القطع الزائد

سطح زائد ذو ورقة واحدة

سطح مخروطي بينهما

سطح زائد ذو ورقتين

في الهندسة ، يُعرف السطح الناتج عن دوران قطع زائد حول أحد محاوره الرئيسية باسم السطح الزائد الدوراني ، ويُسمى أحيانًا السطح الزائد الدائري . والسطح الزائد هو السطح الناتج عن تشويه السطح الزائد الدوراني باستخدام تحويلات اتجاهية ، أو بشكل أعم، باستخدام تحويل تآلفي .

السطح الزائدي هو سطح تربيعي ، أي سطح يُعرَّف بأنه مجموعة أصفار متعددة حدود من الدرجة الثانية في ثلاثة متغيرات. من بين الأسطح التربيعية، يتميز السطح الزائدي بأنه ليس مخروطًا ولا أسطوانة ، وله مركز تناظر ، ويتقاطع مع العديد من المستويات مكونًا قطوعًا زائدية. للسطح الزائدي ثلاثة محاور تناظر متعامدة ، وثلاثة مستويات تناظر متعامدة .

بفرض وجود قطع زائد، يمكن اختيار نظام إحداثيات ديكارتية بحيث يتم تعريف القطع الزائد بإحدى المعادلات التالية: $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,}$$ أو $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.}$$ محاور الإحداثيات هي محاور تناظر القطع الزائد، ونقطة الأصل هي مركز تناظر القطع الزائد. على أي حال، يكون القطع الزائد مقاربًا لمخروط المعادلات: $${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.}$$

يكون لدينا سطح زائد دوراني إذا وفقط إذا${\displaystyle a^{2}=b^{2}.}$بخلاف ذلك، يتم تحديد المحاور بشكل فريد ( حتى تبادل المحور x والمحور y ).

يوجد نوعان من القطع الزائد. في الحالة الأولى ( +1 في الطرف الأيمن من المعادلة): القطع الزائد ذو الورقة الواحدة ، ويُسمى أيضًا القطع الزائد الزائدي . وهو سطح متصل ، له انحناء غاوسي سالب عند كل نقطة. هذا يعني أنه بالقرب من كل نقطة، يتكون تقاطع القطع الزائد مع مستواه المماس عند تلك النقطة من فرعين منحنيين لهما مماسان مختلفان عند تلك النقطة. في حالة القطع الزائد ذي الورقة الواحدة، تكون هذه الفروع المنحنية عبارة عن خطوط مستقيمة ، وبالتالي فإن القطع الزائد ذي الورقة الواحدة هو سطح ذو خطوط مزدوجة .

في الحالة الثانية ( -1 في الطرف الأيمن من المعادلة): سطح زائد ذو ورقتين ، يُسمى أيضًا سطح زائد إهليلجي . يتكون السطح من مركبتين متصلتين ، وله انحناء غاوسي موجب عند كل نقطة. السطح محدب بمعنى أن المستوى المماس عند كل نقطة يتقاطع مع السطح فقط عند تلك النقطة.

يمكن تعريف الإحداثيات الديكارتية للقطع الزائد، على غرار الإحداثيات الكروية ، مع الحفاظ على زاوية السمت θ ∈ [ 0, 2π ) ، ولكن مع تغيير الميل v إلى دوال مثلثية زائدية :

القطع الزائد ذو السطح الواحد: v ∈ (− ∞ , ∞ )$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\sin \theta \\z&=c\sinh v\end{aligned}}}$$

سطح زائد ذو سطحين: v ∈ [ 0, ∞ )$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh v\cos \theta \\y&=b\sinh v\sin \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}}$$

يتضمن التمثيل البارامتري التالي قطعًا زائدة من ورقة واحدة، وورقتين، ومخروط حدودهما المشترك، كل منها مع${\displaystyle z}$المحور - كمحور التناظر: $${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\sin t\\cs\end{array}}\right)}$$

• ل${\displaystyle d>0}$يحصل المرء على سطح زائد ذي ورقة واحدة،
• ل${\displaystyle d<0}$سطح زائد ذو ورقتين، و
• ل${\displaystyle d=0}$مخروط مزدوج.

