موجة المادة

في أواخر القرن التاسع عشر، كان يُعتقد أن الضوء يتكون من موجات من المجالات الكهرومغناطيسية تنتشر وفقًا لمعادلات ماكسويل ، بينما كان يُعتقد أن المادة تتكون من جسيمات موضعية (انظر تاريخ ازدواجية الموجة والجسيم ). في عام 1900، طُعن في هذا التقسيم عندما اقترح ماكس بلانك ، أثناء بحثه في نظرية إشعاع الجسم الأسود ، أن الطاقة الحرارية للذرات المتذبذبة تنقسم إلى أجزاء منفصلة، ​​أو كمات. ^{[ 1 ]} وبتوسيع بحث بلانك بعدة طرق، بما في ذلك ربطه بالتأثير الكهروضوئي ، اقترح ألبرت أينشتاين في عام 1905 أن الضوء ينتشر ويُمتص أيضًا على شكل كمات، ^{[ 2 ] : 87} تُسمى الآن بالفوتونات . وتمتلك هذه الكمات طاقة تُعطى بعلاقة بلانك-أينشتاين : $${\displaystyle E=h\nu }$$ ومتجه الزخم${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|=p={\frac {E}{c}}={\frac {h}{\lambda }},}$$ حيث يرمز ν ( الحرف اليوناني الصغير نيو ) و λ ( الحرف اليوناني الصغير لامدا ) إلى تردد الضوء وطوله الموجي على التوالي، و c إلى سرعة الضوء ، و h إلى ثابت بلانك . [ ^{3 ] في} الاصطلاح الحديث، يُرمز للتردد بالرمز f كما هو الحال في بقية هذه المقالة. تم التحقق من فرضية أينشتاين تجريبيًا ^{[ 2 ] : 89} بواسطة كي تي كومبتون وأو دبليو ريتشاردسون ^{[ 4 ]} ، وبواسطة إيه إل هيوز ^{[ 5 ]} في عام 1912، ثم بدقة أكبر، بما في ذلك قياس ثابت بلانك في عام 1916 بواسطة روبرت ميليكان . ^{[ 6 ]}

عندما وضعت الأفكار الأساسية الأولى لميكانيكا الموجة في عامي 1923-1924، كنت أسترشد بهدف إجراء توليف فيزيائي حقيقي، صالح لجميع الجسيمات، لتعايش الموجة والجوانب الجسيمية التي قدمها أينشتاين للفوتونات في نظريته عن كمات الضوء في عام 1905.

اقترح دي برولي ، في أطروحته للدكتوراه عام 1924، ^{[ 8 ]} أن الإلكترونات، كما للضوء خصائص موجية وجسيمية، تمتلك أيضًا خصائص موجية. انطلقت أطروحته من فرضية مفادها أنه "يمكن ربط كل جزء من الطاقة بكتلة مناسبة m₀ بظاهرة دورية بتردد _{ν₀ ،} بحيث نجد: hν₀ = _{m₀c² .} ويُقاس التردد _ν₀ ، بطبيعة الحال، في إطار سكون حزمة الطاقة. هذه الفرضية هي أساس نظريتنا." ^{[ 9 ] [ 8 ] : 8 [ 10 ]} [ ^{11 ] [ 12 ] [ 13 ] (} يُعرف هذا التردد أيضًا بتردد كومبتون ⁾ .

