الاقتطاع (الهندسة)

المربع المقطوع هو شكل ثماني منتظم: t{4} = {8} =

مكعب مقطوع t{4,3} أو

قرص عسل مكعب مقطوع t{4,3,4} أو

في الهندسة ، القطع هو عملية في أي بُعد تقطع رؤوس متعدد السطوح ، مُنشئةً وجهًا جديدًا مكان كل رأس. ويعود أصل المصطلح إلى أسماء كبلر للأجسام الأرخميدية .

يتم تعريف قطع مختلف للأسطح اللانهائية عن طريق التقاطع مع سطح آخر، وخاصة مستوى ، كما هو الحال في المخروط المقطوع .

بشكل عام، يمكن أيضًا اقتطاع أي متعدد السطوح (أو متعدد الوجوه) بدرجة من الحرية فيما يتعلق بعمق القطع، كما هو موضح في عملية اقتطاع تدوين كونواي متعدد السطوح .

يُعدّ القطع المنتظم نوعًا خاصًا من القطع، وهو ما يُفهم ضمنيًا عادةً. يُطبّق هذا النوع من القطع على متعدد السطوح المنتظم (أو متعدد الوجوه المنتظم ) لينتج عنه متعدد سطوح منتظم ( أو متعدد وجوه منتظم ) بأطوال أضلاع متساوية. لا توجد درجات حرية لهذا النوع، وهو يُمثّل شكلًا هندسيًا ثابتًا، تمامًا مثل متعددات السطوح المنتظمة.

بشكل عام، جميع المجسمات المنتظمة ذات الحلقة الواحدة لها قطع منتظم. على سبيل المثال، المجسم العشري عشري الوجوه ، الذي يُمثل برموز شلافلي r{5,3} أو${\displaystyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$ومخطط كوكسيتر-دينكين أو له اقتطاع منتظم، وهو المجسم العشري الوجوه المقطوع ، والذي يُمثل بـ tr{5,3} أو${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$في مخطط كوكسيتر-دينكين ، يتمثل تأثير القطع في إحاطة جميع العقد المجاورة للعقدة المحاطة بحلقة.

يؤدي القطع المنتظم الذي يتم إجراؤه على التبليط المثلثي المنتظم {3,6} إلى التبليط السداسي المنتظم {6,3}.

المضلع المقطوع ذو n ضلعًا يكون له 2n ضلعًا (حافة). المضلع المنتظم المقطوع بشكل منتظم يصبح مضلعًا منتظمًا آخر: t{n} هو {2n}. القطع الكامل (أو التصحيح )، r{3}، هو مضلع منتظم آخر في وضعه الثنائي .

يمكن تمثيل المضلع المنتظم أيضًا بمخطط كوكسيتر-دينكين ، وبتقطيعه المنتظم ، وبتقطيعه الكامل . يمثل الرسم البياني مجموعة كوكسيتر I² (n) _، حيث يمثل كل عقدة مرآة، ويمثل الضلع الزاوية π / n بين المرآتين، وتُرسم دائرة حول إحدى المرآتين أو كلتيهما لتوضيح أيهما فعال.

عمليات القطع البارامترية للمثلث

{3}

t{3} = {6}

r{3} = {3}

يمكن أيضًا اقتطاع المضلعات النجمية . فالنجمة الخماسية المقتطعة {5/2} تبدو كخماسية ، لكنها في الواقع مضلع عشاري مزدوج التغطية (متدهور) {10/2} بمجموعتين من الرؤوس والحواف المتداخلة. أما النجمة السباعية الكبرى المقتطعة {7/3} فتعطي مضلعًا عشاريًا رباعيًا {14/3}.

عندما ينطبق مصطلح "القطع" على الأجسام الأفلاطونية أو التبليط المنتظم ، فإنه عادةً ما يكون المقصود هو "القطع المنتظم"، مما يعني القطع حتى تصبح الوجوه الأصلية مضلعات منتظمة ذات ضعف عدد الأضلاع في الشكل الأصلي.

