الرياضيات المصرية القديمة

الرياضيات المصرية القديمة هي الرياضيات التي طُوّرت واستُخدمت في مصر القديمة حوالي عام 3000 إلى 300 قبل الميلاد ، من عصر الدولة القديمة وحتى بداية العصر الهلنستي تقريبًا . استخدم المصريون القدماء نظامًا عدديًا للعد وحل المسائل الرياضية المكتوبة، والتي غالبًا ما تضمنت الضرب والكسور . تقتصر الأدلة على وجود الرياضيات المصرية على عدد قليل من المصادر الباقية المكتوبة على ورق البردي . ومن هذه النصوص ، يُعرف أن المصريين القدماء فهموا مفاهيم الهندسة ، مثل تحديد مساحة السطح وحجم الأشكال ثلاثية الأبعاد المفيدة في الهندسة المعمارية ، والجبر ، مثل طريقة الوضع الخاطئ والمعادلات التربيعية . 

يعود تاريخ الأدلة المكتوبة على استخدام الرياضيات إلى ما لا يقل عن 3200 قبل الميلاد، وذلك من خلال النقوش العاجية التي عُثر عليها في مقبرة أوج في أبيدوس . ويبدو أن هذه النقوش كانت تُستخدم كعلامات لوصف القرابين الجنائزية، وبعضها منقوش بأرقام. ^{[ 1 ]} ويمكن العثور على دليل آخر على استخدام النظام العددي ذي الأساس 10 على رأس صولجان نارمر ، الذي يصور قرابين من 400,000 ثور، و1,422,000 ماعز، و120,000 سجين. ^{[ 2 ]}

الأدلة على استخدام الرياضيات في المملكة القديمة (حوالي 2690-2180 قبل الميلاد) شحيحة، ولكن يمكن استنتاجها من نقوش على جدار قرب مصطبة في ميدوم، والتي تُقدّم إرشادات حول ميل المصطبة. ^{[ 3 ]} تفصل بين الخطوط في الرسم التخطيطي مسافة ذراع واحد ، مما يدل على استخدام وحدة القياس هذه . ^{[ 1 ]}

تعود أقدم الوثائق الرياضية الحقيقية إلى الأسرة الثانية عشرة (حوالي 1990-1800 قبل الميلاد). وتشمل هذه الوثائق بردية موسكو الرياضية ، ولفافة الجلد الرياضية المصرية ، وبرديات لاهون الرياضية (التي تُعد جزءًا من مجموعة برديات كاهون الأكبر حجمًا )، وبردية برلين 6619. ويُقال إن بردية رايند الرياضية، التي تعود إلى الفترة الانتقالية الثانية (حوالي 1650 قبل الميلاد)، تستند إلى نص رياضي أقدم من الأسرة الثانية عشرة. ^{[ 4 ]}

تُعرف بردية موسكو الرياضية وبردية رايند الرياضية بنصوص المسائل الرياضية. وهما عبارة عن مجموعة من المسائل مع حلولها. وقد يكون كاتب هذه النصوص معلماً أو طالباً منخرطاً في حل مسائل رياضية نموذجية. ^{[ 1 ]}

من السمات المميزة للرياضيات المصرية القديمة استخدام الكسور الوحدوية. ^{[ 5 ]} استخدم المصريون رموزًا خاصة للكسور مثل 1/2 و 1 / 3 و2/3، وفي بعض النصوص للكسر 3/4 ، بينما كُتبت الكسور الأخرى على شكل كسور وحدوية من الصيغة 1/ن أو مجموع كسور وحدوية . استخدم الكتبة جداول لتسهيل التعامل مع هذه الكسور. على سبيل المثال ، تُعدّ لفافة الجلد الرياضية المصرية جدولًا للكسور الوحدوية المُعبَّر عنها كمجموع كسور وحدوية أخرى. تحتوي بردية ريند الرياضية وبعض النصوص الأخرى على جداول 2 / ن . سمحت هذه الجداول ^للكتبة بإعادة كتابة أي كسر من الصيغة ¹ / ن كمجموع كسور وحدوية . [ ¹ ]

خلال عصر الدولة الحديثة (حوالي 1550-1070 قبل الميلاد)، ذُكرت مسائل رياضية في بردية أناستاسي الأولى ، كما سجلت بردية ويلبور، التي تعود إلى عهد رمسيس الثالث، قياسات الأراضي. وفي قرية دير المدينة، وهي قرية عمالية، عُثر على العديد من الشظايا الفخارية التي تُسجل كميات الأتربة التي أُزيلت أثناء استخراج المقابر. ^{[ 1 ] [ 4 ]}

