معادلات الموجة النسبية

في الفيزياء ، وتحديدًا في ميكانيكا الكم النسبية وتطبيقاتها في فيزياء الجسيمات ، تتنبأ معادلات الموجة النسبية بسلوك الجسيمات عند الطاقات العالية والسرعات التي تُقارب سرعة الضوء . وفي سياق نظرية الحقل الكمومي ، تُحدد هذه المعادلات ديناميكيات الحقول الكمومية . وتُعرف حلول هذه المعادلات، التي يُرمز لها عالميًا بالرمزين $ψ$ أو $Ψ$ ( من اليونانية psi )، باسم " الدوال الموجية " في سياق ميكانيكا الكم النسبية، و" الحقول " في سياق نظرية الحقل الكمومي. وتُسمى المعادلات نفسها "معادلات الموجة" أو "معادلات الحقل"، لأنها تتخذ الشكل الرياضي لمعادلة الموجة ، أو لأنها مُشتقة من كثافة لاغرانجية ومعادلات أويلر-لاغرانج في نظرية الحقل (انظر نظرية الحقل الكلاسيكية للاطلاع على الخلفية).

في صورة شرودنغر ، تكون الدالة الموجية أو المجال هو حل معادلة شرودنغر . $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi ,$ إحدى مسلمات ميكانيكا الكم . يمكن بناء جميع معادلات الموجة النسبية بتحديد أشكال مختلفة لمؤثر هاميلتون Ĥ الذي يصف النظام الكمومي . بدلاً من ذلك، يستخدم فاينمان في صياغته التكاملية للمسار مؤثر لاغرانجي بدلاً من مؤثر هاميلتون.

وبشكل أكثر عمومية - فإن الصيغة الحديثة وراء معادلات الموجة النسبية هي نظرية مجموعة لورنتز ، حيث يكون لدوران الجسيم تطابق مع تمثيلات مجموعة لورنتز . ^{[ 1 ]}

تاريخ

أوائل عشرينيات القرن العشرين: الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكا الكمية

أدى فشل الميكانيكا الكلاسيكية في تطبيقها على الأنظمة الجزيئية والذرية والنووية وما دونها إلى الحاجة إلى ميكانيكا جديدة: ميكانيكا الكم . وقد قاد الصياغة الرياضية كلٌ من دي برولي ، وبور ، وشرودنغر ، وباولي ، وهايزنبرغ ، وآخرون، في منتصف عشرينيات القرن العشرين تقريبًا، وكانت آنذاك مماثلة للميكانيكا الكلاسيكية. تشبه معادلة شرودنغر وصورة هايزنبرغ معادلات الحركة الكلاسيكية في حالة الأعداد الكمية الكبيرة (مستويات الطاقة الأعلى) وعندما يؤول ثابت بلانك المختزل $ħ$ (كم الفعل ) إلى الصفر. وهذا ما يُعرف بمبدأ التوافق . في هذه المرحلة، لم تكن النسبية الخاصة قد تم دمجها بالكامل مع ميكانيكا الكم، لذلك لم يكن من الممكن استخدام صيغ شرودنغر وهايزنبرغ، كما تم اقتراحها في الأصل، في الحالات التي تتحرك فيها الجسيمات بسرعة قريبة من سرعة الضوء ، أو عندما يتغير عدد كل نوع من الجسيمات (يحدث هذا في تفاعلات الجسيمات الحقيقية ؛ الأشكال العديدة لتحلل الجسيمات ، والإفناء ، وخلق المادة ، وإنتاج الأزواج ، وما إلى ذلك).

أواخر عشرينيات القرن العشرين: ميكانيكا الكم النسبية للجسيمات ذات اللف المغزلي 0 والجسيمات ذات _{اللف المغزلي}^1/2

سعى العديد من الفيزيائيين النظريين، منذ أواخر عشرينيات القرن العشرين وحتى منتصف أربعينياته، إلى إيجاد وصف للأنظمة الميكانيكية الكمومية التي يمكنها تفسير التأثيرات النسبية . ^{[ 2 ]} وقد وجد جميع مكتشفي ما يُعرف عادةً بمعادلة كلاين-غوردون الأساس الأول للميكانيكا الكمومية النسبية ، أي تطبيق النسبية الخاصة مع الميكانيكا الكمومية معًا .

-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+(\hbar c)^{2}\nabla ^{2}\psi =(mc^{2})^{2}\psi ,

1

عن طريق إدخال مؤثر الطاقة ومؤثر الزخم في علاقة الطاقة والزخم النسبية :

E^{2}-(pc)^{2}=(mc^{2})^{2}.

