سرعة المجموعة

الموسوعة الحرة
تشتت التردد في مجموعات من موجات الجاذبية على سطح المياه العميقة.  يتحرك المربع الأحمر بسرعة الطور ، وتنتشر الدوائر الخضراء بسرعة المجموعة. في هذه الحالة، سرعة الطور تساوي ضعف سرعة المجموعة . يتجاوز المربع الأحمر دائرتين خضراوين عند تحركه من يسار الشكل إلى يمينه.     
يبدو أن الموجات الجديدة تظهر في الجزء الخلفي من مجموعة الموجات، وتزداد سعتها حتى تصل إلى مركز المجموعة، ثم تختفي عند مقدمة مجموعة الموجات.
بالنسبة لموجات الجاذبية السطحية، تكون سرعات جزيئات الماء أصغر بكثير من سرعة الطور، في معظم الحالات.
انتشار حزمة موجية تُظهر سرعة طور أكبر من سرعة المجموعة.
يُظهر هذا موجةً تسير فيها سرعة المجموعة وسرعة الطور في اتجاهين مختلفين. [ 1 ] سرعة المجموعة موجبة (أي أن غلاف الموجة يتحرك نحو اليمين)، بينما سرعة الطور سالبة (أي أن القمم والقيعان تتحرك نحو اليسار).

سرعة المجموعة للموجة هي السرعة التي ينتشر بها الشكل العام لغلاف سعات الموجة - والمعروف باسم تعديل أو غلاف الموجة - عبر الفضاء.

على سبيل المثال، إذا أُلقي حجر في منتصف بركة ماء ساكنة تمامًا، يظهر نمط دائري من الأمواج بمركز هادئ في الماء، يُعرف أيضًا بالموجة الشعرية . تُسمى حلقة الأمواج المتوسعة مجموعة الأمواج أو حزمة الأمواج ، والتي يمكن تمييز موجات فردية داخلها تنتقل بسرعة أكبر من سرعة المجموعة ككل. تتزايد سعة الموجات الفردية عند خروجها من الحافة الخلفية للمجموعة، وتتناقص عند اقترابها من الحافة الأمامية للمجموعة.

تاريخ

تم اقتراح فكرة سرعة المجموعة المتميزة عن سرعة طور الموجة لأول مرة من قبل دبليو آر هاميلتون في عام 1839، وكان أول معالجة كاملة لها من قبل رايلي في كتابه "نظرية الصوت" في عام 1877. [ 2 ]

التعريف والتفسير

  حزمة موجية .
  غلاف حزمة الموجة. يتحرك الغلاف بسرعة المجموعة .

لنفترض نموذج تطور خطي للأمواج يسمح بوجود المذبذبات كحلول أساسية.هـأنا(كx-ωت){\textstyle e^{i(kx-\omega t)}}، أينك{\displaystyle k}وω{\displaystyle \omega }يجب أن تخضع لشرط معين. على سبيل المثال، معادلة شرودنغر الخطية الحرة في بُعد واحد:

أناℏ∂تΨ+ℏ22م∂x2Ψ=0{\displaystyle i\hbar \partial _{t}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{x}^{2}\Psi =0}

يفي بالوصف المذكور أعلاه معω=ℏ2مك2{\displaystyle \omega ={\frac {\hbar }{2m}}k^{2}}سرعة المجموعةvز{\textstyle v_{g}}يتم تعريفها بالمعادلة: [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]vز ≡ ∂ω∂ك.{\displaystyle v_{\text{g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,.}

هنا، ω هي التردد الزاوي للموجة (ويُعبر عنها عادةً بالراديان لكل ثانية )، و k هو العدد الموجي الزاوي (ويُعبر عنه عادةً بالراديان لكل متر). سرعة الطور هي: v p = ω / k .

الدالة ω ( k ) ، التي تعطي ω كدالة لـ k ، تُعرف باسم علاقة التشتت .

