النظرية الأساسية للجبر

حتى بدون استخدام الأعداد المركبة، يمكن إثبات أن كثيرة الحدود الحقيقية p ( x ): p (0) ≠ 0 من الدرجة n > 2 قابلة للقسمة دائمًا على كثيرة حدود تربيعية ذات معاملات حقيقية. ^{[ 11 ]} بعبارة أخرى، بالنسبة لبعض القيم الحقيقية a و b ، فإن معاملات الباقي الخطي عند قسمة p ( x ) على x² - ^ax - b تصبح صفرًا في آن واحد.

${\displaystyle p(x)=(x^{2}-ax-b)q(x)+x\,R_{p(x)}(a,b)+S_{p(x)}(a,b),}$

حيث q ( x ) متعددة حدود من الدرجة n - _2. المعاملات Rp _{( x )} ( a , b ) و Sp _{( x )} ( a , b ) مستقلة عن x ومحددة _تمامًا بمعاملات p ( x ). من حيث التمثيل، فإن Rp _{( x )} ( a , b ) و Sp _{( x )} ( a , b ) متعددتا حدود ثنائيتي المتغيرات في a و b . _على غرار برهان غاوس الأول (غير المكتمل) لهذه النظرية من عام 1799، يكمن المفتاح في إثبات أنه لأي قيمة سالبة كبيرة بما فيه الكفاية لـ _{b ،} فإن _جميع جذور كل من Rp _{( x )} ( a , b ) و Sp _{( x )} ( a , b ) في المتغير a هي قيم حقيقية ومتبادلة (خاصية التداخل). باستخدام سلسلة شبيهة بسلسلة ستورم تحتوي على Rp _{( x )} ( a , b ) و Sp _{( x )} ( a , b ) كحدود متتالية، يمكن إثبات التداخل في المتغير a لجميع الأزواج المتتالية في السلسلة عندما تكون قيمة b سالبة كبيرة بما _{فيه الكفاية} . بما أن Sp ₍ a , b = 0) = p ( 0) ليس لها جذور، فإن تداخل Rp _{( x )} ( a , b ) و Sp _{( x )} ( a , b ₎ في المتغير a يفشل عند _b = 0. يمكن تطبيق _{حجج طوبولوجية على خاصية التداخل لإظهار أن} موضع جذور Rp _{( x )} ( _a , b ) و Sp (_{x )} ( a , b ) يجب أن يتقاطع لبعض القيم الحقيقية a و b < 0.

يقدم شيلدون أكسلر برهانًا للنظرية الأساسية للجبر باستخدام صيغة دي موافر ونظرية القيمة القصوى على مجموعة مضغوطة في كتاب مدرسي بعنوان Linear Algebra Done Right . ^{[ 12 ]}

أوجد قرصًا مغلقًا D نصف قطره r مركزه نقطة الأصل بحيث يكون | p ( z )|  >  | p (0)| كلما كان | z |  ≥ r . وبالتالي، فإن أصغر قيمة لـ | p ( z )| على D ، والتي يجب أن تكون موجودة لأن D قرص متراص ، تتحقق عند نقطة ما _z₀ داخل D ، وليس عند أي نقطة على حدوده. وبتطبيق مبدأ القيمة المطلقة القصوى على 1/ p ( z ) _، فإن p ( z₀ ) = 0. بمعنى آخر، z₀ هي صفر للدالة p ₍ z ) .   

