الاستبدال (المنطق)

الموسوعة الحرة

الاستبدال هو تحويل نحوي على التعبيرات الرسمية . تطبيق الاستبدال على تعبير ما يعني استبدال رموز المتغيرات، أو الرموز النائبة، بتعبيرات أخرى بشكل متسق.

يُطلق على التعبير الناتج اسم حالة استبدال ، أو حالة اختصارًا، للتعبير الأصلي.

المنطق الافتراضي

تعريف

حيث يمثل كل من ψ و φ صيغتين من صيغ المنطق الافتراضي ، فإن ψ هي حالة استبدال لـ φ إذا وفقط إذا كان من الممكن الحصول على ψ من φ عن طريق استبدال صيغ المتغيرات الافتراضية في φ ، بحيث يتم استبدال كل ظهور للمتغير نفسه بظهور الصيغة نفسها. على سبيل المثال:

ψ: (R → S) & (T → S)

هو مثال استبدال لـ

φ: P & Q

أي أنه يمكن الحصول على ψ باستبدال P و Q في φ بـ (R → S) و (T → S) على التوالي. وبالمثل:

ψ: (A ↔ A) ↔ (A ↔ A)

هو مثال استبدال لـ:

φ: (A ↔ A)

بما أن ψ يمكن الحصول عليها عن طريق استبدال كل A في φ بـ (A ↔ A).

في بعض أنظمة الاستدلال المنطقي للقضايا، يُمكن إدخال تعبير جديد ( قضية ) في سطر من الاستدلال إذا كان استبدالًا لسطر سابق منه. [ 1 ] هكذا تُضاف الأسطر الجديدة في بعض الأنظمة البديهية . أما في الأنظمة التي تستخدم قواعد التحويل ، فقد تتضمن القاعدة استخدام استبدال لإدخال متغيرات معينة في الاستدلال.

التكرارات

تُعتبر الصيغة المنطقية تحصيل حاصل إذا كانت صحيحة في جميع قيم (أو تفسيرات ) رموزها المحمولة. فإذا كانت Φ تحصيل حاصل، وΘ حالة استبدال لـ Φ، فإن Θ أيضاً تحصيل حاصل. وتدل هذه الحقيقة على صحة قاعدة الاستدلال الموصوفة في القسم السابق.

منطق الرتبة الأولى

في منطق الرتبة الأولى ، يُعرَّف الاستبدال بأنه تطبيق كلي σ : V → T من المتغيرات إلى الحدود ؛ ويشترط العديد من المؤلفين [ 2 ] : 73 [ 3 ] : 445، ولكن ليس جميعهم [ 4 ] : ​​250 ، أن يكون σ ( x ) = x لجميع المتغيرات x باستثناء عدد محدود منها . ويشير الرمز { x1 ↦ t1 , …, xk ↦ tk } [ ملاحظة 1 ] إلى استبدال يُحوِّل كل متغير xᵢ إلى الحد المقابل له tᵢ ، حيث i = 1, …, k ، وكل متغير آخر إلى نفسه؛ ويجب أن تكون المتغيرات xᵢ متميزة عن بعضها البعض. ويشترط معظم المؤلفين أيضًا أن يكون كل حد tᵢ مختلفًا نحويًا عن xᵢ ، لتجنب وجود عدد لا نهائي من الرموز المختلفة لنفس الاستبدال. يُكتب تطبيق هذا الاستبدال على الحد t في صيغة اللاحقة على النحو التالي: t { x 1 ↦ t 1 , ..., x k ↦ t k } ؛ ويعني ذلك استبدال كل ظهور لـ x i في t بـ t i (في آن واحد) . [ ملاحظة 2 ] تُسمى نتيجة تطبيق الاستبدال σ على الحد t حالةً من حالات ذلك الحد t . على سبيل المثال، تطبيق الاستبدال { x ↦ z , z ↦ h ( a , y ) } على الحد            

f (z، أ ، ج (x) ص ) العائد
f (h ( a , y )، أ ، ج (z) ص ).