لإيجاد الطول الموجي المكافئ لجسم متحرك، قام دي برولي ^{[ 2 ] : 214} بتحديد الطاقة الكلية من النسبية الخاصة لهذا الجسم مساوية لـ h ν : $${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=h\nu }$$

(لم تعد الفيزياء الحديثة تستخدم هذا الشكل من الطاقة الكلية؛ فقد أثبتت علاقة الطاقة بالزخم أنها أكثر فائدة.) حدد دي برولي سرعة الجسيم،${\displaystyle v}$، مع سرعة مجموعة الموجات في الفضاء الحر: $${\displaystyle v_{\text{g}}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}$$

(يستخدم التعريف الحديث لسرعة المجموعة التردد الزاوي ω والعدد الموجي k ). بتطبيق التفاضلات على معادلة الطاقة وتحديد الزخم النسبي : $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

ثم قام دي برولي بالتكامل، وتوصل إلى صيغته للعلاقة بين الطول الموجي ، λ ، المرتبط بالإلكترون ومقياس زخمه ، p ، من خلال ثابت بلانك ، h : ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$$

استكمالاً لأفكار دي برولي، أدلى الفيزيائي بيتر ديباي بتعليق عابر مفاده أنه إذا كانت الجسيمات تتصرف كموجات، فينبغي أن تخضع لنوع من معادلات الموجة. مستلهماً من ملاحظة ديباي، قرر إرفين شرودنغر إيجاد معادلة موجية ثلاثية الأبعاد مناسبة للإلكترون. وقد استرشد بتشبيه ويليام روان هاميلتون بين الميكانيكا والبصريات (انظر تشبيه هاميلتون البصري الميكانيكي )، والذي يتجسد في ملاحظة أن حد الطول الموجي الصفري للبصريات يشبه نظاماً ميكانيكياً - حيث تصبح مسارات أشعة الضوء مسارات حادة تخضع لمبدأ فيرما ، وهو نظير لمبدأ الفعل الأدنى . ^{[ 15 ]}

في عام 1926، نشر شرودنغر معادلة الموجة التي تحمل اسمه الآن ^{[ 16 ]} - وهي نظير معادلات ماكسويل في مجال موجات المادة - واستخدمها لاستنتاج طيف طاقة الهيدروجين . تختلف ترددات حلول معادلة شرودنغر غير النسبية عن موجات دي برولي بتردد كومبتون ، لأن الطاقة المقابلة لكتلة سكون الجسيم ليست جزءًا من معادلة شرودنغر غير النسبية. تصف معادلة شرودنغر التطور الزمني لدالة الموجة ، وهي دالة تُسند عددًا مركبًا لكل نقطة في الفضاء. حاول شرودنغر تفسير مربع القيمة المطلقة لدالة الموجة على أنه كثافة شحنة، إلا أن هذا النهج لم ينجح. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} اقترح ماكس بورن أن مربع القيمة المطلقة لدالة الموجة هو في الواقع كثافة احتمالية ، وهو اقتراح ناجح يُعرف الآن بقاعدة بورن . ^{[ 17 ]}

في العام التالي، 1927، استكشف سي جي داروين (حفيد عالم الأحياء الشهير تشارلز داروين ) معادلة شرودنغر في عدة سيناريوهات مثالية. ^{[ 20 ]} بالنسبة لإلكترون غير مقيد في الفضاء الحر، قام بحساب انتشار الموجة، بافتراض حزمة موجية غاوسية أولية . أظهر داروين أنه عند الزمن${\displaystyle t}$لاحقاً الموقف${\displaystyle x}$من الحزمة التي تتحرك بسرعة${\displaystyle v}$سيكون $${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+\left({\frac {ht}{2\pi \sigma m}}\right)^{2}}},}$$ أين${\displaystyle \sigma }$يمثل عدم اليقين في الموضع الابتدائي. ويؤدي عدم اليقين هذا في الموضع إلى عدم يقين في السرعة (الحد الثاني في الجذر التربيعي) بما يتوافق مع علاقة عدم اليقين لهايزنبرغ . وتنتشر حزمة الموجة كما هو موضح في الشكل.