  • إذا كانت ω تتناسب طرديًا مع k ، فإن سرعة المجموعة تساوي تمامًا سرعة الطور. وستنتقل الموجة، مهما كان شكلها، دون تشوه عند هذه السرعة.
  • إذا كانت ω دالة خطية لـ k ، ولكنها ليست متناسبة تناسبًا طرديًا ( ω = ak + b ، حيث b ≠ 0) ، فإن سرعة المجموعة وسرعة الطور تكونان مختلفتين. سيتحرك غلاف حزمة الموجة (انظر الشكل على اليمين) بسرعة المجموعة، بينما ستتحرك القمم والقيعان الفردية داخل الغلاف بسرعة الطور.
  • إذا لم تكن ω دالة خطية لـ k ، فإن غلاف حزمة الموجة سيتشوه أثناء انتقالها. ولأن حزمة الموجة تحتوي على نطاق من الترددات المختلفة (وبالتالي قيم مختلفة لـ k )، فإن سرعة المجموعة ∂ω/∂k ستختلف باختلاف قيم k . لذلك، لا يتحرك الغلاف بسرعة واحدة، بل تتحرك مكوناته الموجية ( k ) بسرعات مختلفة، مما يؤدي إلى تشوه الغلاف. إذا كانت حزمة الموجة ذات نطاق ترددات ضيق، وكانت ω ( k ) خطية تقريبًا ضمن هذا النطاق الضيق، فسيكون تشوه النبضة صغيرًا، مقارنةً باللاخطية الصغيرة. انظر المزيد من المناقشة أدناه . على سبيل المثال، بالنسبة لموجات الجاذبية في المياه العميقة ،ω=زك\omega = \sqrt{gk}وبالتالي فإن v g = v p /2 .
    هذا هو أساس نمط موجة كلفن المتشكلة في مقدمة جميع السفن والأجسام السابحة. وبغض النظر عن سرعة حركتها، طالما أن سرعتها ثابتة، فإن الموجة المتشكلة على كل جانب تشكل زاوية مقدارها 19.47° = arcsin(1/3) مع خط الحركة. [ 7 ]

الاشتقاق

إحدى اشتقاقات صيغة سرعة المجموعة هي كما يلي. [ 8 ] [ 9 ]

اعتبر حزمة موجية كدالة للموضع x والزمن t : α ( x , t ) .

ليكن A ( k ) هو تحويل فورييه الخاص بها عند الزمن t = 0 ، α(x،0)=∫-∞∞دكأ(ك)هـأناكx.{\displaystyle \alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.}

بحسب مبدأ التراكب ، فإن حزمة الموجة في أي وقت t هي α(x،ت)=∫-∞∞دكأ(ك)هـأنا(كx-ωت)،{\displaystyle \alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},} حيث أن ω هي دالة ضمنية لـ k .

افترض أن حزمة الموجة α أحادية اللون تقريبًا ، بحيث تكون A ( k ) ذات ذروة حادة حول عدد موجي مركزي k 0 .

ثم، يؤدي التخطيط الخطي إلىω(ك)≈ω0+(ك-ك0)ω0′{\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}} أين ω0=ω(ك0){\displaystyle \omega _{0}=\أوميغا (k_{0})}وω0′=∂ω(ك)∂ك|ك=ك0\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}} (انظر القسم التالي لمناقشة هذه الخطوة). ثم، بعد بعض العمليات الجبرية، α(x،ت)=هـأنا(ك0x-ω0ت)∫-∞∞دكأ(ك)هـأنا(ك-ك0)(x-ω0′ت).{\displaystyle \alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.}

هناك عاملان في هذا التعبير. العامل الأول،هـأنا(ك0x-ω0ت){\displaystyle e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}}يصف هذا الشكل موجة أحادية اللون مثالية ذات متجه موجي k 0 ، حيث تتحرك القمم والقيعان بسرعة الطور.ω0/ك0{\displaystyle \omega _{0}/k_{0}} داخل غلاف حزمة الموجة.

العامل الآخر، ∫-∞∞دكأ(ك)هـأنا(ك-ك0)(x-ω0′ت)،{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)},} يُعطي هذا غلاف حزمة الموجة. وتعتمد دالة الغلاف هذه على الموضع والوقت فقط من خلال الجمع بينهما.(x-ω0′ت){\displaystyle (x-\omega '_{0}t)}.

لذلك، ينتقل غلاف حزمة الموجة بسرعة ω0′=دωدك|ك=ك0 ،{\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,} وهذا ما يفسر صيغة سرعة المجموعة.