يُعرَّف نطاق الاستبدال σ عادةً بأنه مجموعة المتغيرات التي تم استبدالها فعليًا، أي dom ( σ) = { x ∈ V | xσ ≠ x } . يُسمى الاستبدال استبدالًا أساسيًا إذا كان يُحوِّل جميع متغيرات نطاقه إلى حدود أساسية ، أي حدود خالية من المتغيرات. يُعتبر الاستبدال tσ لاستبدال أساسي حدًا أساسيًا إذا كانت جميع متغيرات t تقع ضمن نطاق σ ، أي إذا كان vars ( t ) ⊆ dom ( σ ). يُسمى الاستبدال σ استبدالًا خطيًا إذا كان tσ حدًا خطيًا لبعض (وبالتالي كل) الحدود الخطية t التي تحتوي تحديدًا على متغيرات نطاق σ ، أي مع vars ( t ) = dom ( σ ). يُسمى الاستبدال σ استبدالًا مسطحًا إذا كان xσ متغيرًا لكل متغير x . يُطلق على الاستبدال σ اسم استبدال إعادة التسمية إذا كان تبديلاً على مجموعة جميع المتغيرات. وكما هو الحال مع أي تبديل، فإن استبدال إعادة التسمية σ له دائمًا استبدال عكسي σ⁻¹، بحيث يكون σ⁻¹ = t لكل حد t . ومع ذلك ، لا يمكن تعريف معكوس لأي استبدال عشوائي.

على سبيل المثال، { x ↦ 2, y ↦ 3+4 } هو استبدال أرضي، { x ↦ x 1 , y ↦ y 2 +4 } هو استبدال غير أرضي وغير مسطح، ولكنه خطي، { x ↦ y 2 , y ↦ y 2 +4 } هو استبدال غير خطي وغير مسطح، { x ↦ y 2 , y ↦ y 2 } هو استبدال مسطح، ولكنه غير خطي، { x ↦ x 1 , y ↦ y 2 } هو استبدال خطي ومسطح، ولكنه ليس إعادة تسمية، لأنه يربط كلاً من y و y 2 بـ y 2 ؛ كل من هذه الاستبدالات له المجموعة { x , y } كمجال له. مثال على استبدال إعادة التسمية هو { x ↦ x 1 , x 1 ↦ y , y ↦ y 2 , y 2 ↦ x } ، وله معكوس { x ↦ y 2 , y 2 ↦ y , y ↦ x 1 , x 1 ↦ x } . أما الاستبدال المسطح { x ↦ z , y ↦ z } فلا يمكن أن يكون له معكوس، لأن eg ( x + y ) { x ↦ z , y ↦ z } = z + z ، ولا يمكن تحويل الحد الأخير إلى x + y ، لأن المعلومات المتعلقة بالأصل الذي ينبع منه z تُفقد. لا يمكن أن يكون للاستبدال الأساسي { x ↦ 2 } معكوس بسبب فقدان مماثل لمعلومات الأصل، على سبيل المثال في ( x +2) { x ↦ 2 }                                                = 2+2، حتى لو كان استبدال الثوابت بالمتغيرات مسموحًا به من خلال نوع وهمي من "الاستبدالات المعممة".

يُعتبر استبدالان متساويين إذا كانا يُحولان كل متغير إلى مصطلحات نتائج متطابقة نحويًا ، أي: σ = τ إذا كان xσ = xτ لكل متغير x ∈ V. يتم الحصول على تركيب استبدالين σ = { x 1 ↦ t 1 , …, x k ↦ t k } و τ = { y 1 ↦ u 1 , …, yl ↦ u l } عن طريق حذف أزواج y i ↦ u i التي يكون فيها y i ∈ { x 1 , …, x k } من الاستبدال { x 1 ↦ t 1 τ , … , x k ↦ t k τ , y 1 ↦ u 1 , … , yl ↦ u l } . يُرمز إلى تركيب σ و τ بالرمز στ . التركيب عملية تجميعية ، وهي متوافقة مع تطبيق الاستبدال، أي ( ρσ ) τ = ρ ( στ )، و( tσ ) τ = t ( στ )، على التوالي، لكل استبدالات ρ ، σ ، τ ، ولكل حد t . استبدال الهوية ، الذي يُسقط كل متغير على نفسه، هو العنصر المحايد في تركيب الاستبدال. يُسمى الاستبدال σ متطابقًا إذا كان σσ = σ ، وبالتالي tσσ = tσ لكل حد t . عندما xᵢ ≠ tᵢ لجميع i ، يكون الاستبدال { x₁ ↦ t₁ , … , xₖ }                     تكون المجموعة { t k } متطابقة إذا وفقط إذا لم يظهر أي من المتغيرات x i في أي t j . تركيب الاستبدال ليس تبادليًا، أي أن στ قد تختلف عن τσ ، حتى لو كانت σ و τ متطابقتين. [ 2 ] : 73-74 [ 3 ] : 445-446 

