جوهرة أويلر

كتاب "جوهرة أويلر: صيغة المجسم متعدد الأوجه ونشأة علم الطوبولوجيا" يتناول هذه الصيغة.${\displaystyle V-E+F=2}$يتناول هذا الكتاب خاصية أويلر للمجسمات المحدبة وعلاقتها بتاريخ الطوبولوجيا . ألفه ديفيد ريتشسون ونشرته مطبعة جامعة برينستون عام ٢٠٠٨ ، وصدرت منه طبعة ورقية عام ٢٠١٢. وقد فاز بجائزة أويلر للكتاب لعام ٢٠١٠ من الجمعية الرياضية الأمريكية . ^{[ ١ ] [ ٢ ]}

الكتاب مُنظّم تاريخيًا، ويُقسّم المُراجع روبرت برادلي مواضيعه إلى ثلاثة أجزاء. ^{[ 3 ]} يتناول الجزء الأول التاريخ المبكر للمجسمات متعددة الأوجه، بما في ذلك أعمال فيثاغورس ، وطاليس ، وإقليدس ، ويوهانس كيبلر ، واكتشاف رينيه ديكارت لصيغة متعددة الأوجه لنظرية غاوس-بونيه (التي تبيّن لاحقًا أنها مُكافئة لصيغة أويلر). كما يستعرض حياة أويلر ، واكتشافه في أوائل خمسينيات القرن الثامن عشر أن خاصية أويلر${\displaystyle V-E+F}$(عدد الرؤوس ناقص عدد الحواف زائد عدد الأوجه) يساوي 2 لجميع المجسمات المحدبة ، ومحاولاته المعيبة في البرهان، وينتهي بأول برهان دقيق لهذه المتطابقة عام 1794 على يد أدريان ماري ليجندر ، ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} استنادًا إلى نظرية جيرارد التي تربط الزيادة الزاوية للمثلثات في حساب المثلثات الكروية بمساحتها. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

على الرغم من أن المجسمات متعددة الأوجه هي أشكال هندسية، إلا أن كتاب "جوهرة أويلر" يجادل بأن أويلر اكتشف صيغته من خلال كونه أول من نظر إليها من منظور طوبولوجي (كأنماط تلاقي مجردة للرؤوس والوجوه والحواف)، بدلاً من النظر إليها من خلال مسافاتها وزواياها الهندسية. ^{[ 8 ]} (مع ذلك، فإن هذه الحجة تُضعفها مناقشة الكتاب لأفكار مماثلة في أعمال سابقة لكبلر وديكارت). ^{[ 7 ]} يُعتبر ميلاد الطوبولوجيا تقليديًا إسهامًا سابقًا لأويلر، وهو عمله عام 1736 حول جسور كونيغسبرغ السبعة ، ويربط الجزء الأوسط من الكتاب بين هذين العملين من خلال نظرية الرسوم البيانية . ^{[ 3 ]} يبرهن الكتاب صيغة أويلر في شكل طوبولوجي بدلاً من الشكل الهندسي، للرسوم البيانية المستوية ، ويناقش استخداماتها في إثبات أن هذه الرسوم البيانية لها رؤوس ذات درجة منخفضة ، وهو عنصر أساسي في براهين نظرية الألوان الأربعة . بل إنها تربط بنظرية الألعاب التوافقية من خلال ألعاب Sprouts وBrussels Sprouts القائمة على الرسوم البيانية وتحليلها باستخدام صيغة أويلر. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

في الجزء الثالث من الكتاب، ينتقل برادلي من طوبولوجيا المستوى والكرة إلى الأسطح الطوبولوجية العشوائية. ^{[ 3 ]} بالنسبة لأي سطح، تكون خصائص أويلر لجميع تقسيمات السطح متساوية، لكنها تعتمد على السطح نفسه بدلاً من أن تكون دائمًا 2. هنا، يصف الكتاب أعمال برنارد ريمان ، وماكس دين ، وبول هيغارد حول تصنيف المتشعبات ، حيث تم إثبات أن الأسطح الطوبولوجية المدمجة ثنائية الأبعاد يمكن وصفها بالكامل من خلال خصائص أويلر وقابليتها للتوجيه . تشمل المواضيع الأخرى التي نوقشت في هذا الجزء نظرية العقد وخصائص أويلر لأسطح سيفرت ، ونظرية بوانكاريه-هوبف ، ونظرية براور للنقطة الثابتة ، وأعداد بيتي ، وبرهان غريغوري بيرلمان على حدسية بوانكاريه . ^{[ 2 ] [ 4 ]}

يتضمن الملحق تعليمات لصنع نماذج ورقية ونماذج من فقاعات الصابون لبعض الأمثلة الواردة في الكتاب. ^{[ 2 ] [ 4 ]}

كتاب "جوهرة أويلر" موجهٌ لجمهور عام مهتم بالمواضيع الرياضية، ويتضمن نبذات تعريفية وصورًا للرياضيين الذين يتناولهم، بالإضافة إلى العديد من الرسوم البيانية والاستدلالات البصرية بدلًا من البراهين المعقدة، وعدد قليل من المعادلات البسيطة. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 2 ]} وبما أنه لا يحتوي على تمارين، فهو ليس كتابًا دراسيًا. ^{[ 9 ]} مع ذلك، قد تكون الأجزاء الأخيرة من الكتاب صعبة على المبتدئين، إذ تتطلب على الأقل مستوىً جامعيًا في حساب التفاضل والتكامل والهندسة التفاضلية . ^{[ 4 ] [ 10 ]} ويشير المراجع داستن ل. جونز إلى أن المعلمين سيجدون أمثلته وشروحاته البديهية ومعلوماته التاريخية مفيدة في الفصل الدراسي. ^{[ 11 ]}

على الرغم من أن المراجع جيريمي ل. مارتن يشكو من أن "تعميمات الكتاب حول التاريخ الرياضي وعلم الجمال مبسطة بعض الشيء أو حتى أحادية الجانب"، ويشير إلى خطأ رياضي جوهري في خلط الكتاب بين الازدواجية القطبية وازدواجية بوانكاريه ، ويرى أن موقف الكتاب من البرهان بمساعدة الحاسوب "متجاهل بلا داعٍ"، إلا أنه يخلص إلى أن المحتوى الرياضي للكتاب "يتجاوز هذه العيوب العرضية". ^{[ 7 ]} ويقيّم داستن جونز الكتاب بأنه "مزيج فريد من التاريخ والرياضيات... شيق وممتع"، ^{[ 11 ]} ويصفه المراجع بروس روث بأنه "مكتوب بأسلوب جيد ومليء بالأفكار الشيقة". ^{[ 6 ]} وتكتب المراجعة جانين دايمز: "لقد استمتعت بقراءة هذا الكتاب، وأوصي به لكل من لا يخشى الحجج الرياضية". ^{[ 8 ]}

• قائمة الكتب عن المجسمات متعددة الأوجه