_{لا يتطلب أحد أشكال هذا البرهان مبدأ القيمة المطلقة القصوى (في الواقع ،} تُقدّم حجة مماثلة برهانًا على مبدأ القيمة المطلقة القصوى للدوال التحليلية). بالاستمرار من قبل استخدام المبدأ، إذا كان a  := p ( z₀ ) ≠ 0، فإنه بتوسيع p ( z ) بدلالة قوى z - z₀ _، يمكننا كتابة

${\displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

هنا، تمثل c_{_j} معاملات كثيرة الحدود z → p ( z + z_₀ ) بعد التوسيع، و k هو دليل أول معامل غير صفري بعد الحد الثابت . بالنسبة لقيم z القريبة بما فيه الكفاية من z_₀، يكون سلوك هذه الدالة مشابهًا تقاربيًا لكثيرة الحدود الأبسط.${\displaystyle q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}}$وبشكل أدق، الوظيفة

$\displaystyle \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M}$

لبعض الثوابت الموجبة M في جوار ما لـ z _0. لذلك، إذا عرّفنا${\displaystyle \theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k}$ودع${\displaystyle z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}}$برسم دائرة نصف قطرها r > 0 حول z ، ثم لأي قيمة صغيرة كافية لـ r (بحيث يتحقق الحد M )، نرى أن

$\displaystyle \begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}$

عندما تكون قيمة r قريبة بما يكفي من الصفر، يكون هذا الحد الأعلى لـ | p ( z )| أصغر تمامًا من | a |، مما يناقض تعريف z₀ _. هندسيًا، وجدنا اتجاهًا صريحًا θ₀ _بحيث إذا اقتربنا من z₀ من هذا الاتجاه _، يمكننا الحصول على قيم p ( z ) أصغر في القيمة المطلقة من | p ( z₀ ₎ |.

يمكن الحصول على برهان تحليلي آخر باتباع هذا المنطق، بملاحظة أنه بما أن | p ( z )|  >  | p (0)| خارج D ، _فإن القيمة الصغرى لـ | p ( z )| على كامل المستوى المركب تتحقق عند z₀ _. إذا كان | p ( z₀ )| > 0، فإن 1/ p دالة تحليلية محدودة على كامل المستوى المركب، لأنه لكل عدد مركب z ، |1/ p ( z )| ≤ |1/ p ( z₀ )|. بتطبيق _نظرية ليوفيل ، التي تنص على أن الدالة الكاملة المحدودة يجب أن تكون ثابتة، فإن هذا يستلزم أن 1/ p ثابتة، وبالتالي أن p ثابتة. وهذا يُعطي تناقضًا، ومن ثم _فإن p ( z₀ ) = 0. ^{[ 13 ]}      

يستخدم برهان تحليلي آخر مبدأ الحجة . ليكن R عددًا حقيقيًا موجبًا كبيرًا بما يكفي بحيث يكون لكل جذر من جذور p ( z ) قيمة مطلقة أصغر من R ؛ يجب أن يوجد مثل هذا العدد لأن كل دالة متعددة الحدود غير ثابتة من الدرجة n لها على الأكثر n جذرًا. لكل r  > R ، انظر إلى العدد 

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,}$

حيث c ( r ) هي الدائرة التي مركزها 0 ونصف قطرها r وتتجه عكس اتجاه عقارب الساعة؛ ينص مبدأ الحجة على أن هذا العدد هو عدد أصفار p ( z ) في الكرة المفتوحة التي مركزها 0 ونصف قطرها r ، وهو، بما أن r  > R ، العدد الإجمالي لأصفار p ( z ). من جهة أخرى، فإن تكامل n / z على طول c ( r ) مقسومًا على 2πi يساوي n . لكن الفرق بين العددين هو 

$''$

بسط المقدار الكسري المراد تكامله درجته على الأكثر n  −  1، ودرجة مقامه n  +  1. لذلك، يؤول العدد المذكور أعلاه إلى الصفر عندما r → +∞. ولكن هذا العدد يساوي أيضًا N  − n، وبالتالي N = n .   

يمكن تقديم برهان تحليلي معقد آخر من خلال الجمع بين الجبر الخطي ونظرية كوشي . لإثبات أن لكل متعددة حدود معقدة من الدرجة n  >  0 جذرًا، يكفي إثبات أن لكل مصفوفة مربعة معقدة من الرتبة n  > 0 قيمة ذاتية  (معقدة) . ^{[ 14 ]} ويُبرهن على هذه العبارة الأخيرة بالتناقض .

لتكن A مصفوفة مربعة مركبة من الرتبة n  >  0، ولتكن I _{_n} مصفوفة الوحدة من نفس الرتبة. افترض أن A ليس لها قيم ذاتية. لنعتبر دالة الحل.

${\displaystyle R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},}$

وهي دالة ميرومورفية على المستوى المركب بقيم في فضاء متجهات المصفوفات. القيم الذاتية للمصفوفة A هي تحديدًا أقطاب الدالة R ( z ). وبما أن A ، بحسب الفرض، ليس لها قيم ذاتية، فإن الدالة R ( z ) هي دالة تامة ، وتنص نظرية كوشي على أن

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)\,dz=0.}$

من ناحية أخرى، فإن توسيع R ( z ) كمتسلسلة هندسية يعطي:

${\displaystyle R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot }$

هذه الصيغة صالحة خارج القرص المغلق ذي نصف القطر${\displaystyle \|A\|}$( معيار المؤثر A ) . ليكن${\displaystyle r>\|A\|.}$ثم

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}}$

(حيث يكون الحد k  =  0 فقط ذا تكامل غير صفري). وهذا تناقض، وبالتالي فإن للمصفوفة A قيمة ذاتية.

وأخيراً، ربما تقدم نظرية روشيه أقصر برهان للنظرية.

لنفترض أن القيمة الصغرى لـ | p ( z ₎ | على كامل المستوى المركب تتحقق عند z₀ ؛ وقد تبين في البرهان الذي يستخدم نظرية ليوفيل أنه لا بد من وجود مثل هذا العدد. يمكننا كتابة p ( z ) على شكل متعددة حدود في z - z₀ : يوجد عدد طبيعي k، _وتوجد أعداد مركبة cₖ _, cₖ _{+ 1 , ...} , cₙ _بحيث cₖ ≠ ₀ و :      

${\displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

إذا كانت p ( z ₀ ) غير صفرية، فإنه يترتب على ذلك أنه إذا كان a هو ^الجذر k لـ − p ( z ₀ )/ c _k وإذا كانت t موجبة وصغيرة بما فيه الكفاية، فإن | p ( z ₀ + ta )| < | p ( z ₀ )|، وهو أمر مستحيل، لأن | p ( z ₀ )| هو الحد الأدنى لـ | p | على D.    

لإثبات طوبولوجي آخر بالتناقض، لنفترض أن متعددة الحدود p ( z ) ليس لها جذور، وبالتالي لا تساوي صفرًا أبدًا. تخيل متعددة الحدود كدالة من المستوى المركب إلى المستوى المركب. فهي تحول أي دائرة | z |  = R إلى حلقة مغلقة، وهي منحنى P ( R ). سندرس ما يحدث لعدد لفات P ( R ) عند القيم القصوى عندما تكون R كبيرة جدًا وعندما R = 0. عندما تكون R عددًا كبيرًا بما فيه الكفاية، فإن الحد الرئيسي z  n من p ( z ) يهيمن على جميع الحدود الأخرى مجتمعة؛ بعبارة أخرى، 

${\displaystyle \left|z^{n}\right|>\left|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right|.}$