على سبيل المثال، { x ↦ 2, y ↦ 3+4 } يساوي { y ↦ 3+4, x ↦ 2 } ، ولكنه يختلف عن { x ↦ 2, y ↦ 7 } . الاستبدال { x ↦ y + y } هو استبدال متماثل، على سبيل المثال (( x + y ) { x ↦ y + y } ) { x ↦ y + y } = (( y + y )+ y ) { x ↦ y + y } = ( y + y )+ y ، بينما الاستبدال { x ↦ x + y } هو استبدال غير متماثل، على سبيل المثال (( x + y ) { x ↦ x + y } ) { x ↦ x + y } = (( x + y )+ y ) { x ↦ x + y } = (( x + y )+ y ) + y . مثال على الاستبدالات غير التبادلية هو { x ↦ y } { y ↦ z } = { x ↦ z , y ↦ z } ، ولكن { y ↦ z } { x ↦ y } = { x ↦ y , y ↦ z } .                                

الرياضيات

في الرياضيات ، هناك استخدامان شائعان للاستبدال: استبدال المتغيرات بالثوابت (ويسمى أيضًا تعيين ذلك المتغير)، وخاصية الاستبدال للمساواة ، [ 5 ] والتي تسمى أيضًا قانون لايبنتز . [ 6 ]

إذا اعتبرنا الرياضيات لغةً رسمية ، فإن المتغير هو رمز من الأبجدية ، عادةً ما يكون حرفًا مثل x أو y أو z ، يُشير إلى نطاق من القيم الممكنة . [ 7 ] إذا كان المتغير حرًا في تعبير أو صيغة معينة ، فيمكن استبداله بأي قيمة ضمن نطاقه. [ 8 ] يمكن استبدال أنواع معينة من المتغيرات المقيدة أيضًا، مثل معاملات التعبير (مثل معاملات متعددة الحدود ) ، أو وسيط الدالة . علاوة على ذلك، يمكن استبدال المتغيرات المُعَيَّرة عالميًا بأي قيمة ضمن نطاقها، وستكون النتيجة عبارة صحيحة . (يُسمى هذا التعميم الشامل ) .

بالنسبة للغة غير الرسمية، أي في معظم النصوص الرياضية خارج نطاق المنطق الرياضي ، لا يمكن دائمًا تحديد المتغيرات الحرة والمقيدة في التعبير الفردي. على سبيل المثال، في∑أنا<كأأناك{\textstyle \sum _{i<k}a_{ik}}، بحسب السياق، المتغيرأنا{\textstyle i} يمكن أن يكون مجانيًا وك{\textstyle k}مقيدة، أو العكس، لكن لا يمكن أن تكون كلتاهما حرتين. يعتمد تحديد القيمة التي يُفترض أنها حرة على السياق والدلالات .

تنص خاصية الاستبدال في المساواة ، أو قانون لايبنتز (مع أن المصطلح الأخير يُستخدم عادةً في السياقات الفلسفية )، عمومًا على أنه إذا تساوى شيئان، فإن أي خاصية لأحدهما يجب أن تكون خاصية للآخر. ويمكن التعبير عنها رسميًا بالرموز المنطقية كما يلي:(أ=ب)⟹[ϕ(أ)⇒ϕ(ب)]{\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}}لكلأ{\textstyle a}وب{\textstyle b}وأي صيغة سليمة التكوينϕ(x){\textstyle \phi (x)}(مع متغير حر x). على سبيل المثال: لكل عددين حقيقيين a و b ، إذا كان a = b ، فإن a ≥ 0 يستلزم b ≥ 0 (هنا،ϕ(x){\displaystyle \phi (x)}(حيث x ≥ 0 ). هذه خاصية تُستخدم غالبًا في الجبر ، وخاصةً في حل أنظمة المعادلات ، ولكنها تُطبَّق في جميع فروع الرياضيات تقريبًا التي تستخدم المساواة. هذه الخاصية، بالإضافة إلى خاصية الانعكاس للمساواة، تُشكِّل بديهيات المساواة في منطق الرتبة الأولى. [ 9 ]