في عام 1927، تم تأكيد حدوث موجات المادة تجريبياً لأول مرة في تجربة حيود جورج باجيت طومسون وألكسندر ريد ^{[ 21 ]} وتجربة دافيسون-جيرمر ^{[ 22 ] [ 23 ]} ، وكلاهما للإلكترونات. ^{[ 24 ] [ 25 ] : 56}

كاميرا حيود الإلكترون الأصلية التي صنعها واستخدمها الحائز على جائزة نوبل جي بي طومسون وطالبه ألكسندر ريد في عام 1925

مثال على صورة حيود الإلكترون الأصلية من مختبر جي بي طومسون، تم تسجيلها في الفترة 1925-1927

تم تأكيد فرضية دي برولي ووجود موجات المادة بالنسبة للجسيمات الأولية الأخرى والذرات المتعادلة وحتى الجزيئات. ^{[ 26 ]}

استُخدمت أنماط تداخل الموجات الإلكترونية الأولى التي أظهرت ازدواجية الموجة والجسيم بشكل مباشر باستخدام موشورات إلكترونية ثنائية ^{[ 27 ] [ 28 ]} (وهي عبارة عن سلك موضوع في مجهر إلكتروني) وقاست إلكترونات مفردة لتكوين نمط الحيود. وقد أعطت نسخة طبق الأصل من تجربة الشق المزدوج الشهيرة ^{[ 29 ] ، باستخدام الإلكترونات من خلال فتحات مادية ،} الفيلم المعروض. ^{[ 30 ]}

في فرضية دي برولي، تتساوى سرعة الجسيم مع سرعة المجموعة لموجة المادة. ^{[ 2 ] : 214} في الأوساط المتجانسة أو الفراغ، تُعرَّف سرعة المجموعة للموجة كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}}$$ تُسمى العلاقة بين التردد الزاوي ومتجه الموجة بعلاقة التشتت . وفي الحالة غير النسبية، تكون هذه العلاقة كما يلي: $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,,}$$ أين${\displaystyle m_{0}}$هي كتلة السكون. بتطبيق المشتقة نحصل على سرعة مجموعة موجات المادة (غير النسبية) : $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m_{0}}}\,.}$$ للمقارنة، سرعة مجموعة الضوء، مع تشتت${\displaystyle \omega (k)=ck}$، هي سرعة الضوء${\displaystyle c}$.

كبديل، استخدام علاقة التشتت النسبية لموجات المادة $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,,}$$ ثم $${\displaystyle \mathbf {v_{g}} ={\frac {\mathbf {k} c^{2}}{\omega }}\,.}$$ يرتبط هذا الشكل النسبي بسرعة الطور كما هو موضح أدناه.

بالنسبة للأوساط غير المتجانسة، نستخدم صيغة الطاقة والزخم بدلاً من ذلك: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\partial \omega }{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (\mathbf {p} /\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial \mathbf {p} }}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}.\end{aligned}}}$$

لكن (انظر أدناه)، بما أن سرعة الطور هي${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }=E/\mathbf {p} =c^{2}/\mathbf {v} }$، ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} _{\mathrm {g} }&={\frac {\mathbf {p} c^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} _{\mathrm {p} }}}\\&=\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {v} }$هي سرعة مركز كتلة الجسيم، وهي مطابقة لسرعة المجموعة.

تُعرَّف سرعة الطور في الأوساط المتجانسة على النحو التالي :$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}}$$ باستخدام سرعة المجموعة النسبية المذكورة أعلاه: ^{[ 2 ] : 215}$${\displaystyle \mathbf {v_{p}} ={\frac {c^{2}}{\mathbf {v_{g}} }}}$$ هذا يدل على أن${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$كما ذكر آر دبليو ديتشبورن في عام 1948 وجيه إل سينج في عام 1952. وتخضع الموجات الكهرومغناطيسية أيضًا لقانون نيوتن الثاني. ${\displaystyle \mathbf {v_{p}} \cdot \mathbf {v_{g}} =c^{2}}$، كما هو الحال مع كليهما${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |=c}$و${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |=c}$بما أن موجات المادة${\displaystyle |\mathbf {v_{g}} |<c}$وبناءً على ذلك${\displaystyle |\mathbf {v_{p}} |>c}$لكن سرعة المجموعة وحدها هي التي تحمل المعلومات. لذا، فإن سرعة الطور الأسرع من الضوء لا تنتهك النسبية الخاصة، لأنها لا تحمل معلومات.

