسماً ذا كتلة موزعة بشكل مستمر. وتُسمى هذه القوانين، بالنسبة للأجسام المتصلة، قوانين أويلر للحركة . [ 7 ]

إن إجمالي قوة الجسم المؤثرة على جسم متصل كتلته m وكثافته ρ وحجمه V ، هو التكامل الحجمي المتكامل على حجم الجسم:

Fب=∫Vبدم=∫VبρدV{\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}

حيث b هي القوة المؤثرة على الجسم لكل وحدة كتلة ( أبعاد التسارع، والتي تسمى بشكل مضلل "قوة الجسم")، و dm = ρ dV هو عنصر كتلة متناهي الصغر للجسم.

تؤدي قوى الجسم وقوى التلامس المؤثرة عليه إلى عزم دوران ( عزوم ) مقابلة لتلك القوى بالنسبة لنقطة معينة. وبالتالي، يُعطى عزم الدوران الكلي المطبق M حول نقطة الأصل بالعلاقة التالية:

م=مب+مج{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}}

حيث يشير كل من M B و M C على التوالي إلى العزوم الناتجة عن الجسم وقوى التلامس.

وبالتالي، يمكن التعبير عن مجموع جميع القوى والعزوم المطبقة (بالنسبة لأصل نظام الإحداثيات) التي تؤثر على الجسم كمجموع تكامل حجمي وتكامل سطحي :

F=∫Vأدم=∫VأρدV=∫SتدS+∫VبρدV{\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}م=مب+مج=∫Sر×تدS+∫Vر×بρدV.{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.}

حيث t = t ( n ) يسمى قوة الجر السطحية ، متكاملة على سطح الجسم ، بدورها n تشير إلى متجه وحدة عمودي وموجه للخارج إلى السطح S.

ليكن نظام الإحداثيات ( x1 ، x2 ، x3 ) إطارًا مرجعيًا قصوريًا ، و r هو متجه موضع جسيم نقطي في الجسم المتصل بالنسبة إلى أصل نظام الإحداثيات، و v = ⁠ dr / dt ⁠ هو متجه سرعة تلك النقطة.

تنص بديهية أو قانون أويلر الأول (قانون توازن الزخم الخطي أو توازن القوى) على أنه في إطار مرجعي قصوري، يكون معدل تغير الزخم الخطي p لجزء عشوائي من جسم متصل مساويًا لمجموع القوة المؤثرة F على ذلك الجزء، ويُعبر عنه كما يلي:

دصدت=Fددت∫VρvدV=∫SتدS+∫VبρدV.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}

تنص بديهية أو قانون أويلر الثاني (قانون توازن الزخم الزاوي أو توازن العزوم) على أنه في إطار مرجعي قصوري، يكون معدل تغير الزخم الزاوي L لجزء معين من جسم متصل مساويًا لإجمالي العزم المؤثر M على ذلك الجزء، ويُعبر عنه كما يلي:

دلدت=مددت∫Vر×ρvدV=∫Sر×تدS+∫Vر×بρدV.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}

أينv{\displaystyle \mathbf {v} }هي السرعة،V{\displaystyle V}الحجم، ومشتقات p و L هي مشتقات مادية .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 ماكجيل وكينج (1995). ميكانيكا الهندسة، مقدمة في الديناميكا (  الطبعة الثالثة). شركة بي دبليو إس للنشر. رقم ISBN 0-534-93399-8.
  2. ↑ معادلات الحركة لجسم صلب (تم الاطلاع بتاريخ 2021-06-06)
  3. ↑ غراي، غاري ل.؛ كوستانزو، بليشا (2010). ميكانيكا الهندسة: الديناميكا . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-282871-9.
  4. 1 2 قوانين أويلر للحركة . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-03-2009 .
  5. 1 2 راو، أنيل فيثالا (2006). ديناميكا الجسيمات والأجسام الصلبة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 355. ISBN  978-0-521-85811-3.
  6. ↑ روينا، آندي؛ براتاب، رودرا (2002). مقدمة في علم السكون والديناميكا (ملف PDF) . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 771. تاريخ الاسترجاع: 18-10-2011 . 
  7. ↑ لوبلينر، جاكوب (2008). نظرية اللدونة (ملف PDF) ( طبعة منقحة). منشورات دوفر. الصفحات 27-28 . ISBN   978-0-486-46290-5تمت أرشفة النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 31-03-2010.