نقطة قصوى

في الرياضيات ، النقطة القصوى لمجموعة محدبة${\displaystyle S}$في فضاء متجهي حقيقي أو مركب أو فضاء أفيني، تكون النقطة في${\displaystyle S}$لا يقع ذلك في أي قطعة مستقيمة مفتوحة تصل بين نقطتين من${\displaystyle S.}$تُسمى النقاط القصوى لقطعة مستقيمة بنقطتي نهايتها . في مسائل البرمجة الخطية ، تُسمى النقطة القصوى أيضًا رأسًا أو نقطة زاوية .${\displaystyle S.}$

يفترض طوال الوقت أن${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي حقيقي أو مركب أو فضاء أفيني .

لأي${\displaystyle p,x,y\in X,}$قل ذلك${\displaystyle p}$يقع بين ^{[ 1 ]}${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$لو${\displaystyle x\neq y}$ويوجد${\displaystyle 0<t<1}$بحيث${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$

لو${\displaystyle K}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$و${\displaystyle p\in K,}$ثم${\displaystyle p}$يُطلق عليه اسمالنقطة القصوى ^{[ 1 ]} من${\displaystyle K}$إذا لم يقع بين أي نقطتين متميزتين${\displaystyle K.}$أي إذا لم يكن موجودًا${\displaystyle x,y\in K}$و${\displaystyle 0<t<1}$بحيث${\displaystyle x\neq y}$و${\displaystyle p=tx+(1-t)y.}$مجموعة جميع النقاط القصوى لـ${\displaystyle K}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {extreme} (K).}$

التعميمات

لو${\displaystyle S}$إذا كانت مجموعة جزئية من فضاء متجهي، فإنها تكون مجموعة فرعية خطية (أي فضاء فرعي أفيني ).${\displaystyle A}$يُطلق على جزء من الفضاء المتجهي اسمادعم التنوع إذا${\displaystyle A}$يلتقِ${\displaystyle S}$(إنه،${\displaystyle A\cap S}$(ليست فارغة) وكل جزء مفتوح${\displaystyle I\subseteq S}$الذي يلتقي داخله${\displaystyle A}$هي بالضرورة مجموعة فرعية من${\displaystyle A.}$^{[ 2 ]} يُطلق على مجموعة الدعم ذات البعد الصفري اسم النقطة القصوى لـ${\displaystyle S.}$^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle a<b}$إذا كانا عددين حقيقيين، فإنهما${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هي نقاط قصوى للفترة${\displaystyle [a,b].}$ومع ذلك، فإن الفترة المفتوحة${\displaystyle (a,b)}$ليس لها نقاط قصوى. ^{[ 1 ]} أي فترة مفتوحة في${\displaystyle \mathbb {R} }$لا توجد نقاط قصوى، بينما أي فترة مغلقة غير متدهورة لا تساوي${\displaystyle \mathbb {R} }$لها نقاط قصوى (أي نقاط نهاية الفترة المغلقة). وبشكل أعم، أي مجموعة جزئية مفتوحة من الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد المحدودة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ليس له نقاط متطرفة.

النقاط القصوى للقرص المغلق ذي الوحدة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$هي دائرة الوحدة .

محيط أي مضلع محدب في المستوى هو وجه من أوجه ذلك المضلع. ^{[ 1 ]} رؤوس أي مضلع محدب في المستوى${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$هي النقاط القصوى لهذا المضلع.

خريطة خطية أحادية${\displaystyle F:X\to Y}$يرسل النقاط القصوى لمجموعة محدبة${\displaystyle C\subseteq X}$إلى أقصى نقاط المجموعة المحدبة${\displaystyle F(X).}$^{[ 1 ]} وينطبق هذا أيضًا على الخرائط الأفينية الحقنية.

تشكل النقاط القصوى لمجموعة محدبة مضغوطة فضاء باير (مع طوبولوجيا الفضاء الجزئي)، ولكن قد لا تكون هذه المجموعة مغلقة.${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}

تُسمى المجموعة الجزئية المحدبة المغلقة في فضاء متجهي طوبولوجي محدبة تمامًا إذا كانت كل نقطة من نقاط حدودها (الطوبولوجية) نقطة قصوى. ^{[ 5 ]} كرة الوحدة في أي فضاء هيلبرت هي مجموعة محدبة تمامًا. ^{[ 5 ]}

• مجموعة متطرفة
• نقطة مكشوفة
• نظرية شوكيه – مجال التحليل الوظيفي والتحليل المحدب 
• التحكم بانغ بانغ ^{[ 3 ]}

• أداش، نوربرت؛ إرنست، برونو؛ كيم، ديتر (1978). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية: النظرية بدون شروط التحدب . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  639. برلين - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
• بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 . 
• بول إي. بلاك، محرر. (17-12-2004). "النقطة القصوى" . قاموس الخوارزميات وهياكل البيانات . المعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتكنولوجيا . تاريخ الاسترجاع: 24-03-2011 .
• بوروفسكي، إفرايم ج.؛ بورواين، جوناثان م. (1989). "النقطة القصوى". قاموس الرياضيات . قاموس كولينز. ​​هاربر كولينز . ​​ISBN 0-00-434347-6.
• غروتينديك، ألكسندر (1973). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . ترجمة أورلاندو شَلْجوب. نيويورك: دار نشر غوردون وبريتش للعلوم. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 . 
• هالموس، بول ر. (8 نوفمبر 1982). كتاب مسائل فضاء هيلبرت . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  19 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90685-0. OCLC 8169781 . 
• جارشو، هانز (1981). الفضاءات المحدبة محليا . شتوتغارت: بي جي تيوبنر. رقم ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 . 
• كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. رقم ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .  
• كوته، جوتفريد (1979). فضاءات المتجهات الطوبولوجية II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  237. نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 . 
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• روبرتسون، أليكس ب.؛ روبرتسون، ويندي ج. (1980). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات . المجلد  53. كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 . 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .