تشبيه هاميلتون البصري الميكانيكي

تشبيه هاميلتون البصري الميكانيكي (أو تشبيه هاميلتون البصري الميكانيكي ) هو تشبيه مفاهيمي يربط بين المسارات في الميكانيكا الكلاسيكية وجبهات الموجات في البصريات ، وقد قدمه ويليام روان هاميلتون حوالي عام 1831. ^{[ 1 ]} ويمكن اعتباره رابطًا بين مبدأ هيغنز في البصريات ومبدأ موبيرتوي في الميكانيكا. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

على الرغم من أن هاميلتون اكتشف هذا التشبيه عام 1831، إلا أنه لم يُطبّق عمليًا إلا عندما استخدمه هانز بوش لشرح تركيز حزمة الإلكترونات عام 1925. ^{[ 7 ]} ووفقًا لكورنيليوس لانكزوس ، كان لهذا التشبيه دورٌ هام في تطوير أفكار الفيزياء الكمية. ^{[ 3 ]} وقد استشهد إرفين شرودنغر بهذا التشبيه في الجملة الأولى من بحثه الذي قدّم فيه ميكانيكا الموجة . ^{[ 8 ]} وفي موضع لاحق من بحثه، يقول:

لسوء الحظ، فإن هذا التصور القوي والمهم لهاملتون محروم، في معظم النسخ الحديثة، من ملابسه الجميلة باعتبارها إضافة زائدة، لصالح تمثيل أكثر رتابة للمراسلات التحليلية. ^{[ 9 ]}

يستخدم التحليل الكمي والرسمي القائم على التناظر معادلة هاميلتون-جاكوبي ؛ في المقابل، يوفر التناظر مسارًا بديلًا وأكثر سهولة لتقديم منهج معادلة هاميلتون-جاكوبي في الميكانيكا. يؤدي تعامد المسارات الميكانيكية، المميزة للبصريات الهندسية، مع الجبهات الموجية الضوئية، المميزة لمعادلة الموجة الكاملة، والناتج عن مبدأ التباين، إلى المعادلات التفاضلية المناظرة. ^{[ 10 ]}

يمكن النظر إلى انتشار الضوء من منظور الأشعة وجبهات الموجة في الفضاء الفيزيائي ثلاثي الأبعاد العادي. جبهات الموجة عبارة عن أسطح منحنية ثنائية الأبعاد، بينما الأشعة عبارة عن خطوط منحنية أحادية البعد. ^{[ 11 ]} يُمثل تشبيه هاميلتون تفسيرين لشكلٍ كهذا. في التفسير البصري، تُمثل جبهات الموجة الخضراء خطوطًا ذات طور ثابت ، بينما تُمثل الخطوط الحمراء المتعامدة أشعة البصريات الهندسية . أما في التفسير الميكانيكي، فتُشير الخطوط الخضراء إلى قيم ثابتة للفعل مُستمدة من تطبيق مبدأ هاميلتون على الحركة الميكانيكية، بينما تُمثل الخطوط الحمراء مسارات الجسم المتعامدة . ^{[ 11 ]}

إن تعامد جبهات الموجة مع الأشعة (أو أسطح الفعل المتساوية مع المسارات) يعني أنه يمكننا حساب إحدى المجموعتين من الأخرى. ^{[ 10 ]} وهذا يفسر كيف تتنبأ معادلة كيرشوف للحيود بظاهرة موجية - الحيود - باستخدام تتبع الأشعة الهندسي فقط. ^{[ 7 ] : 745} الأشعة المتتبعة من المصدر إلى فتحة تعطي جبهة موجة تصبح مصادر للأشعة التي تصل إلى نمط الحيود حيث يتم جمعها باستخدام الأطوار المركبة من جبهات الموجة المتعامدة.

