المثلث الزائدي

المثلث الذي تكون فيه إحدى رؤوسه نقطة مثالية، وإحدى زواياه قائمة: الزاوية الثالثة هي زاوية التوازي لطول الضلع بين الزاوية القائمة والزاوية الثالثة.

المثلث الذي تكون فيه رأسان مثاليتين والزاوية المتبقية قائمة ، وهو أحد المثلثات الزائدية الأولى (1818) التي وصفها فرديناند كارل شفايكارت .

المثلث الذي تكون فيه جميع الرؤوس نقاطًا مثالية، المثلث المثالي هو أكبر مثلث ممكن في الهندسة الزائدية بسبب مجموع زواياه الصفري.

يتكون المثلث الزائدي من ثلاثة خطوط زائدية. هذه الخطوط هي الخطوط المستقيمة بالنسبة للمراقب في الهندسة الزائدية، وهي، وفقًا للمقياس، أقصر المسارات بين أزواج النقاط على هذه الخطوط. يمكن تصور هذه الخطوط بسهولة باستخدام نموذج نصف المستوى ونموذج قرص بوانكاريه المستوي ^{[ 4 ] [ 5 ]} للمستوى الزائدي. بالنسبة للمراقب في المستوى الزائدي، تبدو جميع المواضع متشابهة، ولا يوجد اتجاه مفضل. يمكن تحريك الشكل من مكان إلى آخر دون أن يتغير شكله من وجهة نظر المراقب.

في نموذج نصف المستوى، تُشكّل النقاط ذات الجزء التخيلي الموجب في المستوى المركب المستوى الزائدي. ويُمثّل المحور الحقيقي جزءًا من الحدود عند اللانهاية. أما الخطوط الزائدية فهي أجزاء من دوائر أو خطوط في النصف العلوي من المستوى المركب.${\displaystyle {\mathfrak {Im}}z>0}$التي تتقاطع مع المحور الحقيقي بزوايا قائمة. تحول تحويلات موبيوس الدوائر الممتدة إلى دوائر ممتدة مع الحفاظ على الزوايا بين الدوائر المتقاطعة. الدوائر الممتدة هي دوائر وخطوط ممتدة. تشمل الخطوط الممتدة النقطة عند اللانهاية . تشكل تحويلات موبيوس الصحيحة التي لا تتضمن المرافق المركب والتي تحول الخطوط الزائدية إلى خطوط زائدية المجموعة الفرعية${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {H} )}$ويكون على شكل $${\displaystyle M(z)={\frac {a\,z+b}{c\,z+d}}}$$

مع أ ، ب ، ج ، د حقيقية ومع${\displaystyle a\,d-b\,c=1}$. ${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {H} )}$يحافظ على المسافات الزائدية. معكوس المرافق المركب يُعطى بواسطة${\displaystyle M(z)=-{\bar {z}}}$يرسم المحور الحقيقي على نفسه، ويرسم النصف العلوي من المستوى المركب على نفسه، ويحول الخطوط الزائدية إلى خطوط زائدية. عندما${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {H} )}$يتم توسيع المجموعة من خلال هذا التحول${\displaystyle {\text{Möb}}(\mathbb {H} )}$النتائج. يؤدي الاقتران المركب إلى تغيير إشارات زوايا تقاطع الدوائر الممتدة، ولكن ليس مقاديرها.

في نموذج قرص بوانكاريه، يكون الحد عند اللانهاية هو دائرة الوحدة${\displaystyle |z|=1}$في المستوى المركب، وتشكل النقاط الموجودة في الداخل المستوى الزائدي. الخطوط الزائدية هي الأجزاء الداخلية لدوائر ممتدة تتقاطع مع دائرة الوحدة بزوايا قائمة. تحويلات موبيوس التي تحول الخطوط الزائدية إلى خطوط زائدية أخرى تُشكل مجموعة وتحافظ على المسافة الزائدية. تحويلات موبيوس المناسبة في المجموعة الفرعية${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {D} )}$يكون على شكل $${\displaystyle M(z)={\frac {\alpha \,z+\beta }{{\overline {\beta }}\,z+{\overline {\alpha }}}}}$$ مع${\displaystyle |\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1}$. هنا${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$يرمز إلى المرافق المعقد لـ${\displaystyle \alpha }$وبالمثل،${\displaystyle {\overline {\beta }}}$يرمز إلى المرافق المعقد لـ${\displaystyle \beta }$. الاقتران المعقد${\displaystyle M(z)={\overline {z}}}$يحوّل هذا النظام دائرة الوحدة إلى نفسها، ويحوّل باطن دائرة الوحدة إلى نفسه، ويحوّل الخطوط الزائدية إلى خطوط زائدية. تتغير إشارات زوايا التقاطع، لكن تبقى مقاديرها ثابتة. بالإضافة إلى المجموعة الفرعية المناسبة${\displaystyle {\text{Möb}}^{+}(\mathbb {D} )}$تشكل هذه المجموعة الفرعية${\displaystyle {\text{Möb}}(\mathbb {D} )}$.