يعيق الفهم الحالي للرياضيات المصرية القديمة ندرة المصادر المتاحة. وتشمل المصادر الموجودة النصوص التالية (والتي يُؤرَّخ لها عمومًا إلى عصر الدولة الوسطى والفترة الانتقالية الثانية):

• بردية موسكو الرياضية ^{[ 6 ]}
• اللفافة الجلدية الرياضية المصرية ^{[ 6 ]}
• برديات اللاهون الرياضية ^{[ 6 ]}
• بردية برلين 6619 ، كُتبت حوالي عام 1800 قبل الميلاد
• لوح أخميم الخشبي ^{[ 4 ]}
• بردية رايزنر ، التي يعود تاريخها إلى أوائل الأسرة الثانية عشرة في مصر ، والتي تم العثور عليها في نجع الدير، مدينة ثينيس القديمة ^{[ 6 ].}
• بردية رايند الرياضية (RMP)، التي يعود تاريخها إلى الفترة الانتقالية الثانية (حوالي 1650 قبل الميلاد)، لكن مؤلفها، أحمس ، ينسبها إلى كونها نسخة من بردية مفقودة من عصر المملكة الوسطى . وتُعد بردية رايند الرياضية أكبر نص رياضي. ^{[ 6 ]}

يوجد من المملكة الحديثة عدد قليل من النصوص والنقوش الرياضية المتعلقة بالحسابات:

• بردية أناستاسي الأولى ، نص أدبي مكتوب على شكل رسالة (خيالية) كتبها ناسخ يُدعى هوري إلى ناسخ يُدعى أمنموبي. يصف جزء من الرسالة عدة مسائل رياضية. ^{[ 4 ]}
• أوستراكون سينموت 153، نص مكتوب بالخط الهيراطيقي ^{[ 4 ]}
• أوستراكون تورين 57170، نص مكتوب بالخط الهيراطيقي ^{[ 4 ]}
• تحتوي الشظايا الفخارية من دير المدينة على حسابات. على سبيل المثال، تُظهر الشظية الفخارية IFAO 1206 حساب الأحجام، والتي يُفترض أنها مرتبطة باستخراج حجر من قبر. ^{[ 4 ]}

كانت النصوص المصرية القديمة تُكتب إما بالهيروغليفية أو بالهيراطيقية . وفي كلا التمثيلين، كان النظام العددي يُعطى دائمًا بالأساس 10. يُرمز للعدد 1 بخط واحد، وللعدد 2 بخطين، وهكذا. أما الأعداد 10 و100 و1000 و10000 و100000 فلها رموزها الهيروغليفية الخاصة. فالعدد 10 يُرمز له بسلسلة ربط الماشية، والعدد 100 بحبل ملتف، والعدد 1000 بزهرة اللوتس ، والعدد 10000 بإصبع، والعدد 100000 بشرغوف ، أما المليون فيُرمز له بالإله حح رافعًا يديه في عبادة. ^{[ 6 ]}

الهيروغليفية للأرقام المصرية ^{[ 2 ]}

1	10	100	1000	10000	100,000	مليون

يعود استخدام الأرقام المصرية إلى عصر ما قبل الأسرات . وتُشير النقوش العاجية من أبيدوس إلى استخدام هذا النظام العددي. كما يشيع استخدام الأرقام في مشاهد القرابين للدلالة على عدد الأصناف المُقدَّمة. وتظهر ابنة الملك نفرتيابيت وهي تُقدِّم قربانًا من ألف ثور، وخبز، وجعة، وغيرها.

كان النظام العددي المصري نظامًا جمعيًا. وكانت الأعداد الكبيرة تُمثل بمجموعات من الرموز، وكانت القيمة تُحسب ببساطة عن طريق جمع الأرقام الفردية معًا.