2

حلول المعادلة ( 1 ) هي حقول قياسية . معادلة KG غير مرغوب فيها بسبب تنبؤها بطاقات واحتمالات سالبة ، نتيجةً للطبيعة التربيعية للمعادلة ( 2 ) - وهو أمر لا مفر منه في النظرية النسبية. اقترح شرودنغر هذه المعادلة في البداية، ثم تخلى عنها لهذه الأسباب، ليكتشف بعد بضعة أشهر أن حدها غير النسبي (ما يُعرف الآن بمعادلة شرودنغر ) لا يزال ذا أهمية. مع ذلك، فإن المعادلة ( 1 ) قابلة للتطبيق على بوزونات اللف المغزلي الصفري . ^[³^]

لم تستطع المعادلات غير النسبية ولا النسبية التي اكتشفها شرودنغر التنبؤ بالبنية الدقيقة في سلسلة طيف الهيدروجين . كانت الخاصية الأساسية الغامضة هي اللف المغزلي . قدم باولي أول مصفوفات اللف المغزلي ثنائية الأبعاد (المعروفة باسم مصفوفات باولي ) في معادلة باولي ؛ معادلة شرودنغر مع هاميلتوني غير نسبي يتضمن حدًا إضافيًا للجسيمات في المجالات المغناطيسية ، لكن هذا كان ظاهريًا . وجد فايل معادلة نسبية بدلالة مصفوفات باولي؛ معادلة فايل ، للفيرميونات عديمة الكتلة ذات اللف المغزلي 1/2. تم حل المشكلة بواسطة ديراك في أواخر عشرينيات القرن العشرين، عندما طور تطبيق المعادلة ( 2 ) على الإلكترون - من خلال عمليات تلاعب مختلفة، قام بتحليل المعادلة إلى الشكل

\left({\frac {E}{c}}-{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\left({\frac {E}{c}}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} +\beta mc\right)\psi =0,

3أ

ومن هذه العوامل معادلة ديراك (انظر أدناه)، عند إدخال مؤثري الطاقة والزخم. وقد أدخلت هذه المعادلة، لأول مرة، مصفوفات اللف المغزلي رباعية الأبعاد $α$ و $β$ في معادلة الموجة النسبية، وشرحت البنية الدقيقة للهيدروجين. حلول المعادلة ( 3A ) هي حقول سبينور متعددة المكونات ، ويحقق كل مكون منها المعادلة ( 1 ). ومن النتائج اللافتة لحلول السبينور أن نصف المكونات يصف جسيمًا بينما يصف النصف الآخر جسيمًا مضادًا ؛ في هذه الحالة الإلكترون والبوزيترون . ومن المعروف الآن أن معادلة ديراك تنطبق على جميع الفرميونات ذات الكتلة واللف المغزلي 1/2 . في الحد غير النسبي، تُستعاد معادلة باولي، بينما تؤدي حالة انعدام الكتلة إلى معادلة فايل.

على الرغم من كونها علامة فارقة في نظرية الكم، إلا أن معادلة ديراك صحيحة فقط بالنسبة للفيرميونات ذات اللف المغزلي 1/2، ولا تزال تتنبأ بحلول الطاقة السالبة، الأمر الذي أثار جدلاً في ذلك الوقت (على وجه الخصوص - لم يكن جميع الفيزيائيين مرتاحين لـ " بحر ديراك " من حالات الطاقة السالبة).

1930-1960: ميكانيكا الكم النسبية للجسيمات ذات اللف المغزلي العالي

اتضحت المشكلة الطبيعية: تعميم معادلة ديراك لتشمل الجسيمات ذات اللف المغزلي ، سواء كانت فرميونات أو بوزونات، وفي نفس المعادلات جسيماتها المضادة (وهذا ممكن بفضل الصيغة السبينورية التي قدمها ديراك في معادلته، والتطورات الحديثة آنذاك في حساب السبينور التي أجراها فان دير فاردن عام 1929)، ومثاليًا مع حلول ذات طاقة موجبة. ^{[ 2 ]}

تم طرح هذه المسألة وحلها بواسطة ماجورانا في عام 1932، من خلال نهج منحرف عن معادلة ديراك. اعتبر ماجورانا أحد "جذور" المعادلة ( 3أ ):

\left({\frac {E}{c}}+{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {p} -\beta mc\right)\psi =0,

3ب

حيث $ψ$ حقل سبينوري، ذو عدد لا نهائي من المكونات، لا يمكن اختزاله إلى عدد محدود من الموترات أو السبينورات، لإزالة عدم التحديد في الإشارة. المصفوفتان $α$ و $β$ مصفوفتان لا نهائيتان الأبعاد، مرتبطتان بتحويلات لورنتز متناهية الصغر . لم يشترط أن يحقق كل مكون من مكونات 3B المعادلة ( 2 )؛ بل أعاد توليد المعادلة باستخدام فعل ثابت لورنتز ، عبر مبدأ الفعل الأدنى ، وتطبيق نظرية زمر لورنتز. ^[⁴^]^[⁵^]