يمكن الحصول على تمثيل بارامتري لسطح زائد ذي محور إحداثيات مختلف كمحور تناظر عن طريق تغيير موضع${\displaystyle cs}$قم بربط المصطلح بالمكون المناسب في المعادلة أعلاه.

تُستخدم الأشكال القطعية الزائدة بكثرة في الرياضيات ذات الأبعاد الأعلى. على سبيل المثال، في الفضاء شبه الإقليدي، يمكن استخدام الصيغة التربيعية : $${\displaystyle q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.}$$ عندما يكون c أي ثابت ، فإن جزء الفضاء المعطى بواسطة $${\displaystyle \lbrace x\$$  يُطلق على q(x)=c اسم القطع الزائد . الحالة المنحلة تتوافق مع c = 0 .

كمثال على ذلك، انظر إلى المقطع التالي: ^{[ 4 ]}

^{... تقع متجهات السرعة دائمًا على سطح يُطلق عليه} مينكوفسكي اسم القطع الزائد رباعي الأبعاد، لأنه عند التعبير عنه بدلالة الإحداثيات الحقيقية البحتة _{( y1} , ... , y4 ) ، تكون ^{معادلته} y21 + y22 ⁺ _y23 − y24 = ₋₁ ^، وهو _ما يُشابه ^القطع الزائد ^y21 + y22 − ^y23 ₌ ⁻¹ _{في الفضاء} ^ثلاثي الأبعاد ^. [ 6 _]

ومع ذلك، يتم استخدام مصطلح شبه الكرة أيضًا في هذا السياق نظرًا لأن الكرة والقطع الزائد لهما بعض أوجه التشابه (انظر §  العلاقة بالكرة أدناه).

تُستخدم الأسطح القطعية ذات الطبقة الواحدة في البناء، وتُسمى هذه الهياكل بالهياكل القطعية . السطح القطعي هو سطح ذو استقامتين ؛ لذا، يمكن بناؤه باستخدام عوارض فولاذية مستقيمة، مما يُنتج هيكلاً قوياً بتكلفة أقل من الطرق الأخرى. ومن الأمثلة على ذلك أبراج التبريد ، وخاصة في محطات توليد الطاقة ، والعديد من الهياكل الأخرى .

• معرض لهياكل القطع الزائد ذات الورقة الواحدة
• 
  منارة أدزيوغول ، أوكرانيا ، 1911.
• 
  أول برج تبريد من تصميم فان إيترسون، الحاصل على براءة اختراع عام 1916، تابع لشركة دي إس إم إيما في هيرلين ، هولندا ، 1918
• 
  برج ميناء كوبي ، اليابان ، 1963.
• 
  قبة جيمس إس. ماكدونيل الفلكية التابعة لمركز سانت لويس للعلوم ، سانت لويس ، ميسوري ، 1963.
• 
  برج مراقبة مطار نيوكاسل الدولي ، نيوكاسل أبون تاين ، إنجلترا ، 1967.
• 
  برج الإرسال Ještěd ، جمهورية التشيك ، 1968.
• 
  كاتدرائية برازيليا ، البرازيل ، 1970.
• 
  برج مياه ذو شكل قطعي زائد مع خزان حلقي ، سيشانوف ، بولندا ، 1972.
• 
  قاعة روي طومسون ، تورنتو ، كندا ، 1982.
• 
  برج التبريد THTR -300 لمفاعل الثوريوم النووي الذي تم إيقاف تشغيله الآن في هام -أوينتروب، ألمانيا ، 1983.
• 
  جسر شارع كوربوريشن ، مانشستر ، إنجلترا ، 1999.
• 
  برج المراقبة كيلسبرغ ، شتوتغارت ، ألمانيا ، 2001.
• 
  عالم بي إم دبليو (BMW Welt)، متحف ومكان لإقامة الفعاليات، ميونيخ ، ألمانيا ، 2007.
• 
  برج كانتون ، الصين ، 2010.
• 
  برج المياه Essarts -le-Roi ، فرنسا .

