الرياضيات الفوقية

كان لاكتشاف الهندسة الزائدية آثار فلسفية هامة على ما وراء الرياضيات. قبل اكتشافها، لم يكن هناك سوى هندسة ورياضيات واحدة؛ وكان يُنظر إلى فكرة وجود هندسة أخرى على أنها غير محتملة.

عندما اكتشف غاوس الهندسة الزائدية، يُقال إنه لم ينشر أي شيء عنها خوفًا من "ضجة البويوتيين " ، التي كانت ستُقوّض مكانته كأمير للرياضيات (باللاتينية: princeps mathematicorum ). ^{[ 1 ]} وقد ثارت "ضجة البويوتيين" ثم انحسرت، وأعطت دفعة قوية لما وراء الرياضيات، وساهمت في تحسينات كبيرة في الدقة الرياضية ، والفلسفة التحليلية ، والمنطق .

Begriffsschrift (بالألمانية تعني تقريبًا "نص المفهوم") هو كتاب عن المنطق من تأليف جوتلوب فريجه ، نُشر عام 1879، والنظام الرسمي الموضح في ذلك الكتاب.

يُترجم مصطلح Begriffsschrift عادةً إلى كتابة المفاهيم أو تدوين المفاهيم ؛ ويُعرّفه العنوان الكامل للكتاب بأنه " لغة صيغية ، مُصممة على غرار لغة الحساب ، للفكر المجرد ". تشابهت دوافع فريجه لتطوير منهجه الرسمي في المنطق مع دوافع لايبنتز في ابتكار حسابه المنطقي (على الرغم من أن فريجه ينفي بوضوح في مقدمته أنه حقق هذا الهدف، وأن هدفه الرئيسي كان بناء لغة مثالية مثل لغة لايبنتز، وهو ما يصفه فريجه بأنه مهمة صعبة ومثالية للغاية، ولكنها ليست مستحيلة). واصل فريجه توظيف حسابه المنطقي في أبحاثه حول أسس الرياضيات ، والتي أجراها على مدى ربع القرن التالي.

كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" (Principia Mathematica) ، أو "PM" كما يُختصر غالبًا، كان محاولةً لوصف مجموعة من البديهيات وقواعد الاستدلال في المنطق الرمزي، والتي يُمكن من خلالها إثبات جميع الحقائق الرياضية من حيث المبدأ. ولذلك، يُعد هذا المشروع الطموح ذا أهمية بالغة في تاريخ الرياضيات والفلسفة، ^{[ 2 ]} كونه أحد أبرز نتاجات الاعتقاد بإمكانية تحقيق مثل هذا المسعى. مع ذلك، في عام 1931، أثبتت نظرية عدم الاكتمال لغودل بشكل قاطع أن كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا"، بل وأي محاولة أخرى، لن تتمكن أبدًا من تحقيق هذا الهدف؛ أي أنه بالنسبة لأي مجموعة من البديهيات وقواعد الاستدلال المقترحة لتغليف الرياضيات، ستكون هناك في الواقع بعض الحقائق الرياضية التي لا يُمكن استنتاجها منها.

كان أحد أهم مصادر الإلهام والدوافع لنظرية المجموعات المتناقضة (PM) هو العمل السابق لغوتلوب فريجه في المنطق، والذي اكتشف راسل أنه يسمح ببناء مجموعات متناقضة . سعت نظرية المجموعات المتناقضة إلى تجنب هذه المشكلة باستبعاد الإنشاء غير المقيد لمجموعات عشوائية. وقد تحقق ذلك باستبدال مفهوم المجموعة العامة بمفهوم التسلسل الهرمي للمجموعات ذات " الأنواع " المختلفة، حيث لا يُسمح لمجموعة من نوع معين إلا أن تحتوي على مجموعات من أنواع أدنى منها. مع ذلك، تتجنب الرياضيات المعاصرة عادةً المفارقات مثل مفارقة راسل بطرق أقل تعقيدًا، مثل نظام نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، على الرغم من أن نظرية الأنواع لا تزال تُستخدم على نطاق واسع.