قدّم ماجورانا إسهاماتٍ أخرى مهمة لم تُنشر، بما في ذلك معادلات الموجة ذات الأبعاد المختلفة (5 و6 و16). وقد سبقها في ذلك (بطريقةٍ أكثر تعقيدًا) دي برولي (1934)، ودافين وكيمر وبيتيو (حوالي 1938-1939) (انظر جبر دافين-كيمر-بيتيو ). كان شكل ديراك-فيرز-باولي أكثر تطورًا من شكل ماجورانا، إذ كانت السبينورات أدوات رياضية جديدة في أوائل القرن العشرين، على الرغم من أن ورقة ماجورانا لعام 1932 كانت صعبة الفهم تمامًا؛ واستغرق الأمر من باولي وويغنر بعض الوقت لفهمها، حوالي عام 1940. ^{[ 2 ]}

قام ديراك في عام 1936، وفيرز وباولي في عام 1939، ببناء معادلات من سبينورات غير قابلة للاختزال $A$ و $B$ ، متناظرة في جميع المؤشرات، لجسيم ضخم ذي دوران $n + 1/2$ لعدد صحيح $n$ (انظر تدوين فان دير فاردن لمعنى المؤشرات المنقطة):

p_{\gamma {\dot {\alpha }}}A_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcB_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}},

4أ

p^{\gamma {\dot {\alpha }}}B_{\gamma \epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}}=mcA_{\epsilon _{1}\epsilon _{2}\cdots \epsilon _{n}}^{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}_{1}{\dot {\beta }}_{2}\cdots {\dot {\beta }}_{n}},

4ب

حيث $p$ هو الزخم كمؤثر سبينوري متغاير. عندما $n$ $= 0$ ، تختزل المعادلات إلى معادلات ديراك المقترنة، ويتحول كل من $A$ و $B$ معًا إلى سبينور ديراك الأصلي . يُظهر حذف أي من $A$ $أو$ B $أن$ كليهما يحقق الشرط ( 1 ). ^[²^] وقد قدم إيسايف وبودوينيتسين الاشتقاق المباشر لمعادلات ديراك-باولي-فيرز باستخدام مؤثرات بارغمان-ويغنر. ^[⁶^]

في عام 1941، ركز راريتا وشوينجر على الجسيمات ذات اللف المغزلي 3/2، واستنتجا معادلة راريتا-شوينجر ، بما في ذلك لاغرانجيان لتوليدها، ثم عمما المعادلات لاحقًا لتكون مماثلة لللف المغزلي $n + 1/2$ لعدد صحيح $n$ . في عام 1945، اقترح باولي ورقة ماجورانا لعام 1932 على بهابها ، الذي عاد إلى الأفكار العامة التي قدمها ماجورانا في عام 1932. اقترح بهابها ولوبانسكي مجموعة عامة تمامًا من المعادلات عن طريق استبدال حدود الكتلة في ( 3A ) و( 3B ) بثابت اختياري، مع مراعاة مجموعة من الشروط التي يجب أن تخضع لها الدوال الموجية. ^{[ 7 ]}

أخيرًا، في عام 1948 (وهو نفس العام الذي صاغ فيه فاينمان معادلة التكامل المساري)، صاغ بارغمان وويغنر المعادلة العامة للجسيمات ذات الكتلة التي يمكن أن تمتلك أي عزم مغزلي، وذلك بالنظر إلى معادلة ديراك مع سبينور متناظر كليًا ذي مكونات محدودة، وباستخدام نظرية زمرة لورنتز (كما فعل ماجورانا): معادلات بارغمان-ويغنر . ^[²^]^[⁸^] في أوائل الستينيات، أعاد هـ. جوس وستيفن واينبرغ صياغة معادلات بارغمان-ويغنر ، وهي معادلة جوس-واينبرغ . في ذلك الوقت، أجرى العديد من المنظرين أبحاثًا إضافية في الهاميلتونيان النسبي للجسيمات ذات العزم المغزلي الأعلى. ^[¹^]^[⁹^]^[¹⁰^]

من الستينيات وحتى الآن

لطالما شكّل الوصف النسبي للجسيمات ذات اللف المغزلي مشكلةً عويصةً في نظرية الكم. ولا يزال هذا المجال محلّ بحثٍ حتى يومنا هذا، لأنّ المشكلة لم تُحلّ إلا جزئياً؛ إذ إنّ تضمين التفاعلات في المعادلات أمرٌ إشكالي، ولا تزال التنبؤات المتناقضة (حتى من معادلة ديراك) قائمة. ^{[ 5 ]}

المعادلات الخطية

المعادلات التالية لها حلول تحقق مبدأ التراكب ، أي أن الدوال الموجية جمعية .