تُظهر هذه السلسلة مثالاً على اقتطاع مكعب، باستخدام أربع خطوات من عملية اقتطاع مستمرة بين مكعب كامل ومكعب مُعدَّل . المجسم النهائي هو مكعب ثماني الأوجه . الصورة الوسطى هي المكعب المقتطع بشكل منتظم ؛ ويُمثَّل برمز شلافلي t { p , q ,...}.

القطع الثنائي هو قطع أعمق، حيث يُزال جميع الحواف الأصلية، مع الإبقاء على جزء داخلي من الأوجه الأصلية. مثال: المجسم الثماني الأوجه المقطوع هو مكعب مقطوع ثنائياً: t{3,4} = 2t{4,3}.

يُختزل الشكل الأصلي إلى نقاط عن طريق عملية اقتطاع ثنائية كاملة، تُسمى أيضًا بالتصحيح الثنائي . بالنسبة للمجسمات متعددة الأوجه، يُصبح هذا الشكل متعدد الأوجه الثنائي . مثال: ثماني الأوجه هو تصحيح ثنائي للمكعب : {3,4} = 2r{4,3}.

نوع آخر من القطع، وهو التقطيع ، يقوم بقطع الحواف والرؤوس، وإزالة الحواف الأصلية، واستبدالها بمستطيلات، وإزالة الرؤوس الأصلية، واستبدالها بوجوه المجسم الثنائي للمجسمات المنتظمة الأصلية أو التبليط.

تتميز المجسمات متعددة الأوجه ذات الأبعاد الأعلى بعمليات قطع أكبر. يقطع القطع السطحي الوجوه والحواف والرؤوس. في خمسة أبعاد، يقطع القطع السطحي الخلايا والوجوه والحواف.

قطع حواف المكعب، مما يؤدي إلى إنشاء مكعب مشطوف الحواف

يُعدّ اقتطاع الحواف عملية شطف أو تشذيب للحواف في المجسمات متعددة الأوجه، وهي مشابهة لعملية التشكيل، ولكنها تحافظ على الرؤوس الأصلية، وتستبدل الحواف بمضلعات سداسية. في المجسمات رباعية الأوجه، يستبدل اقتطاع الحواف الحواف بخلايا ثنائية الهرم ممدودة .

يؤدي التناوب المنتظم لمكعب ثماني الأوجه مقطوع إلى مكعب غير منتظم .

يؤدي التبديل أو الاقتطاع الجزئي إلى إزالة بعض الرؤوس الأصلية فقط.

في عملية القطع الجزئي ، أو التناوب ، يُزال نصف الرؤوس والحواف المتصلة بها تمامًا. تنطبق هذه العملية فقط على متعددات الوجوه ذات الأوجه الزوجية. تُختزل الأوجه إلى نصف عدد أضلاعها، وتتحول الأوجه المربعة إلى حواف. على سبيل المثال، يُعدّ رباعي الأوجه مكعبًا متناوبًا، h{4,3}.

يُعدّ مصطلح "التصغير" مصطلحًا أعمّ يُستخدم في سياق مجسمات جونسون للإشارة إلى إزالة رأس أو أكثر، أو ضلع أو وجه من متعدد السطوح، دون التأثير على الرؤوس الأخرى. على سبيل المثال،يبدأ المجسم العشري الوجوه ثلاثي التصغير بمجسم عشري الوجوه منتظم أُزيلت منه ثلاثة رؤوس.

تعتمد عمليات القطع الجزئي الأخرى على التناظر؛ على سبيل المثال، المجسم ذو الاثني عشر وجهًا المصغر رباعي الأوجه.

يمكن تعميم عملية القطع الخطي من خلال السماح بعمليات القطع البارامترية السالبة، أو التي تتجاوز نقطة منتصف الحواف، مما يتسبب في تقاطع متعددات السطوح النجمية ذاتيًا، ويمكن ربطها بارامتريًا ببعض المضلعات النجمية المنتظمة ومتعددات السطوح النجمية الموحدة .