عندما يقطع المحور z الدائرة${\displaystyle Re^{i\theta }}$مرة واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi ),}$ثم${\displaystyle z^{n}=R^{n}e^{in\theta }}$تدور الرياح n مرة عكس اتجاه عقارب الساعة${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi n)}$حول نقطة الأصل (0,0)، وكذلك P ( R ). في الطرف الآخر، عندما | z |  =  0، يكون المنحنى P (0) هو النقطة الوحيدة p (0)، والتي يجب أن تكون غير صفرية لأن p ( z ) لا تساوي صفرًا أبدًا. بالتالي، يجب أن تكون p (0) مختلفة عن نقطة الأصل (0,0)، التي تُمثل 0 في المستوى المركب. ومن ثم، فإن عدد لفات P (0) حول نقطة الأصل (0,0) يساوي صفرًا. الآن، سيؤدي تغيير R باستمرار إلى تشويه الحلقة باستمرار . عند قيمة معينة لـ R، يجب أن يتغير عدد اللفات. لكن هذا لا يمكن أن يحدث إلا إذا كان المنحنى P ( R ) يشمل نقطة الأصل (0,0) عند قيمة معينة لـ R. ولكن عندئذٍ، عند قيمة معينة لـ z على تلك الدائرة، | z |  = R، يكون لدينا p ( z ) = 0، وهو ما يناقض فرضنا الأصلي. لذلك، فإن p ( z ) لها صفر واحد على الأقل. 

يجب أن تستخدم هذه البراهين الخاصة بالنظرية الأساسية للجبر الحقيقتين التاليتين حول الأعداد الحقيقية التي ليست جبرية ولكنها تتطلب قدراً ضئيلاً من التحليل (وبشكل أدق، نظرية القيمة المتوسطة في كلتا الحالتين):

• كل متعددة حدود ذات درجة فردية ومعاملات حقيقية لها جذر حقيقي ما؛
• كل عدد حقيقي غير سالب له جذر تربيعي.

الحقيقة الثانية، بالإضافة إلى الصيغة التربيعية ، تستلزم نظرية كثيرات الحدود التربيعية الحقيقية. بعبارة أخرى، تُظهر البراهين الجبرية للنظرية الأساسية أنه إذا كان R أي حقل حقيقي مغلق ، فإن امتداده C = R ( √ -1 ) يكون مغلقًا جبريًا.

توجد طريقة أخرى لمعالجة النظرية الأساسية للجبر، تعود إلى جيه إم ألميرا وإيه روميرو: وهي استخدام الحجج الهندسية الريمانية . الفكرة الرئيسية هنا هي إثبات أن وجود متعددة حدود غير ثابتة p ( z ) بدون أصفار يستلزم وجود مقياس ريماني مسطح على الكرة S² ^. وهذا يؤدي إلى تناقض لأن الكرة ليست مسطحة.

يُقال إن السطح الريماني ( M , g ) مسطح إذا _كان انحناؤه الغاوسي ، الذي نرمز إليه بـ Kg ، معدومًا تمامًا. الآن، تنص نظرية غاوس-بونيه ، عند تطبيقها على الكرة S2 ^، على أن

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi ,}$

وهذا يثبت أن الكرة ليست مسطحة.

لنفترض الآن أن n > 0 و

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0}$

لكل عدد مركب z . لنُعرّف

${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}p\left({\tfrac {1}{z}}\right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

من الواضح أن p* ( z )  ≠ 0 لجميع قيم z في C. لنفترض متعددة الحدود f ( z )  = p ( z ) p* ( z ). إذن f ( z ) ≠ 0 لكل قيمة z في C. علاوة على ذلك،  

${\displaystyle f({\tfrac {1}{w}})=p\left({\tfrac {1}{w}}\right)p^{*}\left({\tfrac {1}{w}}\right)=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w).}$

يمكننا استخدام هذه المعادلة الوظيفية لإثبات أن g ، المعطاة بواسطة

${\displaystyle g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}}$

لكل w في C ، و

${\displaystyle g={\frac {1}{\left|f\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{\frac {2}{n}}}}\left|d\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{2}}$

بالنسبة لـ w  ∈ S ² \{0}، فإن مقياس ريماني محدد جيدًا على الكرة S ² (والذي نحدده بالمستوى المركب الممتد C ∪ {∞}).   

تُظهر عملية حسابية بسيطة أن

${\displaystyle \forall w\in \mathbf {C}$ :\qquad {\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,}

بما أن الجزء الحقيقي من الدالة التحليلية هو دالة توافقية، فإن هذا يثبت أن K _g  =  0.