يرتبط الاستبدال بتركيب الدوال ، ولكنه ليس مطابقًا له تمامًا ؛ وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالاختزال بيتا في حساب لامدا . وعلى النقيض من هذه المفاهيم، ينصب التركيز في الجبر على الحفاظ على البنية الجبرية من خلال عملية الاستبدال، أي أن الاستبدال يُعطي تشاكلًا للبنية المعنية (في حالة كثيرات الحدود، بنية الحلقة ).

الجبر

يُعدّ التعويض عملية أساسية في الجبر ، وخاصة في الجبر الحاسوبي . [ 10 ] [ 11 ]

تتضمن إحدى الحالات الشائعة للاستبدال كثيرات الحدود ، حيث يُعادل استبدال قيمة عددية (أو تعبير آخر) بالمتغير غير المحدد في كثيرة حدود أحادية المتغير حساب قيمة كثيرة الحدود عند تلك القيمة. في الواقع، تحدث هذه العملية بشكل متكرر لدرجة أن ترميز كثيرات الحدود غالبًا ما يُعدّل ليناسبها؛ فبدلاً من تسمية كثيرة الحدود باسم مثل P ، كما هو الحال مع الكائنات الرياضية الأخرى، يمكن تعريفها على النحو التالي:

P(X)=X5-3X2+5X-17{\displaystyle P(X)=X^{5}-3X^{2}+5X-17}

بحيث يمكن تحديد استبدال X عن طريق الاستبدال داخل " P ( X )"، على سبيل المثال

P(2)=13{\displaystyle P(2)=13}

أو

P(X+1)=X5+5X4+10X3+7X2+4X-14.{\displaystyle P(X+1)=X^{5}+5X^{4}+10X^{3}+7X^{2}+4X-14.}

يمكن تطبيق الاستبدال أيضًا على أنواع أخرى من الكائنات الشكلية المبنية من الرموز، مثل عناصر الزمر الحرة . ولتعريف الاستبدال، نحتاج إلى بنية جبرية ذات خاصية شاملة مناسبة ، تؤكد وجود تشاكلات فريدة تُرسل المتغيرات غير المحددة إلى قيم محددة؛ ويُختزل الاستبدال حينها إلى إيجاد صورة عنصر تحت هذا التشاكل.

إثبات الاستبدال في ZFC

فيما يلي برهان على خاصية الاستبدال للمساواة في ZFC (كما هو مُعرَّف في منطق الرتبة الأولى بدون مساواة)، وهو مقتبس من مقدمة في نظرية المجموعات البديهية (1982) لغايسي تاكيوتي وويلسون م. زارينغ. [ 12 ]

نظرية — إذاأ=ب{\displaystyle a=b}إذن، بالنسبة لأي صيغة سليمة التكوينϕ{\displaystyle \phi }،ϕ(أ)⇒ϕ(ب){\displaystyle \phi (a)\Rightarrow \phi (b)}.

انظر نظرية مجموعات زيرميلو-فرانكل § اللغة الرسمية لتعريف الصيغ في نظرية زيرميلو-فرانكل. التعريف استرجاعي ، لذا يُستخدم البرهان بالاستقراء . في نظرية زيرميلو-فرانكل في منطق الرتبة الأولى بدون مساواة، تُعرَّف "مساواة المجموعات" بأنها تعني أن مجموعتين لهما نفس العناصر، وتُكتب رمزياً على النحو التالي: "لكل عنصر z، ينتمي z إلى x إذا وفقط إذا كان z ينتمي إلى y". ثم، تنص بديهية الامتداد على أنه إذا كانت مجموعتان لهما نفس العناصر، فإنهما تنتميان إلى نفس المجموعة.