استخدم المصريون القدماء الكسور بشكل شبه حصري على الصورة ١/ ن . ويُستثنى من ذلك الكسر ٢/٣ ، الذي يُوجد بكثرة في النصوص الرياضية. ونادرًا ما استُخدم رمز خاص للدلالة على ٣/٤ . أما الكسر ١/٢ ، فكان يُرمز إليه برمز ربما يُصوّر قطعة قماش كتان مطوية إلى نصفين. بينما كان يُرمز إلى الكسر ٢/٣ برمز فم ذي خطين (مختلفي الحجم). أما بقية الكسور ، فكانت ^تُرمز إليها دائمًا برمز فم موضوع فوق عدد. ^{[ ٦} ]

الهيروغليفية لبعض الكسور ^{[ 6 ]}

١/٢​​​​	١/٣​​​​	2 / 3​​	١/٤​​​​	1 / 5​​

كانت خطوات العمليات الحسابية تُكتب في جمل باللغات المصرية القديمة. (مثال: "اضرب 10 في 100؛ فيصبح الناتج 1000.")

في بردية رايند، المسألة رقم 28، الهيروغليفية

و

استُخدم الرمزان ( D54 و D55 )، وهما رمزان للقدم، بمعنى "الجمع" و"الطرح". ويُفترض أنهما كانا اختصارين لـ

و

بمعنى "الدخول" و"الخروج". ^{[ 7 ] [ 8 ]}

كانت عملية الضرب عند المصريين القدماء تتم بمضاعفة العدد المراد ضربه (المضروب) بشكل متكرر، ثم اختيار أي من المضاعفات لجمعها (وهي في جوهرها شكل من أشكال الحساب الثنائي )، وهي طريقة تعود إلى عصر الدولة القديمة. كان يُكتب المضروب بجانب الرقم 1، ثم يُضاف إلى نفسه، ويُكتب الناتج بجانب الرقم 2. وتستمر هذه العملية حتى يصبح مجموع المضاعفات أكبر من نصف المضروب . بعد ذلك، تُطرح الأعداد المضاعفة (1، 2، إلخ) بشكل متكرر من المضروب لاختيار أي من نتائج العمليات الحسابية السابقة يجب جمعها للحصول على الناتج. ^{[ 2 ]}

كطريقة مختصرة للأعداد الكبيرة، يمكن أيضًا ضرب العدد المضروب مباشرة في 10، 100، 1000، 10000، إلخ.

فعلى سبيل المثال، تقدم المسألة رقم 69 في بردية رايند (RMP) الرسم التوضيحي التالي، كما لو تم استخدام الرموز الهيروغليفية (بدلاً من الكتابة الهيراطيقية الفعلية لبردية رايند). ^{[ 6 ]}

الضرب: 80 × 14

الحساب المصري			الحساب الحديث
نتيجة	المضاعف		نتيجة	المضاعف
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

يشير هذا إلى النتائج الوسيطة التي يتم جمعها معًا لإنتاج الإجابة النهائية.

يمكن استخدام الجدول أعلاه أيضًا لقسمة 1120 على 80. نحل هذه المسألة بإيجاد ناتج القسمة (80) كمجموع مضاعفات العدد 80 التي مجموعها يساوي 1120. في هذا المثال، سيكون ناتج القسمة  10  +  4  =  14. ^{[ 6 ]} يُقدّم المثال 66 مثالًا أكثر تعقيدًا لخوارزمية القسمة. المطلوب توزيع 3200 وحدة من الدهون بالتساوي على 365 يومًا.

القسمة: 3200 ÷ 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
2 / 3​​	243 + 1 / 3​​
1/10​​​​	36 + 1/2​​​​
1 / 2190​​	1 / 6​​

أولًا، يقوم الكاتب بمضاعفة العدد 365 مرارًا وتكرارًا حتى يصل إلى أكبر مضاعف ممكن له، وهو أصغر من 3200. في هذه الحالة، 8 مضروبة في 365 تساوي 2920، ومن الواضح أن إضافة المزيد من مضاعفات 365 ستعطي قيمة أكبر من 3200. بعد ذلك ، نلاحظ أن 2/3 + 1/10 + 1/2190 مضروبة في ³⁶⁵ تعطينا القيمة ²⁸⁰ المطلوبة . ومن ثم نجد أن ³²⁰⁰ مقسومة على 365 تساوي 8 + 2/3 + 1/10 + 1/2190 . [ 6 ]          

تظهر مسائل الجبر المصرية في كل من بردية ريند الرياضية وبردية موسكو الرياضية بالإضافة إلى العديد من المصادر الأخرى. ^{[ 6 ]}

آها بالهيروغليفية​
العصر : المملكة الحديثة (1550-1069  قبل الميلاد)

