مشعب مسطح

لو${\displaystyle (M,g)}$إذا كانت مشعبة ريمانية مسطحة كاملة متصلة ثنائية الأبعاد ناعمة،${\displaystyle M}$يجب أن يكون متماثلاً شكلياً مع أحد

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(المستوى اللانهائي)
• ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$(الأسطوانة اللانهائية)
• ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$( الحلقة )
• شريط موبيوس
• زجاجة كلاين .

الاحتمالات المدمجة الوحيدة هي${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$وزجاجة كلاين، في حين أن الاحتمالات الوحيدة القابلة للتوجيه هي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$و${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

يتطلب وصف المقاييس الريمانية المسطحة الكاملة المتميزة على هذه الفضاءات جهدًا أكبر. على سبيل المثال، العاملان لـ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$يمكن أن يكون لأي عددين حقيقيين نصفا قطر. وتتميز هذه المقاييس عن بعضها البعض بنسبة نصفي قطريها، لذا يحتوي هذا الفضاء على عدد لا نهائي من مقاييس الضرب المسطحة المختلفة التي لا تكون متساوية القياس إلا بمعامل قياس. وللتحدث بشكل موحد عن الاحتمالات الخمسة، وبالأخص للعمل بشكل ملموس مع شريط موبيوس وزجاجة كلاين كمتشعبات مجردة، من المفيد استخدام لغة تأثيرات المجموعات.

منح${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},}$يترك${\displaystyle T_{(x_{0},y_{0})}}$يشير إلى الترجمة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$مقدم من${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).}$يترك${\displaystyle R}$يشير إلى الانعكاس${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$مقدم من${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y).}$بفرض عددين موجبين${\displaystyle a,b,}$ضع في اعتبارك المجموعات الفرعية التالية من${\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),}$مجموعة التماثلات لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$بمقياسها القياسي.

• ${\displaystyle G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}$
• ${\displaystyle G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$متاح${\displaystyle a<b.}$
• ${\displaystyle G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}}$

هذه كلها مجموعات تعمل بحرية وبشكل سليم بشكل متقطع${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$وهكذا المساحات المشتركة المختلفة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/G}$جميعها تمتلك بطبيعتها بنية مشعبات ريمانية مسطحة كاملة ثنائية الأبعاد. لا يوجد بينها مشعب متساوي القياس، وأي مشعب ريماني متصل مسطح كامل ثنائي الأبعاد أملس يكون متساوي القياس مع أحدها.

هناك 17 شكلاً مدارياً ثنائي الأبعاد مضغوطاً بمقاييس مسطحة (بما في ذلك الطارة وزجاجة كلاين)، مدرجة في المقالة حول الأشكال المدارية ، والتي تتوافق مع مجموعات ورق الحائط الـ 17 .

لاحظ أن الصورة النمطية للسطح الحلقي على شكل حلقة لا تُظهره بمقياس مسطح، لأن النقاط الأبعد عن المركز لها انحناء موجب بينما النقاط الأقرب إلى المركز لها انحناء سالب. ووفقًا لصياغة كويبر لنظرية تضمين ناش ، يوجد${\displaystyle C^{1}}$التضمين${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$مما يؤدي إلى ظهور أي من مقاييس المنتج المسطحة الموجودة على${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$لكن هذه الأمور لا يمكن تصورها بسهولة.${\displaystyle S^{1}}$يتم تقديمها على أنها فضاء فرعي مضمن من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$أي من هياكل المنتجات (المسطحة) على${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$تُعرض بشكل طبيعي على أنها فضاءات فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.}$وبالمثل، فإنّ التصورات ثلاثية الأبعاد القياسية لزجاجة كلاين لا تُظهر مقياسًا مسطحًا. صحيحٌ أن البناء القياسي لشريط موبيوس، عن طريق لصق طرفي شريط من الورق معًا، يُعطيه مقياسًا مسطحًا، ولكنه ليس كاملًا.

المشعبات المسطحة ثلاثية الاتجاه العشرة هي: ^{[ 3 ]}

1. الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ،${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
2. الحلقة الثلاثية${\displaystyle T^{3}}$، مصنوعة عن طريق لصق الأوجه المتقابلة للمكعب .
3. المشعب المصنوع عن طريق لصق وجهين متقابلين لمكعب مع لفة نصف لفة على زوج واحد.
4. المشعب المصنوع عن طريق لصق وجهين متقابلين لمكعب مع لفة ربع دورة على زوج واحد.
5. المشعب المصنوع عن طريق لصق الأوجه المتقابلة لمنشور سداسي مع دوران بمقدار 1/3 على الأوجه السداسية.
6. المشعب المصنوع عن طريق لصق الأوجه المتقابلة لمنشور سداسي مع دوران بمقدار 1/6 على الأوجه السداسية.
7. مشعب هانتزشه -فيندت .
8. المشعب${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$يتم صنعها على شكل الفراغ بين مستويين متوازيين يتم لصقهما معًا.
9. المشعب${\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} }$مصنوعة عن طريق لصق الجدران المتقابلة لعمود مربع لانهائي.
10. المشعب المصنوع عن طريق لصق الجدران المتقابلة لعمود مربع لانهائي مع لفة نصفية على زوج واحد.

المشعبات الثمانية غير القابلة للتوجيه هي: ^{[ 4 ]}

1. حاصل الضرب الديكارتي لدائرة وزجاجة كلاين،${\displaystyle S^{1}\times K}$.
2. متشعب مشابه لما سبق ذكره، ولكنه منزاح انتقاليًا في اتجاه واحد موازٍ لمستوى الانزلاق ؛ والتحرك في هذا الاتجاه يعود إلى الجانب المقابل من المتشعب.
3. المتشعب الناتج عن عكس نقطة عبر مستويين انزلاقيين متعامدين والانتقال على طول الاتجاه الثالث.
4. متشعب مشابه لما سبق ذكره، ولكنه منزاح انتقاليًا في اتجاه واحد موازٍ لمستوى انزلاق واحد؛ والتحرك في هذا الاتجاه يعود إلى الجانب المقابل من المتشعب.
5. حاصل الضرب الديكارتي لدائرة وشريط موبيوس (غير المحدود).
6. المشعب${\displaystyle K\times \mathbb {R} }$يتم ذلك عن طريق نقل نقطة على طول محور واحد وعكسها عبر مستوى انزلاق عمودي.
7. المتشعب الناتج عن نقل نقطة على طول محور واحد وعكسها عبر مستوى انزلاق موازٍ.
8. المتشعب الناتج عن انعكاس نقطة عبر مستويين انزلاقيين متعامدين.