تُستخدم في هذا النص الاصطلاحات القياسية لترميز مؤشرات الموتر ورمز فاينمان المائل ، بما في ذلك المؤشرات اليونانية التي تأخذ القيم 1 و2 $و$ 3 للمكونات المكانية و0 للمكون الزمني للكميات المفهرسة. ويُرمز إلى الدوال الموجية بالرمز $ψ$ ، بينما $\partialμ$ هي مكونات مؤثر التدرج الرباعي .

في المعادلات المصفوفية ، يُرمز إلى مصفوفات باولي بالرمز $σ μ$ حيث $μ = 0، 1، 2، 3$ ، حيث $σ 0$ هي مصفوفة الوحدة $2 \times 2$ : $\sigma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$ والمصفوفات الأخرى لها تمثيلاتها المعتادة. التعبير $\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\equiv \sigma ^{0}\partial _{0}+\sigma ^{1}\partial _{1}+\sigma ^{2}\partial _{2}+\sigma ^{3}\partial _{3}$ هو عامل مصفوفة $2 \times 2$ يعمل على حقول سبينور ثنائية المكونات.

يُرمز لمصفوفات غاما بالرمز γμ ، $حيث$ $μ$ = $0 ، 1، 2، 3$ $،$ وهناك عدد من التمثيلات للاختيار من بينها. المصفوفة $γ₀$ ليست بالضرورة مصفوفة الوحدة $4\times4$ . $i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc\equiv i\hbar (\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma ^{1}\partial _{1}+\gamma ^{2}\partial _{2}+\gamma ^{3}\partial _{3})+mc{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$ هو عامل مصفوفة $4 \times 4$ يعمل على حقول سبينور ذات 4 مكونات .

لاحظ أن المصطلحات مثل " $mc$ " تضرب مصفوفة الوحدة ذات البعد ذي الصلة ، والأحجام الشائعة هي $2 \times 2$ أو $4 \times 4$ ، ولا يتم كتابتها بشكل تقليدي من أجل التبسيط.

عدد الكم المغزلي للجسيم s	اسم	معادلة	الجسيمات النموذجية التي تصفها المعادلة
0	معادلة كلاين-غوردون	$(\hbar \partial _{\mu }+imc)(\hbar \partial ^{\mu }-imc)\psi =0$	جسيم عديم الكتلة أو ذو كتلة كبيرة ذو دوران 0 (مثل بوزونات هيغز ).
نصف	معادلة ويل	$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$	جسيمات عديمة الكتلة ذات دوران مغزلي 1/2.
	معادلة ديراك	$\left(i\hbar \partial \!\!\!/-mc\right)\psi =0$	جسيمات ضخمة ذات دوران مغزلي 1/2 (مثل الإلكترونات).
	معادلات ديراك ثنائية الجسم	$[(\gamma _{1})_{\mu}(p_{1}-{\tilde {A}}_{1})^{\mu }+m_{1}+{\tilde {S}}_{1}]\Psi =0,$ $[(\gamma _{2})_{\mu}(p_{2}-{\tilde {A}}_{2})^{\mu }+m_{2}+{\tilde {S}}_{2}]\Psi =0.$	جسيمات ضخمة ذات دوران مغزلي 1/2 (مثل الإلكترونات).
	معادلة ماجورانا	$i\hbar \partial \!\!\!/\psi -mc\psi _{c}=0$	جسيمات ماجورانا الضخمة .
	معادلة بريت	$i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{D}(i)+\sum _{i>j}{\frac {1}{r_{ij}}}-\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi$	جسيمان ضخمان ذوا دوران 1/2 (مثل الإلكترونات ) يتفاعلان كهرومغناطيسيًا من الدرجة الأولى في نظرية الاضطراب.
1	معادلات ماكسويل (في الديناميكا الكهربائية الكمية باستخدام مقياس لورنز )	$\partial _{\mu}\partial ^{\mu }A^{\nu }=e{\overline {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi$	الفوتونات ، جسيمات عديمة الكتلة ذات دوران مغزلي 1.
1	معادلة بروكا	$\partial _{\mu}(\partial ^{\mu}A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}A^{\nu }=0$	جسيم ضخم ذو دوران مغزلي 1 (مثل بوزونات W و Z ).
3/2	معادلة راريتا-شوينجر	$\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{5}\gamma _{\nu }\partial _{\rho }\psi _{\sigma }+m\psi ^{\mu }=0$	جسيمات ضخمة ذات دوران مغزلي 3/2.
s	معادلات بارغمان-ويغنر	${\begin{aligned}(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}&=0\\(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2s}}&=0\\&\;\;\vdots \\(-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)_{\alpha _{2s}\alpha '_{2s}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2s}}&=0\end{aligned}}$ حيث $ψ$ عبارة عن سبينور مكون من 4 مكونات من الرتبة 2 .	جسيمات حرة ذات دوران عشوائي (بوزونات وفيرميونات). ^{[ 9 ]}^{[ 11 ]}
s	معادلة جوس-واينبرغ	$[(i\hbar )^{2s}\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2s}}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{2s}}+(mc)^{2s}]\psi =0$	جسيمات حرة ذات دوران عشوائي (بوزونات وفيرميونات).