تتضمن مسائل "آها" إيجاد كميات مجهولة (يُشار إليها اختصارًا بـ "آها") إذا عُلم مجموع الكمية وأجزائها. تحتوي بردية رايند الرياضية أيضًا على أربعة من هذه الأنواع من المسائل. المسائل 1 و19 و25 من بردية موسكو هي مسائل "آها". على سبيل المثال، تطلب المسألة 19 حساب كمية مضروبة في 1 + 1/2 ومضافة إلى 4 ليصبح الناتج 10. [ 6 ^{] بعبارة أخرى} ، في الترميز الرياضي الحديث ، يُطلب منا حل المعادلة الخطية التالية :

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\times x+4=10.\ }$

يتضمن حل هذه المسائل التي تُعرف باسم "مسائل الإلهام" تقنية تُسمى طريقة الموقف الخاطئ، أو طريقة الافتراض الخاطئ. يقوم الكاتب باستبدال تخمين أولي للإجابة في المسألة. يكون الحل باستخدام الافتراض الخاطئ متناسبًا مع الإجابة الفعلية، ويجد الكاتب الإجابة باستخدام هذه النسبة. ^{[ 6 ]}

تُظهر الكتابات الرياضية أن النساخ استخدموا المضاعفات المشتركة (الأصغر) لتحويل المسائل التي تتضمن كسورًا إلى مسائل باستخدام الأعداد الصحيحة. وفي هذا السياق، كُتبت أعداد مساعدة حمراء بجوار الكسور. ^{[ 6 ]}

يُظهر استخدام كسور عين حورس معرفة (بدائية) بالمتتابعات الهندسية. كما يتضح من المصادر الرياضية معرفة المتتابعات الحسابية. ^{[ 6 ]}

لا يوجد سوى عدد محدود من المسائل الهندسية من مصر القديمة. تظهر المسائل الهندسية في كل من بردية موسكو الرياضية (MMP) وبردية رايند الرياضية (RMP). تُظهر هذه الأمثلة أن المصريين القدماء كانوا على دراية بحساب مساحات العديد من الأشكال الهندسية، بالإضافة إلى أحجام الأسطوانات والأهرامات.

• منطقة:
  • المثلثات: يسجل الكتبة مسائل حساب مساحة المثلث (RMP و MMP). ^{[ 6 ]}
  • المستطيلات: تظهر مسائل تتعلق بمساحة قطعة أرض مستطيلة في كتابي RMP وMMP. ^{[ 6 ]} وتظهر مسألة مماثلة في مخطوطات لاهون الرياضية في لندن. ^{[ 10 ] [ 11 ]}
  • الدوائر: تقارن المسألة 48 من كتاب الرياضيات الإقليمي مساحة الدائرة (المُقَرَّبة بمُثَمِّن) والمربع المُحيط بها. تُستخدم نتيجة هذه المسألة في المسألة 50، حيث يجد الكاتب مساحة حقل دائري قطره 9 خييت. ^{[ 6 ]}
  • نصف الكرة الأرضية: المسألة رقم 10 في برنامج الرياضيات متعددة التخصصات (MMP) تجد مساحة نصف الكرة الأرضية. ^{[ 6 ]}
• المجلدات:
  • الأسطواني (الأسطوانة) : تتناول عدة مسائل حساب حجم المخازن الأسطوانية (RMP 41-43)، بينما يبدو أن المسألة 60 من RMP تتعلق بعمود أو مخروط بدلًا من هرم. وهو صغير نسبيًا وحاد الانحدار، بميل (مقلوب الميل) يبلغ أربعة أشبال (لكل ذراع). ^{[ 6 ]} في القسم الرابع.3 من برديات لاهون الرياضية، يُحسب حجم مخزن حبوب ذي قاعدة دائرية باستخدام نفس الإجراء المتبع في RMP 43.
  • المستطيل (متوازي المستطيلات): تتضمن العديد من المسائل في بردية موسكو الرياضية (المسألة 14) وفي بردية رايند الرياضية (الأرقام 44 و45 و46) حساب حجم مخزن حبوب مستطيل الشكل. ^{[ 10 ]}
  • الهرم المقطوع (المخروط الناقص) المخروط الناقص : يتم حساب حجم الهرم المقطوع في MMP 14. ^{[ 6 ]}

• رقم مساعد أحمر
• تاريخ الرياضيات
  • تاريخ الهندسة
• الهيروغليفية المصرية وترجمة اللغة المصرية القديمة
• وحدات القياس والتكنولوجيا في مصر القديمة
• الرياضيات والهندسة المعمارية

• الحساب المصري
• مقدمة في الرياضيات المبكرة