• كوشي، أوغسطين لويس (1821)، Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique، 1 ^ère Partie: Analyze Algébrique ، باريس: طبعات جاك غاباي (نشرت عام 1992)(ترجمة: دورة في التحليل من الأكاديمية الملكية للفنون التطبيقية ، الجزء الأول: التحليل الجبري). ISBN 978-2-87647-053-8.
• أويلر ، ليونارد (1751)، “Recherches sur les racines imaginaires des équations” ، Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin ، المجلد.  5، برلين، ص 222 – 288، أرشفة من النسخة الأصلية بتاريخ 2008-12-24 ، استرجاعها 2008-01-28 . الترجمة الإنجليزية: Euler، Leonhard (1751)، “Investigations on the Imaginary Roots of Equations” (PDF) ، Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin ، المجلد. 5، برلين، ص 222 – 288  
• غاوس، كارل فريدريش (1799)، عرض نظري جديد لكل وظيفة جبرية عقلانية تكامل وحدة متغيرة في عوامل حقيقية أولية في الثانية متدرجة الحل ، هيلمستيدت : C.  G.  Fleckeisen(ترجمة: برهان جديد لنظرية مفادها أن كل دالة جبرية نسبية صحيحة لمتغير واحد يمكن تحليلها إلى عوامل حقيقية من الدرجة الأولى أو الثانية).
• غاوس، كارل فريدريش (1866)، كارل فريدريش غاوس ويرك ، المجلد.  الفرقة الثالثة، Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
  1. عرض نظرية جديدة لوظيفة شاملة للجبر العقلاني التكاملي المتغير في العوامل الحقيقية الأولية والثانوية المتدرجة (1799)، الصفحات من 1 إلى 31. ، ص. 1، في كتب جوجل – البرهان الأول.
  2. عرض جديد لنظرية تغيير كل وظيفة جبرية عقلانية متكاملة موحدة متغيرة في العوامل الحقيقية الأولية والثانوية المتدرجة (1815 ديسمبر)، الصفحات من 32 إلى 56. ، ص. 32، في كتب جوجل – الدليل الثاني.
  3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in Factores Reales Demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan)، الصفحات من 57 إلى 64. ، ص. 57، في كتب جوجل – البرهان الثالث.
  4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli)، الصفحات من 71 إلى 103. ، ص. 71، في كتب جوجل – البرهان الرابع.
• كنسر، هيلموث (1940)، “Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus” ، Mathematische Zeitschrift ، المجلد.  46، الصفحات من 287 إلى 302، دوى : 10.1007/BF01181442 ، ISSN 0025-5874 ، S2CID 120861330   (النظرية الأساسية للجبر والحدسية ).
• كنسر ، مارتن (1981)، “Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra” ، Mathematische Zeitschrift ، المجلد.  177، لا.  2، الصفحات من 285 إلى 287، دوى : 10.1007/BF01214206 ، ISSN 0025-5874 ، S2CID 122310417   (ترجمة: امتداد لعمل هيلموت كنيسر حول النظرية الأساسية للجبر).
• أوستروفسكي ، ألكسندر (1920)، “Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra” ، Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2(ترجمة: حول البرهان الأول والرابع لنظرية الجبر الأساسية باستخدام طريقة غاوس).
• Weierstraß، Karl (1891)، “Neuer Beweis des Satzes، dass jede ganze Rationalation Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus lineen Functionen derselben Veränderlichen”، Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin ، pp. 1085- 1101 (ترجمة: برهان جديد لنظرية مفادها أن كل دالة كسرية صحيحة لمتغير واحد يمكن تمثيلها كحاصل ضرب دوال خطية لنفس المتغير).