أما بالنسبة للأوساط غير المتجانسة، $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{\mathbf {k} }}={\frac {E/\hbar }{\mathbf {p} /\hbar }}={\frac {E}{\mathbf {p} }}.}$$

يؤدي استخدام العلاقات النسبية للطاقة والزخم إلى $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {p} }={\frac {E}{\mathbf {p} }}={\frac {mc^{2}}{m\mathbf {v} }}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}\mathbf {v} }}={\frac {c^{2}}{\mathbf {v} }}.}$$ المتغير${\displaystyle \mathbf {v} }$يمكن تفسيرها إما على أنها سرعة الجسيم أو سرعة المجموعة لموجة المادة المقابلة - وهما متطابقتان. بما أن سرعة الجسيم${\displaystyle |\mathbf {v} |<c}$بالنسبة لأي جسيم له كتلة غير صفرية (وفقًا للنسبية الخاصة )، فإن سرعة طور موجات المادة تتجاوز دائمًا سرعة الضوء (c) ، أي $${\displaystyle |\mathbf {v} _{\mathrm {p} }|>c,}$$ والتي تقترب من سرعة الضوء (c) عندما تكون سرعة الجسيم نسبية. لا تُخالف سرعة الطور الفائقة للضوء النسبية الخاصة، على غرار الحالة المذكورة أعلاه للأوساط غير المتجانسة. راجع مقال التشتت (البصريات) لمزيد من التفاصيل.

باستخدام صيغتين من النسبية الخاصة ، إحداهما لطاقة الكتلة النسبية والأخرى للزخم النسبي$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}\\[1ex]\mathbf {p} &=m\mathbf {v} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \end{aligned}}}$$ يسمح ذلك بكتابة معادلات طول موجة دي برولي وترددها على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\[2.38ex]&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle v=|\mathbf {v} |}$هي السرعة ،${\displaystyle \gamma }$عامل لورنتز ، و${\displaystyle c}$سرعة الضوء في الفراغ. ^{[ 56 ] [ 57 ]} وهذا يدل على أنه عندما تقترب سرعة الجسيم من الصفر (السكون)، فإن طول موجة دي برولي يقترب من اللانهاية.

باستخدام المتجهات الرباعية، تشكل علاقات دي برولي معادلة واحدة: $${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} ,}$$ وهي علاقة مستقلة عن الإطار المرجعي . وبالمثل، تُعطى العلاقة بين سرعة المجموعة/الجسيم وسرعة الطور بصيغة مستقلة عن الإطار المرجعي كما يلي: $${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} ,}$$ أين

• الزخم الرباعي${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\mathbf {p} }\right)}$
• متجه الموجة الرباعي${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\mathbf {k} }\right)}$
• أربع سرعات${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\mathbf {u} })=\gamma (c,v_{\mathrm {g} }{\hat {\mathbf {u} }})}$

