دائرة معممة

دائرة​${\displaystyle \Gamma }$هي مجموعة النقاط​${\displaystyle z}$ في مستوى يقع عند نصف القطر${\displaystyle r}$من نقطة مركزية${\displaystyle \gamma .}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma ,r)=\{z:{\text{المسافة بين }}z{\text{ و }}\gamma {\text{ هي }}r\}}$

في المستوى المركب ،${\displaystyle \gamma }$هو عدد مركب و${\displaystyle \Gamma }$هي مجموعة من الأعداد المركبة. باستخدام الخاصية التي تنص على أن حاصل ضرب عدد مركب في مرافقه يساوي مربع معياره ( بعده الإقليدي عن نقطة الأصل)، نحصل على معادلة ضمنية لـ${\displaystyle \Gamma }$يكون:

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=\left|z-\gamma \right|^{2}=(z-\gamma ){\overline {(z-\gamma )}}\\[5mu]0&=z{\bar {z}}-{\bar {\gamma }}z-\gamma {\bar {z}}+\left(\gamma {\bar {\gamma }}-r^{2}\right).\end{aligned}}}$

هذه معادلة متعددة الحدود خطية ثنائية المتغيرات متجانسة بدلالة المتغير المركب${\displaystyle z}$ومرافقه${\displaystyle {\bar {z}},}$من الشكل

${\displaystyle Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D=0,}$

حيث المعاملات${\displaystyle A}$و${\displaystyle D}$هي حقيقية ، و${\displaystyle B}$و${\displaystyle C}$هي مركبات معقدة مترافقة .

بالقسمة على${\displaystyle A}$ثم بعكس الخطوات المذكورة أعلاه، نصف القطر${\displaystyle r}$والمركز${\displaystyle \gamma }$يمكن استخلاصها من أي معادلة من هذا الشكل. تمثل المعادلة دائرة معممة في المستوى عندما${\displaystyle r}$هو حقيقي، وهو ما يحدث عندما${\displaystyle AD<BC}$بحيث يكون مربع نصف القطر${\displaystyle r^{2}=(BC-AD)/A^{2}}$إيجابي. عندما${\displaystyle A}$إذا كانت قيمة المعادلة صفرًا، فإنها تحدد خطًا مستقيمًا.

أن التحويل المتبادل${\displaystyle z\mapsto w=1/z}$من السهل التحقق من أن رسم الدوائر المعممة إلى دوائر معممة:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D\\[5mu]&={\frac {A}{w{\bar {w}}}}+{\frac {B}{w}}+{\frac {C}{\bar {w}}}+D\\[5mu]&=A+B{\bar {w}}+Cw+Dw{\bar {w}}\\[5mu]&=D{\bar {w}}w+Cw+B{\bar {w}}+A.\end{aligned}}}$

خطوط تمر بنقطة الأصل (${\displaystyle A=D=0}$) تُشير إلى خطوط تمر بنقطة الأصل؛ خطوط لا تمر بنقطة الأصل (${\displaystyle A=0,D\neq 0}$) رسم الخرائط إلى دوائر تمر بنقطة الأصل؛ دوائر تمر بنقطة الأصل (${\displaystyle A\neq 0,D=0}$) تُشير إلى خطوط لا تمر بنقطة الأصل؛ ودوائر لا تمر بنقطة الأصل (${\displaystyle A\neq 0,D\neq 0}$) تُسقط على دوائر لا تمر بنقطة الأصل.

المعادلة التعريفية للدائرة المعممة

${\displaystyle 0=Az{\bar {z}}+Bz+C{\bar {z}}+D}$

يمكن كتابتها كمعادلة مصفوفية

${\displaystyle 0={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\bar {z}}\\1\end{pmatrix}}.}$

رمزياً،

${\displaystyle 0=\mathbf {z} ^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\bar {\mathbf {z} }},}$

بمعاملات موضوعة في مصفوفة هيرميتية قابلة للعكس${\displaystyle {\mathfrak {C}}={\mathfrak {C}}^{\dagger }}$يمثل الدائرة، و${\displaystyle \mathbf {z} ={\begin{pmatrix}z&1\end{pmatrix}}^{\text{T}}}$متجه يمثل عددًا مركبًا موسعًا.

تحدد مصفوفتان من هذا القبيل نفس الدائرة المعممة إذا وفقط إذا كانت إحداهما مضاعفًا قياسيًا للأخرى.

لتحويل الدائرة المعممة الممثلة بواسطة${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$عن طريق تحويل موبيوس${\displaystyle {\mathfrak {H}},}$قم بتطبيق معكوس تحويل موبيوس${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\mathfrak {H}}^{-1}}$إلى المتجه${\displaystyle \mathbf {z} }$في المعادلة الضمنية،

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left({\mathfrak {G}}\mathbf {z} \right)^{\text{T}}{\mathfrak {C}}\,{\overline {({\mathfrak {G}}\mathbf {z} )}}\\[5mu]&=\mathbf {z} ^{\text{T}}\left({\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}\right){\bar {\mathbf {z} }},\end{aligned}}}$

لذا يمكن تمثيل الدائرة الجديدة بواسطة المصفوفة${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{\text{T}}{\mathfrak {C}}{\bar {\mathfrak {G}}}.}$