تعابير أخرى

بالنسبة للضوء وسرعة الضوء c ، يرتبط معامل الانكسار n ، وطول الموجة في الفراغ λ₀ ، وطول الموجة في الوسط λ بالعلاقة التالية:λ0=2πجω،λ=2πك=2πvصω،ن=جvص=λ0λ،// _{0}}{\لامدا }},} مع v p  = ω / k  سرعة الطور .

وبالتالي، يمكن حساب سرعة المجموعة باستخدام أي من الصيغ التالية، vز=جن+ω∂ن∂ω=جن-λ0∂ن∂λ0=vص(1+λن∂ن∂λ)=vص-λ∂vص∂λ=vص+ك∂vص∂ك.{\displaystyle {\begin{aligned}v_{\text{g}}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{\text{p}}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{\text{p}}-\lambda {\frac {\partial v_{\text{p}}}{\partial \lambda }}=v_{\text{p}}+k{\frac {\partial v_{\text{p}}}{\partial k}}.\end{aligned}}}

تشتت

تشويه مجموعات الموجات بواسطة تأثيرات التشتت من الدرجة الأعلى، بالنسبة لموجات الجاذبية السطحية على المياه العميقة ( مع v g = 1 / 2 v p ) .
يُظهر هذا تراكب ثلاثة مكونات موجية - بأطوال موجية 22 و25 و29 على التوالي - ضمن نطاق أفقي دوري طوله 2  كيلومتر. تبلغ سعة الموجات لهذه المكونات 1 و2 و1 متر على التوالي.

جزء من الاشتقاق السابق هو تقريب متسلسلة تايلور الذي: ω(ك)≈ω0+(ك-ك0)ω0′(ك0){\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})}

إذا كان للحزمة الموجية انتشار ترددي كبير نسبيًا، أو إذا كان التشتت ω(k) يشهد تغيرات حادة (كما هو الحال عند حدوث رنين )، أو إذا كانت الحزمة تنتقل لمسافات طويلة جدًا، فإن هذا الافتراض لا يكون صحيحًا، وتصبح الحدود ذات الرتبة الأعلى في متسلسلة تايلور مهمة. [ 10 ] : 324-325

نتيجةً لذلك، لا يتحرك غلاف حزمة الموجة فحسب، بل يتشوه أيضًا، بطريقة يمكن وصفها بتشتت سرعة المجموعة للمادة . وبشكلٍ عام، تنتقل مكونات التردد المختلفة لحزمة الموجة بسرعاتٍ متفاوتة، حيث تتحرك المكونات الأسرع نحو مقدمة حزمة الموجة، بينما تتحرك المكونات الأبطأ نحو مؤخرتها. وفي النهاية، تتمدد حزمة الموجة. يُعد هذا تأثيرًا مهمًا في انتشار الإشارات عبر الألياف الضوئية وفي تصميم ليزرات عالية الطاقة ذات نبضات قصيرة.

العلاقة بسرعة الطور، ومعامل الانكسار، وسرعة النقل

في سياق الكهرومغناطيسية والبصريات، يُعد التردد دالةً للعدد الموجي ω ( k ) ، لذا فإن سرعة الطور وسرعة المجموعة تعتمدان عمومًا على الوسط والتردد المحددين. تُعرف النسبة بين سرعة الضوء c وسرعة الطور v<sub> p</sub> بمعامل الانكسار ، n = c / v <sub>p</sub> = ck / ω .

بهذه الطريقة، يمكننا الحصول على صيغة أخرى لسرعة المجموعة في الكهرومغناطيسية. بكتابة n = n (ω) ، فإن إحدى الطرق السريعة لاستنتاج هذه الصيغة هي ملاحظة ك=1جωن(ω)⟹دك=1ج(ن(ω)+ω∂∂ωن(ω))دω.{\displaystyle k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .} يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب ما سبق للحصول على vز=∂w∂ك=جن+ω∂ن∂ω.{\displaystyle v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.}

من هذه الصيغة، نرى أن سرعة المجموعة تساوي سرعة الطور فقط عندما يكون معامل الانكسار مستقلاً عن التردد∂ن/∂ω=0{\textstyle \جزئي n/\جزئي \أوميغا =0}عندما يحدث هذا، يُطلق على الوسط اسم غير مُشتِّت، على عكس الوسط المُشتِّت ، حيث تعتمد خصائص مختلفة للوسط على التردد ω . العلاقةω(ك){\displaystyle \omega (k)}يُعرف باسم علاقة التشتت للوسط.