توجد تحويلات موبيوس التي تأخذ الجزء الداخلي من دائرة الوحدة${\displaystyle |z|<1}$في المستوى المركب إلى المستوى المركب العلوي${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(z)>0}$أما معكوساتها فتعكس العملية. يمكن تطبيق نتائج نموذج قرص بوانكاريه على النموذج المستوي للنصف العلوي والعكس صحيح. ومن هذه التحويلات:

${\displaystyle \xi (z)={\frac {{\tfrac {i}{\sqrt {2}}}\,z\,+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}{-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\,z\,-{\tfrac {i}{\sqrt {2}}}}}}$

دائرة الوحدة${\displaystyle |z|=1}$يتم إدخالها في المحور الحقيقي${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(z)=0}$وداخل دائرة الوحدة${\displaystyle |z|<1}$يتم نقلها إلى النصف العلوي من المستوى${\displaystyle {\mathfrak {Im}}(z)>0}$هذا واضحٌ تمامًا. ثلاث نقاط تحدد دائرة ممتدة، لذا بما أن${\displaystyle \xi (-i)=\infty {\text{,}}\;\;\xi (i)=0\;\;{\text{,}}\;\;\xi (1)=-1}$وبما أن تحويل موبيوس يحوّل الدوائر الممتدة إلى دوائر ممتدة، فإنه يترتب على ذلك أن دائرة الوحدة تُنقل إلى المحور الحقيقي الممتد. ويشمل الخط الممتد النقطة عند اللانهاية. وبما أن${\displaystyle \xi (0)=i}$وبناءً على ذلك، وبالاستمرارية، فإن الجزء الداخلي من دائرة الوحدة يُسقط على النصف العلوي من المستوى المركب. ويمكن أيضاً إثبات صحة هذا الإسقاط باستخدام المقياس.

إذا كانت الزاوية C قائمة ، فإن:

• جيب الزاوية A هو الجيب الزائدي للضلع المقابل للزاوية مقسومًا على الجيب الزائدي للوتر .

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {sinh(opposite)}}{\textrm {sinh(hypotenuse)}}}={\frac {\sinh a}{\,\sinh c\,}}.\,}$

• جيب تمام الزاوية A هو الظل الزائدي للضلع المجاور مقسومًا على الظل الزائدي للوتر.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {tanh(adjacent)}}{\textrm {tanh(hypotenuse)}}}={\frac {\tanh b}{\,\tanh c\,}}.\,}$

• ظل الزاوية A هو الظل الزائدي للساق المقابلة مقسومًا على الجيب الزائدي للساق المجاورة .

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {tanh(opposite)}}{\textrm {sinh(adjacent)}}}={\frac {\tanh a}{\,\sinh b\,}}}$.

• جيب التمام الزائدي للضلع المجاور للزاوية A هو جيب تمام الزاوية B مقسومًا على جيب الزاوية A.

${\displaystyle {\textrm {cosh(adjacent)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}}$.

• جيب التمام الزائدي للوتر هو حاصل ضرب جيوب التمام الزائدية للساقين.

${\displaystyle {\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\textrm {cosh(adjacent)}}{\textrm {cosh(opposite)}}}$.

• جيب التمام الزائدي للوتر هو أيضًا حاصل ضرب جيوب تمام الزوايا مقسومًا على حاصل ضرب جيوبها . ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\textrm {cosh(hypotenuse)}}={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\cot A\cot B}$

سواء كانت الزاوية C قائمة أم لا، فإن العلاقات التالية صحيحة: قانون القطع الزائد لجيب التمام هو كما يلي:

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos C,}$

نظريتها الثنائية هي

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cosh c,}$

وهناك أيضاً قانون الجيوب :

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}},}$

وصيغة من أربعة أجزاء:

${\displaystyle \cos C\cosh a=\sinh a\coth b-\sin C\cot B}$

والتي يتم اشتقاقها بنفس طريقة الصيغة المماثلة في حساب المثلثات الكروية .

من السهل ملاحظة أن قانوني جيب التمام وقانون الجيب في حساب المثلثات الكروية هما نفس قانوني حساب المثلثات الزائدية إذا كانت الأضلاع${\displaystyle a{\text{,}}\,b{\text{,}}\,c}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle i\,a{\text{,}}\,i\,b{\text{,}}\,i\,c}$في صيغ الهندسة الكروية. هنا${\displaystyle i}$هو الجذر التربيعي لـ -1. هذا لا يُعدّ برهانًا، ولكنه يعني أنه يمكن تحويل صيغ أخرى في حساب المثلثات الكروية، المشتقة من تلك الصيغ، إلى صيغ في حساب المثلثات الزائدية بإجراء تلك الاستبدالات. وذلك لأن الدوال المثلثية الدائرية دوال تحليلية ، والمتطابقات المثلثية صالحة للأعداد المركبة. على وجه الخصوص.${\displaystyle \cos(i\,a)=\cosh(a)}$،${\displaystyle \sin(i\,a)=i\,\sinh(a)}$،${\displaystyle \tan(i\,a)=i\,\tanh(a)}$، و${\displaystyle \cot(i\,a)=-i\,\coth(a)}$لا يمكن حلّ المثلث الزائدي الذي تُعرف فيه أطوال أضلاعه ab، بينما تُجهل أطوال أضلاعه c وC، مباشرةً باستخدام قانوني الجيب وجيب التمام، ولكن يمكن حلّه باستخدام تشبيهات نابيير . ومن ثمّ، يمكن تطبيق طرق حلّ المثلثات الكروية على المثلثات الزائدية.