حقول القياس الخطية

معادلة دافين -كيمر-بيتيو هي معادلة بديلة للجسيمات ذات اللف المغزلي 0 والجسيمات ذات اللف المغزلي 1: $(i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0$

بناء بيئات العمل الواقعية

باستخدام المتجهات الرباعية وعلاقة الطاقة بالزخم

ابدأ بالمتجهات الرباعية القياسية للنسبية الخاصة (SR)

4-موضع $X^{\mu }=\mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})$
السرعة الرابعة $U^{\mu }=\mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})$
الزخم 4 $P^{\mu }=\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)$
متجه الموجة الرباعي $K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)$
تدرج رباعي $\partial ^{\mu }=\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)$

لاحظ أن كل متجه رباعي الأبعاد يرتبط بمتجه آخر بواسطة كمية لورنتز القياسية :

$\mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X}$ ، أين $\tau$ الوقت المناسب
$\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U}$ ، أين $m_{0}$ كتلة السكون
$\mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P}$ وهي النسخة ذات الأربعة متجهات من علاقة بلانك-أينشتاين وعلاقة دي برولي بموجة المادة
$\mathbf {\partial } =-i\mathbf {K}$ ، وهو إصدار ذو 4 تدرجات من الموجات المستوية ذات القيم المركبة

والآن، ما عليك سوى تطبيق قاعدة لورنتز القياسية للضرب القياسي على كل منها:

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}$
$\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}$
$\mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}$
$\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}$

المعادلة الأخيرة هي علاقة كمومية أساسية.

عند تطبيقها على حقل لورنتز القياسي $\psi$ ، ومن ثم نحصل على معادلة كلاين-غوردون، وهي أبسط معادلات الموجة النسبية الكمومية.

$\left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0$ : بتنسيق متجه رباعي
$\left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0$ : بصيغة الموتر
$\left[(\hbar \partial _{\mu }+im_{0}c)(\hbar \partial ^{\mu }-im_{0}c)\right]\psi =0$ : في صيغة الموتر المُحلل

معادلة شرودنغر هي الحالة الحدية للسرعة المنخفضة ( $v ≪ c$ ) لمعادلة كلاين-غوردون.

عند تطبيق العلاقة على حقل متجه رباعي $A^{\mu }$ بدلاً من حقل لورنتز القياسي $\psi$ ثم نحصل على معادلة بروكا (في مقياس لورنز ): $\left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0$

إذا تم ضبط حد كتلة السكون على الصفر (جسيمات شبيهة بالضوء)، فإن هذا يعطي معادلة ماكسويل الحرة (في مقياس لورنز ). $[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0$

تمثيلات مجموعة لورنتز

في ظل تحويل لورنتز المتعامد المناسب $x \to Λ x$ في فضاء مينكوفسكي ، تتحول جميع الحالات الكمومية أحادية الجسيم $ψ j σ$ ذات اللف المغزلي $j$ مع المكون z لللف المغزلي $σ$ محليًا تحت تمثيل $D$ لمجموعة لورنتز : ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} $\psi (x)\rightarrow D(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x)$ حيث $D (Λ)$ تمثيل محدود الأبعاد، أي مصفوفة. يُنظر إلى $ψ$ هنا على أنه متجه عمودي يحتوي على عناصر ذات قيم مسموح بها لـ $σ$ . يتم حذف الأعداد الكمومية $j$ و $σ$ ، بالإضافة إلى أي رموز أخرى، متصلة أو منفصلة، تُمثل أعدادًا كمومية أخرى. قد تتكرر قيمة $σ$ أكثر من مرة حسب التمثيل. سيتم تناول التمثيلات التي تتضمن عدة قيم محتملة لـ $j$ لاحقًا.