في ثلاثة أبعاد

بالنسبة للموجات التي تنتقل عبر ثلاثة أبعاد، مثل موجات الضوء وموجات الصوت وموجات المادة، يتم تعميم صيغ سرعة الطور وسرعة المجموعة بطريقة مباشرة: [ 11 ]

  • بُعد واحد:vص=ω/ك،vز=∂ω∂ك،{\displaystyle v_{\text{p}}=\omega /k,\quad v_{\text{g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,}
  • ثلاثة أبعاد:vص=ωكك^،vز=∇→كω{\displaystyle \mathbf {v} _{\text{p}}={\frac {\omega }{k}}{\hat {\mathbf {k} }},\quad \mathbf {v} _{\text{g}}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,}

أين∇→كω{\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega }يعني تدرج التردد الزاوي ω كدالة لمتجه الموجةك{\displaystyle \mathbf {k} }، وك^{\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}هو متجه الوحدة في الاتجاه k .

إذا كانت الموجات تنتشر عبر وسط غير متجانس (أي غير متناظر دورانيًا)، على سبيل المثال بلورة ، فقد يشير متجه سرعة الطور ومتجه سرعة المجموعة في اتجاهات مختلفة.

في الوسائط الخاسرة أو المربحة

يُنظر عادةً إلى سرعة المجموعة على أنها السرعة التي تنتقل بها الطاقة أو المعلومات عبر الموجة. وفي معظم الحالات، يكون هذا التعريف دقيقًا، ويمكن اعتبار سرعة المجموعة بمثابة سرعة الإشارة للموجة . مع ذلك، إذا كانت الموجة تنتقل عبر وسط ماص أو مكسب، فإن هذا التعريف لا ينطبق دائمًا. في هذه الحالات، قد لا تكون سرعة المجموعة كمية محددة بدقة، أو قد لا تكون كمية ذات دلالة.

في كتابه "انتشار الموجات في الهياكل الدورية" [ 12 ] ، جادل بريلوين بأن سرعة المجموعة في وسط مُبدد للطاقة تفقد معناها الفيزيائي الواضح. وقدّم لودون مثالًا على ذلك يتعلق بانتقال الموجات الكهرومغناطيسية عبر غاز ذري. [ 13 ] ومثال آخر هو الموجات الميكانيكية في الغلاف الضوئي الشمسي : حيث تتلاشى هذه الموجات (بفعل تدفق الحرارة الإشعاعي من القمم إلى القيعان)، ونتيجة لذلك، غالبًا ما تكون سرعة الطاقة أقل بكثير من سرعة مجموعة الموجات. [ 14 ]

على الرغم من هذا الغموض، فإن إحدى الطرق الشائعة لتوسيع مفهوم سرعة المجموعة ليشمل الأوساط المعقدة هي النظر في حلول الموجات المستوية المخمدة مكانيًا داخل الوسط، والتي تتميز بمتجه موجي ذي قيمة مركبة . بعد ذلك، يتم تجاهل الجزء التخيلي من المتجه الموجي بشكل اعتباطي، ويتم تطبيق الصيغة المعتادة لسرعة المجموعة على الجزء الحقيقي من المتجه الموجي. vز=(∂(يكرر⁡ك)∂ω)-1.{\displaystyle v_{\text{g}}=\left({\frac {\partial \left(\operatorname {Re} k\right)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.}

أو، بشكل مكافئ، من حيث الجزء الحقيقي من معامل الانكسار المركب ، n = n + iκ ، يكون لدينا [ 15 ]جvز=ن+ω∂ن∂ω.{\displaystyle {\frac {c}{v_{\text{g}}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.}

يمكن إثبات أن هذا التعميم لسرعة المجموعة لا يزال مرتبطًا بالسرعة الظاهرية لذروة حزمة الموجة. [ 16 ] مع ذلك، فإن التعريف المذكور أعلاه ليس عامًا؛ إذ يمكن بدلاً من ذلك النظر في التخميد الزمني للموجات المستقرة ( k حقيقي ، ω مركب )، أو السماح بأن تكون سرعة المجموعة كمية ذات قيمة مركبة. [ 17 ] [ 18 ] تؤدي الاعتبارات المختلفة إلى سرعات متباينة، ومع ذلك تتفق جميع التعريفات في حالة الوسط عديم الفقد والكسب.

