نظرية فريجه

في علم ما وراء المنطق وعلم ما وراء الرياضيات ، تُعدّ نظرية فريجه نظريةً شاملةً تنصّ على إمكانية اشتقاق بديهيات بيانو في الحساب باستخدام منطق الرتبة الثانية من مبدأ هيوم . وقد برهنها غوتلوب فريجه لأول مرة، بشكل غير رسمي، في كتابه "أسس الحساب " عام 1884 ^{[ 1 ]} ، ثم برهنها بشكل أكثر رسمية في كتابه "قوانين الحساب الأساسية 1" عام 1893 [ 2 ] ^.^أعاد^{كريسبين} رايت اكتشاف النظرية في أوائل ثمانينيات القرن العشرين، ومنذ ذلك الحين أصبحت محورًا للعديد من الدراسات. وهي تُشكّل جوهر فلسفة الرياضيات المعروفة باسم المنطق الجديد (على الأقل من منظور المدرسة الاسكتلندية ).

ملخص

في كتابه "أسس الحساب" (1884)، ولاحقًا في " القوانين الأساسية للحساب" (المجلد الأول، 1893؛ المجلد الثاني، 1903)، حاول فريجه استنباط جميع قوانين الحساب من بديهيات اعتبرها منطقية (انظر: المنطق ). وقد نُقلت معظم هذه البديهيات من كتابه "Begriffsschrift "؛ أما المبدأ الجديد الوحيد فهو ما أسماه القانون الأساسي الخامس ^{[ 2 ]} (المعروف الآن باسم مخطط بديهيات الفهم غير المقيد ): ^{[ 3 ]} "نطاق قيم" الدالة f ( x ) هو نفسه "نطاق قيم" الدالة g ( x ) إذا وفقط إذا كان ∀ x [ f ( x ) = g ( x )]. ومع ذلك، لم يفشل القانون الأساسي الخامس في أن يكون قضية منطقية فحسب، بل أثبت النظام الناتج أنه غير متسق، لأنه كان خاضعًا لمفارقة راسل . ^{[ 4 ]}

طغى التناقض في كتاب فريجه " القواعد الأساسية" على إنجازه: فبحسب إدوارد زالتا ، "يحتوي هذا الكتاب على جميع الخطوات الأساسية لإثبات صحيح (في منطق الرتبة الثانية ) للقضايا الأساسية في الحساب انطلاقًا من مبدأ واحد متسق." ^{[ 4 ]} وقد عُرف هذا الإنجاز باسم نظرية فريجه. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

نظرية فريجه في منطق القضايا

P	→	سؤال	→	R	→	P	→	سؤال	→	P	→	R
	Y		✓		Y	✗	✓	✗	Y	✗	✓	✗
	Y		✓		Y	✗	✓	✗	Y	✗	✓	✓
	Y		✗		Y	✗	✓	✓	Y	✗	✓	✗
	Y		✓		Y	✗	✓	✓	Y	✗	✓	✓
	Y		✓		Y	✓	✗	✗	Y	✓	✗	✗
	Y		✓		Y	✓	✗	✗	Y	✓	✓	✓
	شمال		✗		Y	✓	✓	✓	شمال	✓	✗	✗
	Y		✓		Y	✓	✓	✓	Y	✓	✓	✓
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

في منطق القضايا ، تشير نظرية فريجه إلى هذه التكرارية :

{\big (}P\to (Q\to R){\big )}\to {\big (}(P\to Q)\to (P\to R){\big )}

تنطبق هذه النظرية بالفعل في أحد أضعف أنواع المنطق التي يمكن تصورها، وهو حساب الاستلزام البنّاء. ويُقرأ البرهان وفقًا لتفسير براور-هايتينغ-كولموغوروف كما يلي: $f\mapsto g\mapsto p\mapsto (f(p)\circ g)(p)$ بعبارة أخرى: "لنرمز بـ f إلى سبب يجعل P يستلزم أن Q يستلزم R. ولنرمز بـ g إلى سبب يجعل P يستلزم Q. إذن، إذا كان لدينا f ، ثم g ، ثم سبب p لـ P ، فإننا نعلم أن Q صحيح بحسب g وأن Q يستلزم R بحسب f . إذن، R صحيح."