• القطع الضحل - يتم تقليل طول الحواف، ويتم قطع الوجوه بحيث يكون لها ضعف عدد الجوانب، بينما يتم تشكيل أوجه جديدة ، متمركزة عند الرؤوس القديمة.
• القطع المنتظم هو حالة خاصة من هذا النوع، حيث تكون أطوال الحواف متساوية. المكعب المقطوع ، t{4,3}، ذو الوجوه المربعة التي تتحول إلى أشكال ثمانية، وتكون رؤوسه ذات وجوه مثلثة جديدة.
• القطع العكسي: هو قطع ضحل معكوس ، حيث يتم القطع للخارج من الحواف الأصلية بدلاً من الداخل. ينتج عن ذلك شكل متعدد الأوجه يشبه الشكل الأصلي، ولكن مع وجود أجزاء من الشكل المزدوج تتدلى من زواياه، بدلاً من أن يقطع الشكل المزدوج زواياه.
• القطع الكامل أو التصحيح - هو نهاية القطع الضحل، حيث تُختزل الحواف إلى نقاط. المكعب الثماني الأوجه ، r{4,3}، مثال على ذلك.
• القطع المفرط: شكل من أشكال القطع يتجاوز التصحيح، ويعكس الحواف الأصلية، ويتسبب في ظهور تقاطعات ذاتية.
• التقطيع الجزئي: هو شكل من أشكال التقطيع يتجاوز التقطيع المفرط، حيث يصبح الضلع المقلوب أطول من الضلع الأصلي. يمكن توليده من متعدد السطوح الأصلي بمعاملة جميع الأوجه على أنها عكسية، أي بالتحرك للخلف حول الرأس. على سبيل المثال، ينتج عن التقطيع الجزئي للمربع شكل ثماني منتظم (t{4/3}={8/3})، وينتج عن التقطيع الجزئي للمكعب شكل سداسي الأوجه منتظم ذو شكل نجمي مقطوع ، t{4/3,3}.

عمليات القطع على المربع

أنواع القطع في المربع، {4}، تُظهر الحواف الأصلية باللون الأحمر، والحواف المقطوعة الجديدة باللون السماوي. المربع المقطوع المنتظم هو شكل ثماني منتظم، t{4}={8}. المربع المقطوع الكامل يصبح مربعًا جديدًا، باتجاه قطري. يتم ترتيب الرؤوس عكس اتجاه عقارب الساعة، من 1 إلى 4، مع أزواج الرؤوس المقطوعة a و b .

اقتطاعات المكعب

⇨ t a C	مكعب {4،3} ج	⇨ tC	اقتطاع t{4,3} tC	⇨ tC	الاقتطاع الكامل r{4,3} aC	⇩ t h C
منع الاقتطاع t a C						التقطيع المفرط t h C
⇧ t a C	شبه قطع كامل a q C	⇦	شبه الاقتطاع t{4/3,3} t q C	⇦ t q C	اقتطاع كامل a h C	⇦ t h C

• التناوب (الهندسة)
• الاقتطاع الثنائي (الهندسة)
• الترنيم (الهندسة)
• شطف (هندسة)
• تدوين متعدد السطوح كونواي
• التصحيح (الهندسة)
• رنسينيشن
• مخروط مقطوع
• متعدد الوجوه رباعي منتظم
• متعدد السطوح منتظم
• شركة ويثوف للإنشاءات

• كوكسيتر، HSM Regular Polytopes ، (الطبعة الثالثة، 1973)، طبعة دوفر، ISBN 0-486-61480-8(الصفحات  145-154 الفصل 8: الاقتطاع)
• نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
  • إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966

• وايسشتاين، إريك دبليو. "القطع" . عالم الرياضيات .
• أولشيفسكي، جورج. "الاختصار" . مسرد مصطلحات الفضاء الفائق . مؤرشف من الأصل في 4 فبراير 2007.
• أسماء المجسمات متعددة الأوجه، الاقتطاع

عوامل متعددة السطوح

• v
• ت
• هـ

بذرة	الاقتطاع	تصحيح	اقتطاع مزدوج	مزدوج	توسع	الاختصار الكامل	التناوب
t 0 { p , q } { p , q }	t 01 { p , q } t{ p , q }	t 1 { p , q } r{ p , q }	t 12 { p , q } 2t{ p , q }	t 2 { p , q } 2r{ p , q }	t 02 { p , q } rr{ p , q }	t 012 { p , q } tr{ p , q }	ht 0 { p , q } h{ q , p }	ht 12 { p , q } s{ q , p }	ht 012 { p , q } sr{ p , q }