قد يتصرف التعميم المذكور أعلاه لسرعة المجموعة في الأوساط المعقدة بشكل غريب، ويُعد مثال التشتت الشاذ توضيحًا جيدًا لذلك. عند حواف منطقة التشتت الشاذ،vز{\displaystyle v_{\text{g}}}تصبح لا نهائية (متجاوزة حتى سرعة الضوء في الفراغ)، وvز{\displaystyle v_{\text{g}}}قد تصبح سالبة بسهولة (إشارتها تعارض Re k ) داخل نطاق التشتت الشاذ. [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]

سرعات المجموعة فائقة السرعة

منذ ثمانينيات القرن الماضي، أكدت تجارب مختلفة أنه من الممكن أن تتجاوز سرعة المجموعة (كما هو مُعرّف أعلاه) لنبضات ضوء الليزر المرسلة عبر مواد ذات فقد أو مواد ذات كسب، سرعة الضوء في الفراغ c بشكل كبير . كما لوحظ أن قمم حزم الموجات تتحرك أسرع من c .

في جميع هذه الحالات، يستحيل أن تنتقل الإشارات بسرعة تفوق سرعة الضوء في الفراغ ، لأن القيمة العالية لـ v<sub> g </sub> لا تُسهم في تسريع الحركة الحقيقية للجبهة الموجية الحادة التي تحدث عند بداية أي إشارة حقيقية. في جوهر الأمر، يُعدّ الانتقال الذي يبدو أسرع من سرعة الضوء نتاجًا لتقريب النطاق الضيق المستخدم سابقًا لتعريف سرعة المجموعة، ويحدث بسبب ظواهر الرنين في الوسط الفاصل. في تحليل النطاق العريض، يُلاحظ أن سرعة انتشار غلاف الإشارة، التي تبدو متناقضة، هي في الواقع نتيجة تداخل موضعي لنطاق أوسع من الترددات على مدى دورات عديدة، تنتشر جميعها بشكل سببي تمامًا وبسرعة طورية. تشبه هذه النتيجة حقيقة أن الظلال يمكن أن تنتقل بسرعة تفوق سرعة الضوء، حتى لو كان الضوء المُسبب لها ينتشر دائمًا بسرعة الضوء؛ ولأن الظاهرة المقاسة مرتبطة بشكل ضعيف فقط بالسببية، فإنها لا تلتزم بالضرورة بقواعد الانتشار السببي، حتى وإن كانت تفعل ذلك في الظروف العادية، مما يؤدي إلى حدس شائع. [ 15 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 22 ] [ 23 ]