تعريف -(x=y):=∀z[z∈x⇔z∈y]{\displaystyle (x=y):=\forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]}

بديهية —(x=y)⇒∀z(x∈z⇔y∈z){\displaystyle (x=y)\Rightarrow \forall z(x\in z\Leftrightarrow y\in z)}

الصيغ الأساسية

يتركX،Y،Z{\displaystyle X,Y,Z}، لتكون متغيرات فوقية لأي متغيرات أو مجموعات، بحيثX=Y{\displaystyle X=Y}

الحالة 1:ϕ(X):(Z∈X){\displaystyle \phi (X):(Z\in X)}

يفترضZ∈X{\displaystyle Z\in X}إذن، بحسب تعريف المساواة،Z∈Y{\displaystyle Z\in Y}، هكذا(X=Y)⟹[Z∈X⇒Z∈Y]{\displaystyle (X=Y)\implies {\bigl [}Z\in X\Rightarrow Z\in Y{\bigr ]}}

الحالة الثانية:ϕ(X):(X∈Z){\displaystyle \phi (X):(X\in Z)}

يفترضX∈Z{\displaystyle X\in Z}ثم، بحسب بديهية الامتداد،Y∈Z{\displaystyle Y\in Z}، هكذا(X=Y)⟹[X∈Z⇒Y∈Z]{\displaystyle (X=Y)\implies {\bigl [}X\in Z\Rightarrow Y\in Z{\bigr ]}}

الصيغ التكرارية

يتركψ،φ{\displaystyle \psi ,\varphi }تكون متغيرات وصفية لأي صيغ تتمتع بالخاصية التالية:(أ=ب)⟹[ϕ(أ)⇒ϕ(ب)]{\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}}. يتركX،Y{\displaystyle X,Y}، لتكون متغيرات فوقية لأي متغيرات أو مجموعات، بحيثX=Y{\displaystyle X=Y}ودعz{\displaystyle z}أن يكون متغيرًا شاملاً لأي متغير.

الحالة 1:¬(ψ){\displaystyle \neg (\psi )}

منذX=Y{\displaystyle X=Y}، ثمY=X{\displaystyle Y=X}لذلك، وبسبب تناظر المساواة،[ψ(Y)⇒ψ(X)]{\displaystyle {\bigl [}\psi (Y)\Rightarrow \psi (X){\bigr ]}}وبناءً على فرضية الاستقراء،[¬ψ(X)⇒¬ψ(Y)]{\displaystyle {\bigl [}\neg \psi (X)\Rightarrow \neg \psi (Y){\bigr ]}}عن طريق التناقض ، وبالتالي(X=Y)⟹[¬ψ(X)⇒¬ψ(Y)]{\displaystyle (X=Y)\implies {\bigl [}\neg \psi (X)\Rightarrow \neg \psi (Y){\bigr ]}}

الحالة الثانية:ψ∧φ{\displaystyle \psi \land \varphi }

منذX=Y{\displaystyle X=Y}، ثم[ψ(X)⇒ψ(Y)]{\displaystyle {\bigl [}\psi (X)\Rightarrow \psi (Y){\bigr ]}}و[φ(X)⇒φ(Y)]{\displaystyle {\bigl [}\varphi (X)\Rightarrow \varphi (Y){\bigr ]}}وهذا يعني[(ψ(X)∧φ(X))⇒ψ(Y)∧φ(Y))]{\displaystyle {\bigl [}{\bigl (}\psi (X)\land \varphi (X){\bigr )}\Rightarrow \psi (Y)\land \varphi (Y){\bigr )}{\bigr ]}}، هكذا(X=Y)⟹[(ψ(X)∧φ(X))⇒ψ(Y)∧φ(Y))]{\displaystyle (X=Y)\يتضمن {\bigl [}{\bigl (}\psi (X)\land \varphi (X){\bigr )}\Rightarrow \psi (Y)\land \varphi (Y){\bigr )}{\bigr ]}}