في عام 1853، نشر ويليام روان هاميلتون محاضراته حول الكواترنيونات ، والتي تضمنت عرضًا للكواترنيونات الثنائية . يوضح المقطع التالي من الصفحة 673 كيف يستخدم هاميلتون جبر الكواترنيونات الثنائية والمتجهات من الكواترنيونات لإنتاج قطع زائدة من معادلة الكرة :

... معادلة كرة الوحدة ρ² + 1 = 0 ^، وتحويل المتجه ρ إلى صيغة ثنائية المتجهات ، مثل σ + τ√ − 1 . عندئذٍ، تنقسم معادلة الكرة إلى النظام التالي:

σ ² − τ ² + 1 = 0 , S . στ = 0 ;

ويقترح ذلك اعتبار σ و τ كمتجهين حقيقيين ومتعامدين، بحيث

T τ = ( T σ ² − 1 ) ^1/2 .

لذا، من السهل استنتاج أنه إذا افترضنا أن σ || λ ، حيث λ متجه في موضع معين، فإن المتجه الحقيقي الجديد σ + τ سينتهي على سطح قطع زائد متساوي الأضلاع ذي ورقتين ؛ وإذا افترضنا، من جهة أخرى، أن τ || λ ، فإن موضع طرف المتجه الحقيقي σ + τ سيكون قطعًا زائدًا متساوي الأضلاع ولكنه ذو ورقة واحدة . وبالتالي، ترتبط دراسة هذين القطعين الزائدين، بهذه الطريقة، ارتباطًا وثيقًا، من خلال الأعداد الرباعية الثنائية، بدراسة الكرة؛ ...

في هذا المقطع، S هو العامل الذي يعطي الجزء القياسي من الكواتيرنيون، و T هو "الموتر"، الذي يسمى الآن المعيار ، للكواتيرنيون.

تستخدم النظرة الحديثة لتوحيد الكرة والقطع الزائد فكرة القطع المخروطي كشريحة من شكل تربيعي . فبدلاً من السطح المخروطي ، نحتاج إلى أسطح فائقة مخروطية في فضاء رباعي الأبعاد ، حيث تُحدد النقاط p = ( w , x , y , z ) ∈ R⁴ بواسطة أشكال تربيعية . لنبدأ بالنظر إلى السطح الفائق المخروطي ^.

• ${\displaystyle P=\left\{p\;:\;w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\right\}}$و
• ${\displaystyle H_{r}=\lbrace p\$ :\ w=r\rbrace ,} وهو مستوى فائق .

ثم${\displaystyle P\cap H_{r}}$هي الكرة ذات نصف القطر r . من ناحية أخرى، السطح المخروطي الفائق

${\displaystyle Q=\lbrace p\$ :\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace } يوفر ذلك${\displaystyle Q\cap H_{r}}$هو سطح زائد.

في نظرية الأشكال التربيعية ، تُعرَّف شبه الكرة الوحدوية بأنها مجموعة جزئية من فضاء تربيعي X تتكون من x ∈ X بحيث يكون المعيار التربيعي لـ x مساوياً للواحد. ^{[ 7 ]}

• قائمة الأسطح
• مجسم بيضاوي
• القطع المكافئ / القطع المكافئ الزائدي
• ريغولوس
• دوران المحاور
•  ملف تعريف الرباعي المنقسم
• ترجمة المحاور
• مساحة دي سيتر
• مخروط الضوء

• وايسشتاين، إريك دبليو. "القطع الزائد" . عالم الرياضيات .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "القطع الزائد ذو الورقة الواحدة" . عالم الرياضيات .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "القطع الزائد ذو الورقتين" . عالم الرياضيات .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "القطع الزائد الإهليلجي" . عالم الرياضيات .