انظر أيضاً

مراجع

ملحوظات

  1. ↑ نيميروفسكي، جوناثان؛ ريختسمان، ميكائيل سي؛ سيجيف، موردخاي (9 أبريل 2012). "ضغط الإشعاع السالب ومعامل الانكسار الفعال السالب عبر الانكسار المزدوج العازل" . أوبتكس إكسبرس . 20 (8): 8907-8914 . Bibcode : 2012OExpr..20.8907N . doi : 10.1364/OE.20.008907 . PMID 22513601 . 
  2. ↑ بريلوين، ليون (1960)، انتشار الموجات وسرعة المجموعة ، نيويورك: أكاديميك برس إنك، OCLC 537250 
  3. ↑ بريلوين، ليون (2003) [1946]، انتشار الموجات في الهياكل الدورية: المرشحات الكهربائية والشبكات البلورية ، دوفر، ص 75، ISBN  978-0-486-49556-9
  4. ↑ لايت هيل، جيمس (2001) [1978]، الموجات في السوائل ، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 242، ISBN  978-0-521-01045-0
  5. ↑ لايت هيل (1965)
  6. ↑ هايز (1973)
  7. ↑ جي بي ويذام (1974). الموجات الخطية وغير الخطية (جون وايلي وأولاده، 1974) الصفحات 409-410 نسخة إلكترونية ممسوحة ضوئياً
  8. ↑ غريفيث ، ديفيد ج. (1995). مقدمة في ميكانيكا الكم . برنتيس هول . ص 48. ISBN  978-0-13-124405-4.
  9. ↑ ديفيد ك. فيري (2001). ميكانيكا الكم: مقدمة لفيزيائيي الأجهزة ومهندسي الكهرباء ( الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. الصفحات 18-19 . رمز Bibcode : 2001qmid.book.....F . رقم ISBN   978-0-7503-0725-3.
  10. ↑ جاكسون، جون ديفيد (1999)، الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة)، جون وايلي، رقم ISBN  0-471-30932-X
  11. ↑ ديناميكيات السوائل في الغلاف الجوي والمحيطات: الأساسيات والدوران واسع النطاق، بقلم جيفري ك. فاليس، ص 239
  12. ↑ بريلوين، ل. (1946). انتشار الموجات في الهياكل الدورية . نيويورك: ماكجرو هيل. ص 75. 
  13. ↑ لاودون، ر. (1973). نظرية الكم للضوء . أكسفورد. Bibcode : 1973qtl..book.....L .
  14. ↑ وورال، ج. (2012). "حول تأثير الاسترخاء الإشعاعي على تدفق طاقة الموجات الميكانيكية في الغلاف الجوي الشمسي". الفيزياء الشمسية . 279 (1): 43-52 . Bibcode : 2012SoPh..279...43W . doi : 10.1007/s11207-012-9982-z . S2CID 119595058 . 
  15. 1 2 بويد، آر دبليو؛ غوتييه، دي جيه (2009). "التحكم في سرعة نبضات الضوء" (ملف PDF) . مجلة ساينس . 326 (5956): 1074-1077 . رمز Bibcode : 2009Sci...326.1074B . CiteSeerX 10.1.1.630.2223 . doi : 10.1126 / science.1170885 . PMID 19965419. S2CID 2370109 .   
  16. ↑ مورين، ديفيد (2009). "التشتت" (ملف PDF) . people.fas.harvard.edu . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 21-05-2012 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11-07-2019 .
  17. ↑ موسكيتي، ل.؛ دوم، سي تي (1993). "السرعة الجماعية الحقيقية في وسط مع تبديد". فيزياء الموائع ب: فيزياء البلازما . 5 (5): 1383. Bibcode : 1993PhFlB...5.1383M . doi : 10.1063/1.860877 .
  18. ↑ جيراسيك، فلاديمير؛ ستاسنا، ماريك (2010). "سرعة المجموعة المعقدة ونقل الطاقة في الأوساط الماصة". مجلة Physical Review E. 81 ( 5) 056602. Bibcode : 2010PhRvE..81e6602G . doi : 10.1103/PhysRevE.81.056602 . PMID 20866345 . 
  19. 1 2 دولينغ، غونار؛ إنكريش، كريستيان؛ فيغينر، مارتن؛ سوكوليس، كوستا م.؛ ليندن، ستيفان (2006)، "الطور السالب المتزامن وسرعة المجموعة للضوء في مادة فائقة" ، مجلة ساينس ، 312 (5775): 892-894 ، رمز Bibcode : 2006Sci...312..892D ، doi : 10.1126/science.1126021 ، PMID 16690860 ، S2CID 29012046  
  20. 1 2 بيجلو، ماثيو س.؛ ليبشكين، نيك ن.؛ شين، هيدوك؛ بويد، روبرت و. (2006)، "انتشار نبضات سلسة وغير متصلة عبر مواد ذات سرعات جماعية كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا"، مجلة الفيزياء: المادة المكثفة ، 18 (11): 3117-3126 ، رمز Bibcode : 2006JPCM...18.3117B ، doi : 10.1088/0953-8984/18/11/017 ، S2CID 38556364 
  21. ↑ ويثاياتشومنانكول، و.؛ فيشر، ب.م.؛ فيرغسون، ب.؛ ديفيس، ب.ر.؛ أبوت، د. (2010)، "نظرة منهجية لانتشار الموجات فائقة السرعة"، وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات ، 98 (10): 1775-1786 ، doi : 10.1109/JPROC.2010.2052910 ، S2CID 15100571 
  22. ↑ جيرينج، جورج م.؛ شوينسبيرج، آرون؛ بارسي، كريستوفر؛ كوستينسكي، ناتالي؛ بويد، روبرت و. (2006)، "ملاحظة انتشار نبضة عكسية عبر وسط ذي سرعة مجموعة سالبة"، مجلة ساينس ، 312 (5775): 895-897 ، رمز Bibcode : 2006Sci...312..895G ، doi : 10.1126/science.1124524 ، PMID 16690861 ، S2CID 28800603  
  23. ↑ شفينسبيرغ، أ.؛ ليبشكين، ن.ن.؛ بيغلو، م.س.؛ بويد، ر.و.؛ جارابو، س. (2005)، "ملاحظة انتشار الضوء بسرعة تفوق سرعة الضوء وبطيئة في الألياف البصرية المشوبة بالإربيوم" (ملف PDF) ، رسائل الفيزياء الأوروبية ، 73 (2): 218-224 ، Bibcode : 2006EL.....73..218S ، CiteSeerX 10.1.1.205.5564 ، doi : 10.1209/epl/i2005-10371-0 ، S2CID 250852270  