تُعدّ الجبهات الموجية والأشعة، أو أسطح الفعل المتساوية والمسارات، كيانات ثنائية مرتبطة بالتعامد. ^{[ 10 ]} فمن جهة، يُمكن اعتبار الشعاع مدارًا لجسيم ضوئي، حيث يخترق أسطح الموجة تباعًا. ويمكن اعتبار هذه الاختراقات المتتالية بمثابة تحديد مسار الجسيم. ومن جهة أخرى، يُمكن اعتبار الجبهة الموجية سطحًا مستويًا لإزاحة كمية ما، مثل شدة المجال الكهربائي ، أو الضغط الهيدروستاتيكي، أو كثافة عدد الجسيمات، أو الطور التذبذبي، أو سعة الاحتمال . وعندها يصبح المعنى الفيزيائي للأشعة أقل وضوحًا. ^{[ 12 ]}

يرتبط التناظر البصري الميكانيكي لهاملتون ارتباطًا وثيقًا بمبدأ فيرما ، وبالتالي بمبدأ هيغنز-فرينل . ^{[ 10 ]} ينص مبدأ فيرما على أن الأشعة بين جبهات الموجة ستسلك المسار الأقل زمنًا؛ ومفهوم جبهات الموجة المتتالية مشتق من مبدأ هيغنز.

بتجاوز الفضاء الفيزيائي ثلاثي الأبعاد المعتاد، يمكن تخيل "فضاء" تكوين مجرد ذي أبعاد أعلى، يكون بُعده من مضاعفات العدد 3. في هذا الفضاء، يمكن تخيل الأشعة كخطوط منحنية أحادية البعد. وتكون جبهات الموجة أسطحًا فائقة ذات بُعد أقل بواحد من بُعد الفضاء. ^{[ 6 ]} يمكن لهذا الفضاء متعدد الأبعاد أن يُستخدم كفضاء تكوين لنظام متعدد الجسيمات.

يتناول ألبرت ميسيا حالةً كلاسيكيةً لمعادلة شرودنغر، فيجد فيها نظيراً بصرياً. إذ تكون مسارات جسيماته متعامدةً مع أسطح الطور المتساوي. ويكتب: "بلغة البصريات، تُمثل هذه الأسطح جبهات الموجة، بينما تُمثل مسارات الجسيمات الأشعة. ومن ثم، فإن التقريب الكلاسيكي يُكافئ تقريب البصريات الهندسية: فنجد مرةً أخرى، كنتيجةٍ لمعادلة شرودنغر، الفرضية الأساسية لنظرية موجات المادة." ^{[ 13 ]}

لعب تشبيه هاميلتون البصري-الميكانيكي دورًا حاسمًا ^{[ 14 ] [ 11 ]} في فكر شرودنغر ، أحد مؤسسي ميكانيكا الكم. يحمل القسم الأول من بحثه المنشور في ديسمبر 1926 عنوان "التناظر الهاميلتوني بين الميكانيكا والبصريات". ^{[ 15 ]} أما القسم الأول من أولى محاضراته الأربع حول ميكانيكا الموجات، والتي ألقاها عام 1928، فيحمل عنوان "اشتقاق الفكرة الأساسية لميكانيكا الموجات من تشبيه هاميلتون بين الميكانيكا العادية والبصريات الهندسية". ^{[ 16 ]}

في ورقة بحثية موجزة عام 1923، كتب دي بروي  : "يجب أن تخضع الديناميكا لنفس التطور الذي خضعت له البصريات عندما حلت التموجات محل البصريات الهندسية البحتة." ^{[ 17 ]} وفي أطروحته عام 1924، على الرغم من أن لويس دي بروي لم يذكر التشبيه البصري الميكانيكي، إلا أنه كتب في مقدمته، ^{[ 18 ]}

... مبدأ واحد، هو مبدأ موبيرتوي، ولاحقًا في شكل آخر كمبدأ هاميلتون لأقل فعل ... مبدأ فيرما ... الذي يُعرف اليوم عادةً بمبدأ أقل فعل. ... طرح هيغنز نظريةً تموجيةً للضوء، بينما طوّر نيوتن، مستندًا إلى تشبيه بديناميكيات النقطة المادية التي ابتكرها، نظريةً جسيميةً، تُعرف باسم "نظرية الانبعاث"، والتي مكّنته حتى من تفسير، وإن كان ذلك بفرضية مصطنعة، تأثيرات تُعتبر اليوم تأثيرات موجية (أي حلقات نيوتن).

