الالتفاف

يستند هذا القسم إلى أعمال هيغنز وبارو. ^{[ 3 ]}

يوجد نوعان رئيسيان من نقاط الانعطاف في المنحنيات الملتوية. النوع الأول يقع عند نقطة تلامس المنحنى الملتوي مع المنحنى نفسه، وهو نقطة انعطاف من الرتبة 3/2. أما النوع الثاني فيقع عند نقطة انعطاف المنحنى، وهو نقطة انعطاف من الرتبة 5/2.

ويمكن رؤية ذلك بصريًا من خلال إنشاء خريطة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$محدد بواسطة$${\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)}$$أين${\displaystyle (x(s),y(s))}$يمثل طول القوس معلمات المنحنى، و${\displaystyle \theta }$هي زاوية ميل المنحنى عند النقطة${\displaystyle (x(s),y(s))}$هذا يحوّل المستوى ثنائي الأبعاد إلى سطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال، يحوّل هذا الدائرة إلى سطح زائد مكون من ورقة واحدة .

باستخدام هذه الخريطة، يتم الحصول على المنحنيات المتداخلة في عملية من ثلاث خطوات: الخريطة${\displaystyle \mathbb {R} }$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ثم إلى السطح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ثم قم بإسقاطها لأسفل إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$بإزالة المحور z:$${\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}$$أين${\displaystyle l}$أي ثابت حقيقي.

منذ عملية رسم الخرائط${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$له مشتقة غير صفرية على الإطلاق${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$لا يمكن أن تظهر قمم المنحنى الملتف إلا عندما يكون مشتق${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$يكون عموديًا (موازيًا للمحور z)، وهو ما لا يمكن أن يحدث إلا عندما يكون السطح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$له مستوى مماس رأسي.

بشكل عام، يحتوي السطح على مستويات مماسية رأسية في حالتين فقط: عندما يلامس السطح المنحنى، وعندما يكون للمنحنى نقطة انعطاف.

بداية الطلب 5/2

أما بالنسبة للنوع الثاني، فضع في اعتبارك المنحنى${\displaystyle y=x^{3}}$القوس من${\displaystyle x=0}$ ل${\displaystyle x=s}$طوله${\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}$والمماس عند${\displaystyle x=s}$له زاوية${\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})}$وبالتالي، يبدأ المنحنى المتداخل من${\displaystyle x=0}$عن بعد${\displaystyle L}$له صيغة بارامترية$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}}$$قم بتوسيعها للطلب${\displaystyle s^{5}}$، نحصل$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}$$وهي نقطة حرجة من الرتبة 5/2. ويمكن تحديدًا إيجاد مفكوك كثير الحدود الذي تحققه المعادلة التالية:${\displaystyle x,y}$:$${\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0}$$أو$${\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}$$مما يُظهر بوضوح شكل الحدبة.

جلسة${\displaystyle L=0}$نحصل على المنحنى المتطور المار بنقطة الأصل. وهو مميز لعدم احتوائه على نقطة انعطاف. وباستخدام التفكيك التسلسلي، نحصل على معادلة وسيطية.$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}$$أو${\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}$

لدائرة ذات تمثيل بارامتري${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}$، لدى المرء ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}$. لذلك${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}$وطول المسار هو${\displaystyle r(t-a)}$.

بتقييم معادلة المنحنى المتكامل المذكورة أعلاه، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}$

للمعادلة البارامترية للمنحنى المندمج للدائرة.

ال${\displaystyle a}$المصطلح اختياري؛ ويُستخدم لتحديد موقع بداية المنحنى على الدائرة. يوضح الشكل المنحنيات الالتفافية لـ${\displaystyle a=-0.5}$(أخضر)،${\displaystyle a=0}$(أحمر)،${\displaystyle a=0.5}$(بنفسجي) و${\displaystyle a=1}$(أزرق فاتح). تبدو المنحنيات الحلزونية مثل اللوالب الأرخميدية ، لكنها في الواقع ليست كذلك.

طول القوس لـ${\displaystyle a=0}$و${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}$من المنحنى المتداخل هو

${\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}$

المعادلة البارامترية${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}$يصف القطع المكافئ شبه المكعب . من${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}$يحصل المرء${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}$و${\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}$. تمديد السلسلة بواسطة ${\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}$يُبسط ذلك الحسابات اللاحقة بشكل كبير، ويحصل المرء على

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

يؤدي حذف t إلى${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}$مما يدل على أن هذا المنحنى الملتف هو قطع مكافئ .

أما المنحنيات الأخرى فهي منحنيات متوازية للقطع المكافئ، وليست قطعًا مكافئة، لأنها منحنيات من الدرجة السادسة (انظر المنحنى المتوازي §  أمثلة إضافية ).

بالنسبة للسلسلة${\displaystyle (t,\cosh t)}$، متجه المماس هو${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}$و، كما${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}$طوله هو${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}$وبالتالي فإن طول القوس من النقطة (0، 1) هو ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}$

وبالتالي، فإن الدالة المتداخلة التي تبدأ من (0، 1) تُعطى بالمعاملات التالية:

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}$

وبالتالي فهي أداة ربط .

أما المنحنيات الأخرى فهي ليست منحنيات جرية، لأنها منحنيات متوازية لمنحنى جرّي.

التمثيل البارامتري${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}$يصف منحنىً دائريًا . من${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}$، يحصل المرء (بعد استخدام بعض الصيغ المثلثية)

${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}$

و

${\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}$

وبالتالي فإن معادلات المنحنى التطوري المقابل هي

${\displaystyle X(t)=t+\sin t,}$

${\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}$

والتي تصف المنحنى الدائري الأحمر المزاح في الرسم التخطيطي. ومن ثم

• المنحنيات الملتفة للدائرة${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}$هي منحنيات متوازية من المنحنى الدائري

${\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}$

(المنحنيات المتوازية للدائرة ليست دوائر.)