الحالة الثالثة:∃z(ψ){\displaystyle \exists z(\psi )}

منذX=Y{\displaystyle X=Y}، ψ(X،z)⇒ψ(Y،z){\displaystyle \psi (X,z)\Rightarrow \psi (Y,z)}افترض على سبيل التناقض أن النتيجة خاطئة، أي∃z(ψ(X،z)){\displaystyle \exists z(\psi (X,z))}صحيح، ولكن∃z(ψ(Y،z)){\displaystyle \exists z(\psi (Y,z))}هذا خطأ. بالتجسيد الوجودي ، ليكنz0{\displaystyle z_{0}}لنرمز إلى القيمة التي بحيثψ(X،z0){\displaystyle \psi (X,z_{0})}صحيح. إذنψ(Y،z0){\displaystyle \psi (Y,z_{0})}هذا افتراض خاطئ، وبالتالي ψ(X،z0)⇒ψ(Y،z0){\displaystyle \psi (X,z_{0})\Rightarrow \psi (Y,z_{0})}هذا خطأ، وهو ما يتناقض مع فرضية الاستقراء لدينا، وتترتب على ذلك النتيجة.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يستخدم بعض المؤلفين [ t 1 / x 1 , …, t k / x k ] للدلالة على هذا الاستبدال، على سبيل المثال، M. Wirsing (1990). Jan van Leeuwen (ed.). Algebraic Specification . Handbook of Theoretical Computer Science. Vol.  B. Elsevier. pp. 675– 788. ، هنا: ص 682.
  2. ↑ من وجهة نظر جبر المصطلحات ، فإن مجموعةالمصطلحات T هي جبر المصطلحات الحر على مجموعةالمتغيرات V ، وبالتالي لكل تطبيق استبدال σ: V → T يوجد تشاكل وحيد σ : T → T يتفق مع σ على V ⊆ T ؛ ثم يُنظر إلى تطبيق σ المعرف أعلاهعلى مصطلح t على أنه تطبيق الدالة σ على الوسيط t .

الاقتباسات

  1. ↑ هنتر، جيفري (1996) [1971]. ما وراء المنطق: مقدمة في نظرية ما وراء المنطق القياسي من الدرجة الأولى . مطبعة جامعة كاليفورنيا (نُشر عام 1973). ص 118. ISBN  9780520023567. OCLC 36312727 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )
  2. 1 2 ديفيد أ. دافي (1991). مبادئ إثبات النظريات الآلي . وايلي.
  3. 1 2 فرانز بادر ، واين سنايدر (2001). آلان روبنسون وأندريه فورونكوف (محرران). نظرية التوحيد (ملف PDF) . إلسيفير. الصفحات 439-526 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2015-06-08 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2014-09-24 . 
  4. ↑ ن. ديرشوفيتز؛ ج.-ب. جوانو (1990). "أنظمة إعادة الكتابة". في جان فان ليوين (محرر). النماذج الرسمية والدلالات . دليل علوم الحاسوب النظرية. المجلد ب. إلسيفير. الصفحات 243-320 .  
  5. ↑ سوبوليف، إس كيه (2001) [1994]، "بديهيات المساواة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
  6. ↑ دويتش، هاري وباول غارباز، "الهوية النسبية"، موسوعة ستانفورد للفلسفة (طبعة خريف 2024)، إدوارد ن. زالتا وأوري نودلمان (محرران)، قيد النشر. الرابط: https://plato.stanford.edu/entries/identity-relative/#StanAccoIden
  7. ↑ سوبوليف، إس كيه (2001) [1994]، "المتغير الفردي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
  8. ↑ سوبوليف، إس كيه (2001) [1994]، "المتغير الحر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
  9. ↑ Fitting, M. , First-Order Logic and Automated Theorem Proving (Berlin/Heidelberg: Springer, 1990), pp. 198–200 .
  10. ^ مارجريت هـ. هوفت. هارتموت إف دبليو هوفت (6 نوفمبر 2002). الحوسبة مع الرياضيات . إلسفير. رقم ISBN 978-0-08-048855-4.
  11. ↑ أندريه هيك (6 ديسمبر 2012). مقدمة إلى برنامج مابل . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-1-4684-0484-5الاستبدال .
  12. ↑ تاكيوتي، غايسي؛ زارينغ، ويلسون م. (1982). "مقدمة في نظرية المجموعات البديهية" . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات : 6-9 . doi : 10.1007/978-1-4613-8168-6 . ISSN 0072-5285 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2014-08-06. 

مراجع