للمزيد من القراءة

  • كروفورد الابن، فرانك س. (1968). الموجات (دورة بيركلي في الفيزياء، المجلد 3) ، ماكجرو هيل، ISBN 978-0070048607نسخة مجانية عبر الإنترنت
  • تيبلر، بول أ.؛ ليويلين، رالف أ. (2003)، الفيزياء الحديثة (  الطبعة الرابعة)، نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه، ص  223، ISBN 978-0-7167-4345-3.
  • بيوت، ماجستير (1957)، "نظريات عامة حول تكافؤ سرعة المجموعة ونقل الطاقة"، مجلة Physical Review ، 105 (4): 1129-1137 ، Bibcode : 1957PhRv..105.1129B ، doi : 10.1103/PhysRev.105.1129
  • ويذام، جي بي (1961)، "سرعة المجموعة وانتشار الطاقة للأمواج ثلاثية الأبعاد"، مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 14 (3): 675-691 ، CiteSeerX 10.1.1.205.7999 ، doi : 10.1002/cpa.3160140337 
  • لايت هيل، إم جيه (1965)، "سرعة المجموعة"، مجلة IMA للرياضيات التطبيقية ، 1 (1): 1-28 ، doi : 10.1093/imamat/1.1.1
  • بريثرتون، إف بي ؛ غاريت، سي جيه آر (1968)، "موجات في أوساط متحركة غير متجانسة"، وقائع الجمعية الملكية في لندن ، السلسلة أ، العلوم الرياضية والفيزيائية، 302 (1471): 529-554 ، رمز Bibcode : 1968RSPSA.302..529B ، doi : 10.1098/rspa.1968.0034 ، S2CID 202575349 
  • هايز، دبليو دي (1973)، "سرعة المجموعة وانتشار الموجات التشتتية غير الخطية"، وقائع الجمعية الملكية في لندن ، السلسلة أ، العلوم الرياضية والفيزيائية، 332 (1589): 199-221 ، رمز Bibcode : 1973RSPSA.332..199H ، doi : 10.1098/rspa.1973.0021 ، S2CID 121521673 
  • ويذام، جي بي (1974)، الموجات الخطية وغير الخطية ، وايلي، رقم ISBN 978-0-471-94090-6
  • يحتوي موقع الويب الخاص بـ Greg Egan على تطبيق جافا ممتاز يوضح الفرق الواضح بين سرعة المجموعة وسرعة الطور .
  • يحتوي موقع Maarten Ambaum على صفحة ويب بها فيلم مؤرشف بتاريخ 2019-05-04 في Wayback Machine يوضح أهمية سرعة المجموعة في تطور الأنظمة الجوية في اتجاه مجرى النهر.
  • سرعة الطور مقابل سرعة المجموعة – علاقات مختلفة بين سرعة الطور وسرعة المجموعة (رسوم متحركة)