سيكون للوصف الأكثر عمومية لموجات المادة التي تتوافق مع نوع واحد من الجسيمات (مثل إلكترون واحد أو نيوترون واحد فقط) شكل مشابه لـ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -iE(\mathbf {k} )t/\hbar )}$$ حيث يوجد الآن مصطلح مكاني إضافي${\displaystyle u(\mathbf {r} ,\mathbf {k} )}$في المقدمة، وقد كُتبت الطاقة بشكل عام كدالة لمتجه الموجة. لا تزال المصطلحات المختلفة المذكورة سابقًا سارية، على الرغم من أن الطاقة لم تعد تتناسب دائمًا مع مربع متجه الموجة. يتمثل أحد الأساليب الشائعة في تعريف كتلة فعالة ، وهي في الغالب موتر.${\displaystyle m_{ij}^{*}}$مقدم من $${\displaystyle {m_{ij}^{*}}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$$ بحيث يكون الشكل في الحالة البسيطة حيث تكون جميع الاتجاهات متماثلة مشابهاً لشكل الموجة الحرة المذكورة أعلاه.$${\displaystyle E(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m^{*}}}}$$بشكل عام، يتم استبدال سرعة المجموعة بتيار الاحتمالية ^{[ 58 ]}$${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {r} )={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}(\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )-\psi (\mathbf {r} )\mathbf {\nabla } \psi ^{*}(\mathbf {r} )\right)}$$ أين${\displaystyle \nabla }$هو عامل التدرج أو عامل الانحدار . وسيتم وصف الزخم باستخدام عامل الزخم الحركي ، ^{[ 58 ]}$${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla }$$ لا يزال يُوصف الطول الموجي بأنه مقلوب معيار متجه الموجة، على الرغم من أن قياسه أكثر تعقيدًا. وهناك العديد من الحالات التي يُستخدم فيها هذا النهج لوصف موجات المادة أحادية الجسيم.

• تُشكل موجات بلوخ أساسًا للكثير من بنية النطاقات كما هو موضح في آش كروفت وميرمين ، وتُستخدم أيضًا لوصف حيود الإلكترونات عالية الطاقة بواسطة المواد الصلبة. ^{[ 59 ] [ 35 ]}
• الموجات ذات الزخم الزاوي مثل حزم دوامات الإلكترون . ^{[ 60 ]}
• الموجات المتلاشية ، حيث يكون مُركِّب متجه الموجة في اتجاه واحد مُركباً. وهي شائعة عند انعكاس موجات المادة، وخاصةً عند حيود الموجات بزاوية سقوط مائلة .

تتضمن أنواع أخرى من موجات المادة أكثر من جسيم واحد، ولذلك تُسمى موجات جماعية، وغالبًا ما تكون شبه جسيمات . ويحدث العديد منها في المواد الصلبة - انظر آش كروفت وميرمين . ومن الأمثلة على ذلك:

• في المواد الصلبة، يُعرف شبه الجسيم الإلكتروني بأنه إلكترونٌ أُخذت تفاعلاته مع الإلكترونات الأخرى في المادة الصلبة بعين الاعتبار. يمتلك شبه الجسيم الإلكتروني نفس الشحنة والدوران للإلكترون "العادي" ( الجسيم الأولي )، وهو، كالإلكترون العادي، فرميون . مع ذلك، قد تختلف كتلته الفعالة اختلافًا كبيرًا عن كتلة الإلكترون العادي. ^{[ 61 ]} كما يتغير مجاله الكهربائي نتيجةً لحجب المجال الكهربائي .
• الثقب هو جسيم شبه حقيقي يمكن اعتباره فراغًا للإلكترون في حالة معينة؛ ويُستخدم عادةً في سياق الحالات الفارغة في نطاق التكافؤ لأشباه الموصلات . ^{[ 61 ]} الثقب له شحنة معاكسة لشحنة الإلكترون.
• البولارون هو جسيم شبهي يتفاعل فيه الإلكترون مع استقطاب الذرات المجاورة.
• الإكسيتون هو زوج من الإلكترون والفجوة يرتبطان معًا.
• زوج كوبر هو إلكترونان مرتبطان معًا بحيث يتصرفان كموجة مادية واحدة.

