صيغة أويلر-رودريغز

في الرياضيات والميكانيكا ، تصف صيغة أويلر - رودريغز دوران متجه في ثلاثة أبعاد. وهي تستند إلى صيغة رودريغز للدوران ، ولكنها تستخدم معلمات مختلفة.

تُوصَف عملية الدوران بأربعة معاملات أويلر، وذلك بفضل ليونارد أويلر . وتُستخدم صيغة رودريغز للدوران (نسبةً إلى أوليندي رودريغز )، وهي طريقة لحساب موضع نقطة مُدارة، في بعض تطبيقات البرمجيات، مثل محاكيات الطيران وألعاب الكمبيوتر .

يتم تمثيل الدوران حول نقطة الأصل بأربعة أعداد حقيقية، a و b و c و d بحيث

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

عند تطبيق الدوران، تكون النقطة في الموضع${\displaystyle {\vec {x}}}$^{[ 1 ]} يدور إلى موضعه الجديد

${\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.}$

أي دوران مركزي في ثلاثة أبعاد يتحدد بشكل فريد بواسطة محور دورانه (المُمثَّل بمتجه وحدة k → = ( k _x , k _y , k _z ) ) وزاوية الدوران φ . تُحسب معاملات أويلر لهذا الدوران كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi} {2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{محاذاة}}}$

لاحظ أنه إذا زادت قيمة φ بمقدار دوران كامل قدره 360 درجة، فإن قيمتي الجيب وجيب التمام تزدادان بمقدار 180 درجة فقط. وتكون القيم الناتجة معاكسة للقيم الأصلية (− a , − b , − c , − d ) ؛ فهي تمثل نفس الدوران.

على وجه الخصوص، يتوافق تحويل الهوية (دوران صفري، φ = 0 ) مع قيم المعاملات ( a , b , c , d ) = (±1, 0, 0, 0) . ينتج عن الدوران بزاوية 180 درجة حول أي محور قيمة a = 0 .

يمكن اعتبار معاملات أويلر بمثابة معاملات رباعي الأعداد ؛ حيث يمثل المعامل القياسي a الجزء الحقيقي، بينما تمثل المعاملات المتجهة b و c و d الأجزاء التخيلية. وبالتالي، نحصل على الرباعي الأعداد.

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,}$

وهو رباعي ذو طول وحدة (أو متجه ) لأن

${\displaystyle \left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

والأهم من ذلك، أن المعادلات المذكورة أعلاه لتركيب الدورانات هي تحديدًا معادلات ضرب الكواترنيونات${\displaystyle q=q_{2}\,q_{1}}$بمعنى آخر، فإن مجموعة الكواترنيونات الوحدوية مع الضرب، بتردد الإشارة السالبة، متماثلة مع مجموعة الدورانات مع التركيب.

وبالتالي، يمكن تمثيل الدوران في ثلاثة أبعاد بواسطة رباعي الوحدة q :

${\displaystyle q=\cos {\frac {\varphi} {2}}+\mathbf {k} \sin {\frac {\varphi }{2}}=a+{\vec {\omega }},}$

أين:

• ${\displaystyle \cos {\tfrac {\varphi }{2}}}$هو الجزء القياسي (الحقيقي)،
• ${\displaystyle \mathbf {k} \sin {\tfrac {\varphi }{2}}}$هو الجزء المتجه (التخيلي)،
• ${\displaystyle \mathbf {k} }$هو متجه وحدة يمثل محور الدوران.

للمتجه ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {v} }$تم تحديده على أنه كواترنيون نقي، المتجه المُدار${\displaystyle \mathbf {v} '}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \mathbf {v} '=q\mathbf {v} q^{-1},}$

أين${\displaystyle q^{-1}=\cos {\tfrac {\varphi }{2}}-\mathbf {k} \sin {\tfrac {\varphi }{2}}=a-{\vec {\omega }}.}$

يمكن إثبات أن المعادلة السابقة مكافئة لمعادلة أويلر-رودريغز من خلال استغلال علاقة التبادل