تُصنَّف التمثيلات غير القابلة للاختزال بزوج من أنصاف الأعداد الصحيحة أو الأعداد الصحيحة $(A, B) . ومن هذه$ $التمثيلات$ $،$ يمكن بناء جميع التمثيلات الأخرى باستخدام مجموعة متنوعة من الطرق القياسية، مثل حساب جداءات الموترات والمجاميع المباشرة . على وجه الخصوص، يُشكِّل الزمكان نفسه تمثيلًا رباعي المتجهات $(1/2, 1/2)$ بحيث يكون $Λ$ $\in D (1/2, 1/2)$ $.$ $ولتوضيح$ $ذلك$ $،$ تتحول سبينورات ديراك تحت $تأثير$ $التمثيل (1/2,$ $0$ $) \oplus (0,$ $1/2$ $)$ . بشكل عام، يحتوي فضاء التمثيل $(A, B$ $)$ $على$ فضاءات فرعية $تتحول$ $،$ تحت تأثير المجموعة الفرعية للدورانات المكانية $SO$ $($ 3) ، بشكل غير قابل للاختزال مثل كائنات ذات لف مغزلي $j$ ، حيث كل قيمة مسموح بها: $j=A+B,A+B-1,\dots ,|A-B|,$ يحدث مرة واحدة بالضبط. ^{[ 14 ]} بشكل عام، فإن حاصل ضرب الموترات للتمثيلات غير القابلة للاختزال قابل للاختزال؛ فهي تتحلل إلى مجاميع مباشرة للتمثيلات غير القابلة للاختزال.

يمكن لكل من التمثيلين $D (j, 0 )$ و $D (0, j)$ أن يمثلا بشكل منفصل جسيمات ذات عزم مغزلي $j$ . ولا تحقق الحالة أو الحقل الكمومي في مثل هذا التمثيل أي معادلة حقل باستثناء معادلة كلاين-غوردون.

المعادلات غير الخطية

هناك معادلات لها حلول لا تحقق مبدأ التراكب.

حقول القياس غير الخطية

معادلة يانغ-ميلز : تصف حقل قياس غير تبديلي
معادلات يانغ-ميلز-هيغز : تصف حقل قياس غير تبديلي مقترن بجسيم ضخم ذي لف مغزلي صفري

الدوران 2

معادلات أينشتاين للمجال : تصف تفاعل المادة مع مجال الجاذبية (مجال عديم الكتلة ذو دوران مغزلي 2): $R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$ الحل هو حقل موتر متري ، وليس دالة موجية.