في رأي ليون روزنفيلد ، وهو زميل مقرب من نيلز بور ، "... استلهم شرودنغر من مقارنة هاملتون الجميلة بين الميكانيكا الكلاسيكية والبصريات الهندسية ..." ^{[ 19 ]}

يُخصّص أول كتاب مدرسي باللغة الإنجليزية في ميكانيكا الموجات ^{[ 20 ]} الفصل الثاني من فصليه لموضوع "ميكانيكا الموجات وعلاقتها بالميكانيكا التقليدية". ويُشير الكتاب إلى أن "... دي برولي وشرودنغر قد حوّلا هذا التشبيه الخاطئ إلى تشبيه صحيح باستخدام وحدة قياس الفعل الطبيعية، h ، .... ... يجب علينا الآن الخوض في نظرية هاميلتون بمزيد من التفصيل، لأنه بمجرد فهم معناها الحقيقي، تصبح الخطوة إلى ميكانيكا الموجات قصيرة جدًا - بل إنها الآن، بعد حدوث ذلك، تبدو وكأنها تُفرض نفسها تلقائيًا." ^{[ 21 ]}

بحسب أحد الكتب المدرسية، "يمكن حل الجزء الأول من مشكلتنا، وهو إنشاء نظام من المعادلات من الدرجة الأولى التي تحقق شرط تناظر الزمكان، بطريقة بسيطة للغاية، بمساعدة التناظر بين الميكانيكا والبصريات، والذي كان نقطة انطلاق لتطوير ميكانيكا الموجة والذي لا يزال من الممكن استخدامه - مع بعض التحفظات - كمصدر إلهام." ^{[ 22 ]}

وقد تم توسيع هذا المفهوم مؤخراً ليشمل النظام المعتمد على الطول الموجي. ^{[ 23 ]}

يمكن تلخيص أوجه التشابه بين مجالات البصريات وعلم المحيطات ^{[ 24 ]} وميكانيكا الكم في الجدول التالي. يُظهر الصف الأول معادلات الموجة الكاملة من البصريات وعلم المحيطات وميكانيكا الكم، وتحديدًا معادلة هيلمهولتز ، والمعادلة التفاضلية الجزئية التي تحكم ارتفاع سطح البحر.${\displaystyle \eta }$ومعادلة شرودنغر على التوالي.

الصف الثاني هو تقريب WKB من الدرجة الأولى ، أي تغير السعة المتغير ببطء، والمعادلات التي تم الحصول عليها هي معادلة إيكونال للبصريات وعلم المحيطات ومعادلة هاميلتون جاكوبي.

الصف الثالث هو تقريب WKB من الدرجة الثانية والمعادلات التي تم الحصول عليها هي معادلة نقل الشدة في البصريات، ^{[ 25 ]} معادلة طاقة الموجة في علم المحيطات ومعادلة ليوفيل .

نِطَاق	بصريات	علم المحيطات	ميكانيكا الكم
معادلة الموجة الكاملة	${\displaystyle \nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}(x)}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}=g{\frac {\partial }{\partial x}}\left(h{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)}$	${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\psi ={\hat {H}}\psi }$
المرحلة الأولى	${\displaystyle |\nabla S(x)|^{2}=n^{2}(x)}$	${\displaystyle \partial _{t}S+\omega (x,\nabla S)=0}$	${\displaystyle \partial _{t}S+H(x,\nabla S,t)=0}$
الدرجة الثانية (النقل)	${\displaystyle k\partial _{z}I+\nabla \cdot (I\nabla \Phi )=0}$	${\displaystyle \partial _{t}{\mathcal {A}}+\nabla \cdot ({\mathcal {A}}\,v_{g})=0}$	${\displaystyle \partial _{t}\rho +\nabla \cdot (\rho \,v)=0}$