نظرية فيرما للمثلث القائم

في عام ١٢٢٥، تحدّى الإمبراطور فريدريك الثاني عالم الرياضيات فيبوناتشي للمشاركة في مسابقة رياضية ضدّ عدد من علماء الرياضيات الآخرين، وذلك من خلال ثلاث مسائل وضعها فيلسوف بلاطه يوحنا الباليرمو. تطلّبت المسألة الأولى إيجاد ثلاثة أعداد نسبية مربعاتها متساوية المسافة بينها خمس وحدات؛ وقد حلّها فيبوناتشي باستخدام هذه الأعداد الثلاثة.${\displaystyle 31/12}$،${\displaystyle 41/12}$، و${\displaystyle 49/12}$في كتابه "كتاب المربعات" ، الذي نشره فيبوناتشي في وقت لاحق من العام نفسه، حلّ المسألة الأكثر عمومية المتمثلة في إيجاد ثلاثيات من الأعداد المربعة متساوية التباعد، والتي تُشكّل متتالية حسابية . أطلق فيبوناتشي على الفجوة بين هذه الأعداد اسم " الكونجروم" . ^{[ 2 ]} إحدى طرق وصف حل فيبوناتشي هي أن الأعداد المراد تربيعها هي الفرق بين ضلعي المثلث القائم الزاوية، والوتر، ومجموع ضلعي المثلث القائم الزاوية ، وأن الكونجروم يساوي أربعة أضعاف مساحة المثلث نفسه. ^{[ 3 ]} لاحظ فيبوناتشي أنه من المستحيل أن يكون الكونجروم عددًا مربعًا بحد ذاته، لكنه لم يُقدّم برهانًا مُقنعًا على هذه الحقيقة. ^{[ 4 ]}

إذا ثلاثة مربعات${\displaystyle a^{2}}$،${\displaystyle b^{2}}$، و${\displaystyle c^{2}}$يمكن أن تشكل متتالية حسابية يكون تطابقها مربعًا أيضًا${\displaystyle d^{2}}$إذاً، فإن هذه الأرقام ستفي بالمعادلات الديوفانتية.$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+d^{2}&=b^{2},\\b^{2}+d^{2}&=c^{2}.\\\end{aligned}}}$$ أي، بحسب نظرية فيثاغورس ، فإنهما سيشكلان مثلثين قائمي الزاوية بأضلاع صحيحة، حيث يكون الزوج${\displaystyle (d,b)}$يُعطي أحد ضلعي المثلث الأصغر ووتره، ويُشكّل الزوج نفسه ضلعي المثلث الأكبر. ولكن إذا كان (كما أكد فيبوناتشي) لا يمكن أن يوجد مثلث متطابق مربع الشكل، فلا يمكن أن يوجد مثلثان قائمان صحيحان يشتركان في ضلعين بهذه الطريقة. ^{[ 5 ]}

لأن الأعداد المتطابقة هي بالضبط الأعداد التي تساوي أربعة أضعاف مساحة مثلث فيثاغورس، ولأن الضرب في أربعة لا يغير من كون العدد مربعًا، فإن وجود عدد متطابق مربع يكافئ وجود مثلث فيثاغورس مساحته مربعة. هذا النوع من المسألة هو ما يركز عليه برهان فيرما: فهو يثبت عدم وجود مثل هذا المثلث. عند دراسة هذه المسألة، لم يستلهم فيرما من فيبوناتشي، بل من طبعة لكتاب الحساب لديوفانتوس ، نُشرت مترجمة إلى الفرنسية عام 1621 بواسطة كلود غاسبار باشيه دي ميزيرياك . [ ^{6 ] وصف} هذا الكتاب مثلثات قائمة الزاوية خاصة مختلفة ، كانت مساحاتها ذات أشكال مرتبطة بالمربعات، لكنه لم يتناول حالة المساحات المربعة نفسها. ^{[ 7 ]}

بإعادة ترتيب معادلات المثلثين الفيثاغوريين أعلاه، ثم ضربهما معًا، نحصل على معادلة ديوفانتين واحدة

${\displaystyle b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}}$

ويمكن تبسيط ذلك عن طريق إدخال متغير جديد${\displaystyle e=ac}$ل${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}.}$ وعلى العكس من ذلك، فإن أي ثلاثة أعداد صحيحة موجبة تحقق المعادلة${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$تؤدي إلى تطابق مربع: بالنسبة لهذه الأرقام، فإن المربعات${\displaystyle (b^{4}-d^{4}-2b^{2}d^{2})^{2}}$،${\displaystyle (b^{4}+d^{4})^{2}}$، و${\displaystyle (b^{4}-d^{4}+2b^{2}d^{2})^{2}}$شكّل متتابعة حسابية متطابقة${\displaystyle 4b^{2}d^{2}(b^{4}-d^{4})=(2bde)^{2}}$، وهو مربع بحد ذاته. وبالتالي، فإن قابلية حل المسألة هي${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$يُعادل ذلك وجود تطابق مربع. ولكن، إذا كان لنظرية فيرما الأخيرة مثال مضاد للأس${\displaystyle 4}$، وهو حل صحيح للمعادلة${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$ثم إن تربيع أحد الأعداد الثلاثة في المثال المضاد سيعطي ثلاثة أعداد تحل المعادلة${\displaystyle b^{4}-d^{4}=e^{2}}$لذلك، فإن برهان فيرما على أن مساحة أي مثلث فيثاغورس مربعة تمامًا يستلزم صحة الأس.${\displaystyle 4}$حالة نظرية فيرما الأخيرة. ^{[ 7 ]}

تتضمن صياغة مكافئة أخرى للمسألة نفسها الأعداد المتطابقة ، وهي الأعداد التي تمثل مساحات المثلثات القائمة التي أضلاعها الثلاثة أعداد نسبية. بضرب الأضلاع في مقام مشترك، يمكن تحويل أي عدد متطابق إلى مساحة مثلث فيثاغورس، ومن ثمّ نستنتج أن الأعداد المتطابقة هي بالضبط الأعداد الناتجة عن ضرب شكل متطابق في مربع عدد نسبي. ^{[ 8 ]} لذلك، فإن وجود شكل مربع متطابق يكافئ القول بأن العدد  1 ليس عددًا متطابقًا. ^{[ 9 ]} وهناك طريقة هندسية أخرى لصياغة هذه المسألة، وهي أنه من المستحيل أن يكون للمربع (الشكل الهندسي) والمثلث القائم مساحتان متساويتان وجميع أضلاعهما متناسبة . ^{[ 10 ]}

وهناك شكل مكافئ آخر لنظرية فيرما يتضمن المنحنى الإهليلجي الذي يتكون من النقاط التي إحداثياتها${\displaystyle (x,y)}$تحقق المعادلة

${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x-1).}$

تُقدّم النقاط (−1,0) و(0,0) و(1,0) حلولًا واضحة لهذه المعادلة. وتُكافئ نظرية فيرما القول بأن هذه هي النقاط الوحيدة على المنحنى التي تحقق الشرطين التاليين:${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي نسبية. وبشكل أعم، المثلثات القائمة الزاوية ذات الأضلاع والمساحة النسبية${\displaystyle n}$تتطابق نقطة بنقطة مع النقاط العقلانية ذات القيم الموجبة${\displaystyle y}$إحداثي على المنحنى الإهليلجي${\displaystyle y^{2}=x(x+n)(xn)}$[ ^{11 ]​}