انظر أيضاً

مراجع

1 2 ت. جاروسيفيتش؛ ب. س. كورزيبا (1992). "هندسة انتشار الجسيمات الدوارة في الزمكان". حوليات الفيزياء . 216 (2): 226-267 . Bibcode : 1992AnPhy.216..226J . doi : 10.1016/0003-4916(92)90176-M .
1 2 3 4 5 إس. إسبوزيتو (2011). "البحث عن معادلة: ديراك، ماجورانا، وغيرهما". حوليات الفيزياء . 327 (6): 1617-1644 . arXiv : 1110.6878 . Bibcode : 2012AnPhy.327.1617E . doi : 10.1016/j.aop.2012.02.016 . S2CID 119147261 .
↑ مارتن، بي آر، وشاو، جي. (2008). فيزياء الجسيمات . سلسلة مانشستر للفيزياء ( الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده. ص 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
↑ كاسالبوني، روبرتو (2007). "ماجورانا ومعادلات الموجة ذات المكونات اللانهائية". وقائع مؤتمر إرث إيتوري ماجورانا وفيزياء القرن الحادي والعشرين - PoS(EMC2006) . ص 4. arXiv : hep-th/0610252 . Bibcode : 2006hep.th...10252C . doi : 10.22323/1.037.0004 .
1 2 إكس. بيكارت؛ إم آر تراوبنبرغ؛ إم. فالينزويلا (2009). "مجموعة فائقة لانهائية من حقول ذات كتلة عالية ودوران مغزلي عالٍ". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2009 (5): 118. arXiv : 0904.2533 . Bibcode : 2009JHEP...05..118B . doi : 10.1088/1126-6708/2009/05/118 . S2CID 16285006 .
↑ أ.ب. إيسايف؛ م.أ. بودوينيتسين (2018). "وصف ثنائي الدوران للجسيمات الضخمة ومؤثرات إسقاط الدوران النسبي" . الفيزياء النووية ب . 929 : 452-484 . arXiv : 1712.00833 . Bibcode : 2018NuPhB.929..452I . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2018.02.013 . S2CID 59582838 .
↑ آر كيه لويد؛ آي أوتس؛ آر سار (1997). "معادلات بهابها الموجية النسبية". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 30 (11): 4005-4017 . رمز Bibcode : 1997JPhA...30.4005L . doi : 10.1088/0305-4470/30/11/027 .
↑ بارغمان، ف.؛ ويغنر، إي. بي. (1948). "مناقشة نظرية المجموعات لمعادلات الموجة النسبية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية . 34 (5): 211-223 . Bibcode : 1948PNAS...34..211B . doi : 10.1073 / pnas.34.5.211 . PMC 1079095. PMID 16578292 .
1 2 إي. أ. جيفري (1978). "تقليل مكونات دالة الموجة لبارغمان-ويغنر" . المجلة الأسترالية للفيزياء . 31 (2): 137-149 . Bibcode : 1978AuJPh..31..137J . doi : 10.1071/ph780137 .
↑ آر إف غيرتان (1974). "معادلات هاميلتونية نسبية لأي دوران". حوليات الفيزياء . 88 (2): 504-553 . Bibcode : 1974AnPhy..88..504G . doi : 10.1016/0003-4916(74)90180-8 .
↑ ر. كلاركسون، د. ج. س. ماكيون (2003). "نظرية الحقل الكمومي" (ملف PDF) . الصفحات 61-69 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 30-05-2009.
↑ واينبرغ، س. (1964). "قواعد فاينمان لأي دوران" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء ، 133 (5ب): B1318– B1332. رمز Bibcode : 1964PhRv..133.1318W . doi : 10.1103/PhysRev.133.B1318 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 25 مارس 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 ديسمبر 2016 .واينبرغ ، س. (1964). "قواعد فاينمان لأي عزم مغزلي. الجزء الثاني: الجسيمات عديمة الكتلة" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء ، 134 (4ب): B882– B896. رمز Bibcode : 1964PhRv..134..882W . doi : 10.1103/PhysRev.134.B882 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 9 مارس 2022. تاريخ الاسترجاع: 29 ديسمبر 2016 .واينبرغ ، س. (1969). "قواعد فاينمان لأي دوران. الجزء الثالث" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء ، 181 (5): 1893-1899 . رمز Bibcode : 1969PhRv..181.1893W . doi : 10.1103/PhysRev.181.1893 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 25 مارس 2022. تاريخ الاسترجاع: 29 ديسمبر 2016 .
↑ ك. ماساكاتسو (2012). "مشكلة الإشعاع الفائق للبوزونات والفيرميونات للثقوب السوداء الدوارة في صيغة بارغمان-ويغنر". arXiv : 1208.0644 [ gr-qc ].
↑ واينبرغ، إس (2002)، "5" ، نظرية الكم للحقول، المجلد الأول ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص. ، ISBN 0-521-55001-7

للمزيد من القراءة

آر جي ليرنر ؛ جي إل تريج (1991). موسوعة الفيزياء ( الطبعة الثانية). دار نشر VHC. رقم ISBN 0-89573-752-3.
سي بي باركر (1994). موسوعة ماكجرو هيل للفيزياء ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. رقم ISBN 0-07-051400-3.
جي. ووان، مطبعة جامعة كامبريدج (2010). دليل كامبريدج لصيغ الفيزياء . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-57507-2.
د. مكماهون (2006). تبسيط النسبية . ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية). رقم ISBN 0-07-145545-0.
جيه إيه ويلر؛ سي. ميسنر؛ كيه إس ثورن (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 0-7167-0344-0.
بي آر مارتن؛ جي شو (2008). فيزياء الجسيمات (سلسلة مانشستر) ( الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-03294-7.
بي. لابيل، تبسيط (2010). التناظر الفائق . ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية). رقم ISBN 978-0-07-163641-4.
برانسدن، ب. هـ.؛ جواكين، س. ج. (1983). فيزياء الذرات والجزيئات . لونغمان. ISBN 0-582-44401-2.
إي أبيرس (2004). ميكانيكا الكم . أديسون ويسلي. رقم ISBN 978-0-13-146100-0.
د. مكماهون (2008). نظرية الحقل الكمومي . ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية). رقم ISBN 978-0-07-154382-8.
م. بيلين (1994). "معادلات الموجة النسبية المشوهة q". مجلة الفيزياء الرياضية . 35 (6): 2804-2817 . arXiv : hep-th/9310097 . Bibcode : 1994JMP....35.2804P . doi : 10.1063/1.530487 . S2CID 5919588 .

[T_Jaroszewicz,_P.S_Kurzepa-1] 1 2 ت. جاروسيفيتش؛ ب. س. كورزيبا (1992). "هندسة انتشار الجسيمات الدوارة في الزمكان". حوليات الفيزياء . 216 (2): 226-267 . Bibcode : 1992AnPhy.216..226J . doi : 10.1016/0003-4916(92)90176-M .