تُعدّ نظريات عدم الاكتمال لغودل نظريتين في المنطق الرياضي تُثبتان القيود الجوهرية لجميع الأنظمة البديهية القادرة على إجراء العمليات الحسابية، باستثناء أبسطها. وقد برهن كورت غودل على هاتين النظريتين عام ١٩٣١، وهما مهمتان في كلٍّ من المنطق الرياضي وفلسفة الرياضيات . ويُفسَّر هذان النتيجتان على نطاق واسع، وإن لم يكن عالميًا، على أنهما تُبيّنان استحالة برنامج هيلبرت لإيجاد مجموعة بديهيات كاملة ومتسقة لجميع فروع الرياضيات ، مما يُعطي إجابة سلبية على مشكلة هيلبرت الثانية .

تنصّ نظرية عدم الاكتمال الأولى على أنه لا يوجد نظام متسق من البديهيات، يمكن سرد نظرياته بواسطة " إجراء فعّال " (مثل برنامج حاسوبي، ولكن يمكن أن يكون أي نوع من الخوارزميات)، قادر على إثبات جميع الحقائق المتعلقة بعلاقات الأعداد الطبيعية ( الحساب ). ففي أي نظام من هذا القبيل، ستكون هناك دائمًا عبارات صحيحة عن الأعداد الطبيعية، ولكنها غير قابلة للإثبات داخل النظام نفسه. أما نظرية عدم الاكتمال الثانية، وهي امتداد للأولى، فتُبيّن أن مثل هذا النظام لا يستطيع إثبات اتساقه الذاتي.

يُستخدم مخطط الحقيقة (T-schema ) (لا يُخلط بينه وبين " الاتفاقية T ") لتقديم تعريف استقرائي للحقيقة، وهو ما يُمثل جوهر أي تطبيق لنظرية ألفريد تارسكي الدلالية للحقيقة . ويُشير إليه بعض المؤلفين باسم "مخطط التكافؤ"، وهو مرادف قدمه مايكل دوميت . ^{[ 3 ]}

غالبًا ما يُعبَّر عن مخطط T باللغة الطبيعية ، ولكن يمكن صياغته رسميًا في منطق المسندات متعدد الأنواع أو المنطق الموجه ؛ وتُسمى هذه الصياغة الرسمية نظرية T. تُشكل نظريات T أساسًا للعديد من الأعمال الأساسية في المنطق الفلسفي ، حيث تُطبَّق في العديد من الجدالات المهمة في الفلسفة التحليلية .

كما هو معبر عنه بلغة شبه طبيعية (حيث 'S' هو اسم الجملة المختصرة إلى S): تكون 'S' صحيحة إذا وفقط إذا كانت S

مثال: "الثلج أبيض" صحيح إذا وفقط إذا كان الثلج أبيض.

مشكلة القرار ( Entscheidungsproblem ) هي تحدٍّ طرحه ديفيد هيلبرت عام ١٩٢٨. ^{[ ٤ ]} تطلب هذه المشكلة خوارزمية تأخذ كمدخل عبارة من منطق الرتبة الأولى (ربما مع عدد محدود من البديهيات يتجاوز البديهيات المعتادة لمنطق الرتبة الأولى) وتجيب بـ "نعم" أو "لا" بناءً على ما إذا كانت العبارة صالحة عالميًا ، أي صالحة في كل بنية تحقق البديهيات. وبحسب نظرية الاكتمال لمنطق الرتبة الأولى ، تكون العبارة صالحة عالميًا إذا وفقط إذا أمكن استنتاجها من البديهيات، لذا يمكن أيضًا النظر إلى مشكلة القرار على أنها تطلب خوارزمية لتحديد ما إذا كانت عبارة معينة قابلة للإثبات من البديهيات باستخدام قواعد المنطق.

في عام 1936، نشر ألونزو تشيرش وآلان تورينج ورقتين بحثيتين مستقلتين ^{[ 5 ]} تُظهران استحالة إيجاد حل عام لمسألة القرار ، بافتراض أن التعبير البديهي عن " قابل للحساب فعليًا " يتم تمثيله بالدوال القابلة للحساب بواسطة آلة تورينج (أو بشكل مكافئ، بالدوال القابلة للتعبير عنها في حساب لامدا ). يُعرف هذا الافتراض الآن باسم أطروحة تشيرش-تورينج .