• ألميرا، خوسيه ماريا؛ روميرو، ألفونسو (2007)، "تطبيق آخر لنظرية غاوس-بونيه على الكرة" ، نشرة الجمعية الرياضية البلجيكية ، المجلد  14، الصفحات 341-342 ، MR 2341569  
• ألميرا، خوسيه ماريا؛ روميرو، ألفونسو (2012)، "بعض البراهين الهندسية الريمانية للنظرية الأساسية للجبر" (ملف PDF) ، الهندسة التفاضلية - الأنظمة الديناميكية ، المجلد  14، الصفحات 1-4 ، MR 2914638  
• دي أوليفيرا، أوزوالدو ريو برانكو (2011)، "النظرية الأساسية للجبر: برهان أولي ومباشر"، مجلة الرياضيات الذكية ، المجلد  33، العدد  2، الصفحات 1-2 ، doi : 10.1007/s00283-011-9199-2 ، MR 2813254 ، S2CID 5243991   
• دي أوليفيرا، أوزوالدو ريو برانكو (2012)، "النظرية الأساسية للجبر: من العمليات الأساسية الأربع"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، المجلد  119، العدد  9، الصفحات 753-758 ، arXiv : 1110.0165 ، doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.09.753 ، MR 2990933 ، S2CID 218548926   
• فاين، بنيامين؛ روزنبرغر، غيرهارد (1997)، النظرية الأساسية للجبر ، نصوص جامعية في الرياضيات ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-94657-3MR 1454356​ 
• جيرستن، ستيفن م.؛ ستالينجز، جون ر. (1988)، "حول برهان جاوس الأول للنظرية الأساسية في الجبر"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد  103، العدد  1، الصفحات 331-332 ، doi : 10.1090/S0002-9939-1988-0938691-3 ، ISSN 0002-9939 ، JSTOR 2047574 ، MR 0938691    
• جيلين ، كريستيان (1991)، “Sur l’histoire du théorème fondamental de l’algebre: théorie des équations et calcul intégral”، أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة ، المجلد.  42، لا.  2، الصفحات من 91 إلى 136، دوى : 10.1007/BF00496870 ، ISSN 0003-9519 ، S2CID 121468210   (ترجمة: حول تاريخ النظرية الأساسية للجبر: نظرية المعادلات وحساب التكامل .)
• الأماكن القريبة : Le Vavasseur، Raymond (1916)، “Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental”، في ماير، فرانسوا؛ Molk، Jules (eds.)، Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées، المجلد  الأول، المجلد.  2 ، طبعات جاك غاباي (نشرت عام 1992)رقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 978-2-87647-101-6. (ترجمة: الدوال الكسرية §80–88: النظرية الأساسية).
• ريمرت، رينهولد (1991)، “النظرية الأساسية للجبر”، في إبنجهاوس، هاينز ديتر؛ هيرميس، هانز. هيرزبروخ، فريدريش (محرران)، أرقام ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات 123، برلين: Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-97497-2
• شيبمان، جوزيف (2007)، "تحسين النظرية الأساسية للجبر"، مجلة الرياضيات الذكية ، المجلد  29، العدد  4، الصفحات 9-14 ، doi : 10.1007/BF02986170 ، ISSN 0343-6993 ، S2CID 123089882   
• سميل، ستيف (1981)، "النظرية الأساسية للجبر ونظرية التعقيد"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 4 (1): 1-36 ، doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14858-8
• سميث، ديفيد يوجين (1959)، كتاب مصادر في الرياضيات ، دوفررقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 978-0-486-64690-9.
• سميثيز، فرانك (2000)، "ورقة بحثية منسية حول النظرية الأساسية للجبر"، ملاحظات وسجلات الجمعية الملكية ، المجلد  54، العدد  3، الصفحات 333-341 ، doi : 10.1098/rsnr.2000.0116 ، ISSN 0035-9149 ، S2CID 145593806   
• تايلور، بول (2 يونيو 2007)، برهان غاوس الثاني على النظرية الأساسية للجبر– الترجمة الإنجليزية للبرهان الثاني لغوس.
• فان دير وايردن، بارتل ليندرت (2003)، الجبر ، المجلد.  أنا (  الطبعة السابعة)، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-40624-4