[Esposito-2] 1 2 3 4 5 إس. إسبوزيتو (2011). "البحث عن معادلة: ديراك، ماجورانا، وغيرهما". حوليات الفيزياء . 327 (6): 1617-1644 . arXiv : 1110.6878 . Bibcode : 2012AnPhy.327.1617E . doi : 10.1016/j.aop.2012.02.016 . S2CID 119147261 .

[3] مارتن، بي آر، وشاو، جي. (2008). فيزياء الجسيمات . سلسلة مانشستر للفيزياء ( الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده. ص 3. ISBN 978-0-470-03294-7.

[4] كاسالبوني، روبرتو (2007). "ماجورانا ومعادلات الموجة ذات المكونات اللانهائية". وقائع مؤتمر إرث إيتوري ماجورانا وفيزياء القرن الحادي والعشرين - PoS(EMC2006) . ص 4. arXiv : hep-th/0610252 . Bibcode : 2006hep.th...10252C . doi : 10.22323/1.037.0004 .

[Bekaert,_Traubenberg,_Valenzuela-5] 1 2 إكس. بيكارت؛ إم آر تراوبنبرغ؛ إم. فالينزويلا (2009). "مجموعة فائقة لانهائية من حقول ذات كتلة عالية ودوران مغزلي عالٍ". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2009 (5): 118. arXiv : 0904.2533 . Bibcode : 2009JHEP...05..118B . doi : 10.1088/1126-6708/2009/05/118 . S2CID 16285006 .

[6] أ.ب. إيسايف؛ م.أ. بودوينيتسين (2018). "وصف ثنائي الدوران للجسيمات الضخمة ومؤثرات إسقاط الدوران النسبي" . الفيزياء النووية ب . 929 : 452-484 . arXiv : 1712.00833 . Bibcode : 2018NuPhB.929..452I . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2018.02.013 . S2CID 59582838 .

[7] آر كيه لويد؛ آي أوتس؛ آر سار (1997). "معادلات بهابها الموجية النسبية". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 30 (11): 4005-4017 . رمز Bibcode : 1997JPhA...30.4005L . doi : 10.1088/0305-4470/30/11/027 .

[8] بارغمان، ف.؛ ويغنر، إي. بي. (1948). "مناقشة نظرية المجموعات لمعادلات الموجة النسبية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية . 34 (5): 211-223 . Bibcode : 1948PNAS...34..211B . doi : 10.1073 / pnas.34.5.211 . PMC 1079095. PMID 16578292 .

[E.A._Jeffery_1978-9] 1 2 إي. أ. جيفري (1978). "تقليل مكونات دالة الموجة لبارغمان-ويغنر" . المجلة الأسترالية للفيزياء . 31 (2): 137-149 . Bibcode : 1978AuJPh..31..137J . doi : 10.1071/ph780137 .

[10] آر إف غيرتان (1974). "معادلات هاميلتونية نسبية لأي دوران". حوليات الفيزياء . 88 (2): 504-553 . Bibcode : 1974AnPhy..88..504G . doi : 10.1016/0003-4916(74)90180-8 .

[11] ر. كلاركسون، د. ج. س. ماكيون (2003). "نظرية الحقل الكمومي" (ملف PDF) . الصفحات 61-69 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 30-05-2009.

[Weinberg-12] واينبرغ، س. (1964). "قواعد فاينمان لأي دوران" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء ، 133 (5ب): B1318– B1332. رمز Bibcode : 1964PhRv..133.1318W . doi : 10.1103/PhysRev.133.B1318 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 25 مارس 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 ديسمبر 2016 .واينبرغ ، س. (1964). "قواعد فاينمان لأي عزم مغزلي. الجزء الثاني: الجسيمات عديمة الكتلة" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء ، 134 (4ب): B882– B896. رمز Bibcode : 1964PhRv..134..882W . doi : 10.1103/PhysRev.134.B882 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 9 مارس 2022. تاريخ الاسترجاع: 29 ديسمبر 2016 .واينبرغ ، س. (1969). "قواعد فاينمان لأي دوران. الجزء الثالث" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء ، 181 (5): 1893-1899 . رمز Bibcode : 1969PhRv..181.1893W . doi : 10.1103/PhysRev.181.1893 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 25 مارس 2022. تاريخ الاسترجاع: 29 ديسمبر 2016 .

[Kenmoku-13] ك. ماساكاتسو (2012). "مشكلة الإشعاع الفائق للبوزونات والفيرميونات للثقوب السوداء الدوارة في صيغة بارغمان-ويغنر". arXiv : 1208.0644 [ gr-qc ].

[14] واينبرغ، إس (2002)، "5" ، نظرية الكم للحقول، المجلد الأول ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص. ، ISBN 0-521-55001-7

[ 1 ]

[ 2 ]

[

[

[

[

[ 7 ]

[

[

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