يُقدّم جدول الصواب على اليمين برهانًا دلاليًا. بالنسبة لجميع القيم الممكنة للخطأ ( ✗ ) أو الصواب ( ✓ ) لـ P و Q و R (الأعمدة 1 و 3 و 5)، يتم تقييم كل صيغة فرعية وفقًا لقواعد الشرط المادي ، وتظهر النتيجة أسفل عاملها الرئيسي. يُبيّن العمود 6 أن الصيغة بأكملها تُقيّم إلى صواب في كل حالة، أي أنها تحصيل حاصل. في الواقع، فإن مقدمتها ( العمود 2) ونتيجتها ( العمود 10) متكافئتان.

حالات خاصة

يأخذ المرء عادة $\neg P$ بمعنى $P\to \bot$ ، أين $\bot$ يشير إلى قضية خاطئة. مع $\bot$ ل $R$ ، تتضمن النظرية الشكل المعدل لمبدأ إدخال النفي ،

{\big (}(P\to \neg Q{\big )}\land (P\to Q){\big )}\to \neg P

ملحوظات

^ جوتلوب فريجه ، Die Grundlagen der Arithmetik ، بريسلاو: Verlag von Wilhelm Koebner، 1884، §63.
1 2 جوتلوب فريجه ، Grundgesetze der Arithmetik I، جينا: Verlag Hermann Pohle، 1893، §§20 و47.
↑ ريتشارد بيتيغرو، "نظرية المجموعة الأساسية" ، 26 يناير 2012، ص. 2.
1 2 3 زالتا، إدوارد (2013)، "نظرية فريجه وأسس الحساب" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة.
↑ بولوس ، جورج (1998). المنطق، المنطق، والمنطق . حرره ريتشارد سي. جيفري، وقدم له جون ب. بورغيس. كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد. ص 154. ISBN 9780674537675. OCLC 37509971 . كان اكتشاف فريجه المذهل، والذي ربما كان على دراية كاملة به أو ربما لم يكن كذلك والذي اختفى عن الأنظار منذ اكتشاف مفارقة راسل، هو أنه يمكن اشتقاق الحساب في نظام منطقي بحت مثل نظام كتابه Begriffsschrift من هذا المبدأ المتسق ومنه وحده.

مراجع

جوتلوب فريج (1884). Die Grundlagen der Arithmetik – eine logisch-mathematische Unter suchung über den Begriff der Zahl (PDF) (بالألمانية). بريسلاو: فيرلاج فون فيلهلم كوبنر.
جوتلوب فريج (1893). Grundgesetze der Arithmetik (في المانيا). المجلد. 1. جينا: فيرلاج هيرمان بوهل.– تم أرشفة هذه النسخة بتاريخ 21 أكتوبر 2016 على موقع Wayback Machine باستخدام التدوين الحديث.
جوتلوب فريج (1903). Grundgesetze der Arithmetik (في المانيا). المجلد. 2. جينا: فيرلاج هيرمان بوهل.– تم أرشفة هذه النسخة بتاريخ 29 أغسطس 2017 على موقع Wayback Machine باستخدام التدوين الحديث.

[:0-1] جوتلوب فريجه ، Die Grundlagen der Arithmetik ، بريسلاو: Verlag von Wilhelm Koebner، 1884، §63.

[:1-2] 1 2 جوتلوب فريجه ، Grundgesetze der Arithmetik I، جينا: Verlag Hermann Pohle، 1893، §§20 و47.

[3] ريتشارد بيتيغرو، "نظرية المجموعة الأساسية" ، 26 يناير 2012، ص. 2.

[Zalta-4] 1 2 3 زالتا، إدوارد (2013)، "نظرية فريجه وأسس الحساب" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة.

[5] بولوس ، جورج (1998). المنطق، المنطق، والمنطق . حرره ريتشارد سي. جيفري، وقدم له جون ب. بورغيس. كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد. ص 154. ISBN 9780674537675. OCLC 37509971 . كان اكتشاف فريجه المذهل، والذي ربما كان على دراية كاملة به أو ربما لم يكن كذلك والذي اختفى عن الأنظار منذ اكتشاف مفارقة راسل، هو أنه يمكن اشتقاق الحساب في نظام منطقي بحت مثل نظام كتابه Begriffsschrift من هذا المبدأ المتسق ومنه وحده.

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