${\displaystyle q_{2}q_{1}=q_{1}q_{2}-2\mathbf {k_{1}} \times \mathbf {k_{2}} }$

وحقيقة أن${\displaystyle qq^{-1}=1}$على النحو التالي:

${\displaystyle q\mathbf {v} q^{-1}=q(q^{-1}\mathbf {v} -2(-{\vec {\omega }})\times \mathbf {v} )}$

${\displaystyle {\phantom {q\mathbf {v} q^{-1}}}={\cancel {qq^{-}1}}\mathbf {v} +\underbrace {(a+{\vec {\omega }})} _{q}(2{\vec {\omega }}\times \mathbf {v} )}$

${\displaystyle {\phantom {q\mathbf {v} q^{-1}}}=\mathbf {v} +2a({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} )+2({\cancel {-{\vec {\omega }}\cdot ({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} )}}+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} ))}$

${\displaystyle {\phantom {q\mathbf {v} q^{-1}}}=\mathbf {v} +2a({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} )+2({\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times \mathbf {v} ))}$

حيث يكون حاصل الضرب النقطي لمتجهين متعامدين في المساواة قبل الأخيرة مساوياً للصفر.

يمكن استخدام زمرة لي SU(2) لتمثيل الدورانات ثلاثية الأبعاد في المصفوفات المركبة 2 × 2. مصفوفة SU(2) المقابلة للدوران، بدلالة معاملات أويلر الخاصة بها، هي

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}.}$

والتي يمكن كتابتها على شكل مجموع

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-ib\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-ic\ {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-id\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&=a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z},\end{aligned}}}$

حيث تمثل σ _i مصفوفات دوران باولي .

الدوران يُعطى بواسطة${\displaystyle X^{\prime }\equiv (x_{1}^{\prime }\sigma _{x}+x_{2}^{\prime }\sigma _{y}+x_{3}^{\prime }\sigma _{z})=U\;X\;U^{\dagger }=(a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z})(x_{1}\sigma _{x}+x_{2}\sigma _{y}+x_{3}\sigma _{z})(a\,I+ib\,\sigma _{x}+ic\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z})}$، وهو ما يمكن تأكيده عن طريق الضرب يعطي صيغة أويلر-رودريغز كما هو مذكور أعلاه.

وبالتالي، فإن معاملات أويلر هي الإحداثيات الحقيقية والخيالية في مصفوفة SU(2) التي تُقابل عنصرًا من مجموعة الدوران Spin(3)، والتي تُحوّل بواسطة تحويل الغطاء المزدوج إلى دوران في المجموعة المتعامدة SO(3). وهذا يُحقق${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$باعتبارها التمثيل الفريد ثلاثي الأبعاد غير القابل للاختزال لمجموعة لي SU(2) ≈ Spin(3).

• أشكال الدوران في ثلاثة أبعاد
• الرباعيات والدوران المكاني
• فيرسور
• سبينورات في ثلاثة أبعاد
• SO(4)
• مجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد
• نموذج بلترامي كلاين (نموذج كايلي كلاين)
• مقياس كايلي-كلاين

• كارتان ، إيلي (1981). نظرية السبينور . دوفر. رقم ISBN 0-486-64070-1.
• هاميلتون، دبليو آر (1899). عناصر الرباعيات . مطبعة جامعة كامبريدج.
• هاوغ، إي جيه (1984). التحليل والتحسين بمساعدة الحاسوب لديناميكيات الأنظمة الميكانيكية . سبرينغر-فيرلاغ.
• جارزا، إدواردو؛ باتشيكو كوينتانيلا، ME (يونيو 2011). "بنجامين أوليندي رودريغز، رياضي وخيالي، وتأثيره في الفيزياء المكسيكية" . Revista Mexicana de Física E (بالإسبانية): 109– 113.
• شوستر، مالكولم د. (1993). "دراسة استقصائية لتمثيلات المواقف" (ملف PDF) . مجلة علوم الفضاء . 41 (4): 439-517 .
• داي، جيان س. (أكتوبر 2015). "تغيرات صيغة أويلر-رودريغز، واقتران الكواترنيون، والروابط الجوهرية" . نظرية الآليات والآلات . 92 : 144-152 . doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 .