فضاء المتجهات المتدرج

في الرياضيات ، الفضاء المتجهي المتدرج هو فضاء متجهي له بنية إضافية تتمثل في التدرج أو التقسيم ، وهو عبارة عن تفكيك للفضاء المتجهي إلى مجموع مباشر من الفضاءات الفرعية المتجهة ، والتي يتم فهرستها بشكل عام بالأعداد الصحيحة .

بالنسبة للفضاءات المتجهة "الخالصة"، تم تقديم المفهوم في الجبر المتجانس ، ويستخدم على نطاق واسع للجبر المتدرج ، وهي فضاءات متجهة متدرجة ذات هياكل إضافية.

يترك${\displaystyle \mathbb {N} }$لتكن مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة .${\textstyle \mathbb {N} }$الفضاء المتجهي المتدرج ، والذي يُطلق عليه غالبًا ببساطة الفضاء المتجهي المتدرج بدون البادئة.${\displaystyle \mathbb {N} }$، هو فضاء متجهي V بالإضافة إلى تحليل إلى مجموع مباشر من الشكل

${\displaystyle V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}}$

حيث كل${\displaystyle V_{n}}$هو فضاء متجهي. بالنسبة لقيمة معينة لـ n، عناصر${\displaystyle V_{n}}$وتسمى هذه العناصر حينها بالعناصر المتجانسة من الدرجة n .

تُعد الفضاءات المتجهة المتدرجة شائعة. على سبيل المثال، تشكل مجموعة جميع كثيرات الحدود في متغير واحد أو عدة متغيرات فضاءً متجهيًا متدرجًا، حيث تكون العناصر المتجانسة من الدرجة n هي بالضبط التركيبات الخطية للحدود الأحادية من الدرجة n . 

لا يشترط أن تكون الفضاءات الجزئية لفضاء متجهي متدرج مفهرسة بمجموعة الأعداد الطبيعية، ويمكن فهرستها بعناصر أي مجموعة I. الفضاء المتجهي المتدرج I - V هو فضاء متجهي بالإضافة إلى تفكيكه إلى مجموع مباشر لفضاءات جزئية مفهرسة بعناصر i من المجموعة I.

${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.}$

لذلك، فإن${\displaystyle \mathbb {N} }$الفضاء المتجهي المتدرج، كما هو مُعرَّف أعلاه، هو ببساطة فضاء متجهي متدرج من النوع I حيث تكون المجموعة I${\displaystyle \mathbb {N} }$(مجموعة الأعداد الطبيعية ).

الحالة التي يكون فيها أنا هو الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$(العنصران 0 و1) لهما أهمية خاصة في الفيزياء .${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$يُعرف الفضاء المتجهي المتدرج أيضًا باسم الفضاء المتجهي الفائق .

بالنسبة لمجموعات الفهارس العامة I ، يُطلق على التطبيق الخطي بين فضاءين متجهيين متدرجين I ، f  : V → W ، اسم تطبيق خطي متدرج إذا حافظ على تدرج العناصر المتجانسة. ويُطلق على التطبيق الخطي المتدرج أيضًا اسم تشاكل (أو تماثل ) الفضاءات المتجهة المتدرجة، أو تطبيق خطي متجانس .

${\displaystyle f(V_{i})\subseteq W_{i}}$ لكل i في I.​

بالنسبة لحقل ثابت ومجموعة فهارس ثابتة ، تشكل فضاءات المتجهات المتدرجة فئة تكون فيها التشكلات عبارة عن خرائط خطية متدرجة.

عندما يكون I أحاديًا تبديليًا (مثل الأعداد الطبيعية)، فإنه يمكن تعريف التطبيقات الخطية المتجانسة من أي درجة i في I بشكل عام بالخاصية التالية:

${\displaystyle f(V_{j})\subseteq W_{i+j}}$ لكل j في I ،

حيث يرمز "+" إلى عملية المونويد. إذا كانت المجموعة I تحقق خاصية الإلغاء بحيث يمكن تضمينها في زمرة أبيلية A التي تولدها (على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة إذا كانت I هي الأعداد الطبيعية)، فيمكن تعريف تطبيقات خطية متجانسة من الدرجة i في A بنفس الخاصية (ولكن الآن يرمز "+" إلى عملية الزمرة في A ). تحديدًا، بالنسبة لـ i في I، سيكون التطبيق الخطي متجانسًا من الدرجة − i إذا

${\displaystyle f(V_{i+j})\subseteq W_{j}}$ لكل j في I ، بينما

${\displaystyle f(V_{j})=0\,}$ إذا لم يكن j − i في I.

تمامًا كما تشكل مجموعة الخرائط الخطية من فضاء متجهي إلى نفسه جبرًا ترابطيًا ( جبر التشاكلات الداخلية للفضاء المتجهي)، فإن مجموعات الخرائط الخطية المتجانسة من فضاء إلى نفسه - إما تقييد الدرجات إلى I أو السماح بأي درجات في المجموعة A - تشكل جبرًا متدرجًا ترابطيًا على مجموعات الفهرس تلك.

يمكن تعريف بعض العمليات على فضاءات المتجهات لفضاءات المتجهات المتدرجة أيضًا.

بفرض وجود فضاءين متجهيين متدرجين من النوع I، V و W ، فإن مجموعهما المباشر له فضاء متجهي أساسي V  ⊕ W بتدرج

( V  ⊕ W ) _i = V _i ⊕ W _i .  

إذا كانت I شبه مجموعة ، فإن حاصل الضرب الموتري لفضاءين متجهين متدرجين من I، وهما V و W، هو فضاء متجهي آخر متدرج من I.${\displaystyle V\otimes W}$، مع التدرج

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.}$

بافتراض${\displaystyle \mathbb {N} }$فضاء متجهي متدرج ذو أبعاد محدودة لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$سلسلة هيلبرت-بوانكاريه هي سلسلة القوى الرسمية

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.}$

انطلاقاً من الصيغ المذكورة أعلاه، فإن متسلسلة هيلبرت-بوانكاريه للمجموع المباشر ومجموع الضرب الموتري للفضاءات المتجهة المتدرجة (ذات الأبعاد المحدودة في كل درجة) هي على التوالي مجموع وضرب متسلسلة هيلبرت-بوانكاريه المقابلة.

• مُصنّف (رياضيات)
• الجبر المتدرج
• وحدة مشتركة
• وحدة دراسية مصنفة
• قاعدة ليتلوود-ريتشاردسون

• بورباكي، ن. (1974) الجبر 1 (الفصول 1-3)، رقم ISBN 978-3-540-64243-5، الفصل 2، القسم 11؛ الفصل 3.