أما الفئة الثالثة فهي موجات المادة التي لها متجه موجي وطول موجي وتتغير مع الزمن، ولكن سرعة مجموعها أو تدفق احتمالاتها يساوي صفرًا . وأبسط هذه الموجات، على غرار الترميز المذكور أعلاه، هي $${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$$ تحدث هذه الظاهرة كجزء من نموذج الجسيم في صندوق ، وفي حالات أخرى مثل الحلقة . ويمكن، بل ينبغي، توسيع نطاق هذا المفهوم ليشمل العديد من الحالات الأخرى. فعلى سبيل المثال، استخدم دي برولي في أعماله المبكرة مفهوم أن موجة المادة الإلكترونية يجب أن تكون متصلة في حلقة لربطها بشرط بور-سومرفيلد في المقاربات الأولى لميكانيكا الكم. ^{[ 62 ]} وبهذا المعنى، تُعد المدارات الذرية حول الذرات، وكذلك المدارات الجزيئية، موجات مادة إلكترونية. ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}

تظهر أنماط حيود الإلكترون عندما تعكس الإلكترونات النشطة أو تخترق المواد الصلبة المنظمة؛ ويؤدي تحليل الأنماط إلى نماذج للترتيب الذري في المواد الصلبة.

تُستخدم هذه التقنيات للتصوير من الميكرون إلى المقياس الذري باستخدام المجاهر الإلكترونية ، في وضع الإرسال ، باستخدام المسح الضوئي ، وللأسطح عند الطاقات المنخفضة .

توفر قياسات الطاقة المفقودة في مطيافية فقدان طاقة الإلكترون معلوماتٍ حول التركيب الكيميائي والإلكتروني للمواد. كما تُنتج حزم الإلكترونات أشعة سينية مميزة في مطيافية تشتت الطاقة، والتي بدورها تُوفر معلوماتٍ حول المحتوى الكيميائي على المستوى النانوي.

يشرح النفق الكمومي كيف تهرب الإلكترونات من المعادن في مجال كهرساكن عند طاقات أقل مما تسمح به التنبؤات الكلاسيكية: تخترق موجة المادة حاجز دالة الشغل في المعدن.

يستخدم مجهر المسح النفقي تقنية النفق الكمومي لتصوير الطبقة الذرية العليا للأسطح الصلبة.

التصوير المجسم الإلكتروني ، وهو نظير موجة المادة الإلكترونية للتصوير المجسم البصري ، يستكشف المجالات الكهربائية والمغناطيسية في الأغشية الرقيقة.

يكمل حيود النيوترونات حيود الأشعة السينية من خلال مقاطع التشتت المختلفة والحساسية للمغناطيسية.

يوفر تشتت النيوترونات بزاوية صغيرة طريقة للحصول على بنية الأنظمة غير المنتظمة التي تتميز بحساسيتها للعناصر الخفيفة والنظائر والعزوم المغناطيسية.

قياس انعكاس النيوترونات هو تقنية حيود النيوترونات لقياس بنية الأغشية الرقيقة.

تقيس مقاييس التداخل الذري ، المشابهة لمقاييس التداخل البصري ، الفرق في الطور بين موجات المادة الذرية على طول مسارات مختلفة.

تحاكي البصريات الذرية العديد من الأجهزة البصرية الضوئية، بما في ذلك المرايا وألواح منطقة تركيز الذرات.

يستخدم المجهر الهيليومي الماسح موجات ذرات الهيليوم لتصوير الهياكل الصلبة بطريقة غير مدمرة.

يستخدم الانعكاس الكمي سلوك الموجة المادية لشرح الانعكاس الذري بزاوية مائلة، وهو أساس بعض المرايا الذرية .

تعتمد قياسات التفكك الكمي على تداخل موجات ذرات الروبيديوم.

يكشف التراكب الكمومي، الذي تم الكشف عنه من خلال تداخل موجات المادة من الجزيئات الكبيرة، عن حدود ازدواجية الموجة والجسيم والواقعية الكمومية. ^{[ 84 ] [ 85 ]}

تُنتج مقاييس التداخل الموجي للمادة هياكل نانوية على الحزم الجزيئية يمكن قراءتها بدقة نانومترية، وبالتالي يمكن استخدامها لقياسات القوة عالية الحساسية، والتي يمكن من خلالها استنتاج عدد كبير من خصائص الجزيئات المعقدة الفردية. ^{[ 86 ]}