المرافق التوافقي الإسقاطي

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 58 صور
الموسوعة الحرة
D هو المرافق التوافقي لـ C بالنسبة إلى A و B. تشكل A و D و B و C نطاقًا توافقيًا. KLMN هو شكل رباعي كامل يولد هذا النطاق.

في الهندسة الإسقاطية ، يتم تعريف نقطة المرافق التوافقي لنقطة على خط الإسقاط الحقيقي بالنسبة لنقطتين أخريين من خلال البناء التالي:

بفرض وجود ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة A وB وC ، ولتكن L نقطة لا تقع على خط التقاء هذه النقاط، وليكن أي خط يمر عبر C يتقاطع مع LA وLB في النقطتين M وN على التوالي. إذا تقاطع AN و BM في النقطة K ، وتقاطع LK مع AB في النقطة D ، فإن D تُسمى المرافق التوافقي لـ C بالنسبة إلى A و B. [ 1 ]

لا تعتمد النقطة D على النقطة L التي يتم اختيارها مبدئيًا، ولا على الخط المار بالنقطة C المستخدم لإيجاد M و N. وتنتج هذه الحقيقة من نظرية ديزارج .

في الهندسة الإسقاطية الحقيقية، يمكن أيضًا تعريف الاقتران التوافقي من حيث النسبة التبادلية على النحو التالي ( A ، B ؛ C ، D ) = -1 . 

معيار النسبة التبادلية

تُسمى النقاط الأربع أحيانًا نطاقًا توافقيًا (على خط الإسقاط الحقيقي) لأنه وُجد أن النقطة D تقسم القطعة المستقيمة AB داخليًا بنفس النسبة التي تقسم بها النقطة C القطعة المستقيمة AB خارجيًا . أي:

أج¯:بج¯=أد¯:دب¯.{\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}

إذا تم تزويد هذه الأجزاء الآن بالتفسير المتري العادي للأعداد الحقيقية ، فسيتم تحديد إشاراتها وستشكل نسبة مزدوجة تُعرف باسم النسبة التبادلية (أو النسبة المزدوجة أحيانًا ).

(أ،ب;ج،د)=أج¯أد¯/بج¯-دب¯،{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,}

والتي تتميز بنطاق توافقي بقيمة -1 . لذلك نكتب:

(أ،ب;ج،د)=أج¯أد¯×بد¯بج¯=-1.{\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}

لا تُعدّ قيمة النسبة التبادلية فريدةً بشكل عام ، إذ تعتمد على ترتيب اختيار المقاطع (وهناك ستة اختيارات ممكنة). ولكن بالنسبة لنطاق توافقي على وجه الخصوص، توجد ثلاث قيم فقط للنسبة التبادلية: { -1 ، 1/2، 2}، لأن -1 معكوس ذاتي – لذا فإن تبديل النقطتين الأخيرتين يُعيد كلًا من هذه القيم دون إنتاج قيمة جديدة، ويُعرف هذا تقليديًا باسم النسبة التبادلية التوافقية .

بالنسبة للنسبة المزدوجة، إذا كانت لدينا نقطتان a و b على خط أفيني، فإن نسبة القسمة [ 2 ] للنقطة x هي ت(x)=x-أx-ب.{\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}.} لاحظ أنه عندما يكون a < x < b ، فإن t ( x ) تكون سالبة، وتكون موجبة خارج هذه الفترة. النسبة التبادلية(ج،د;أ،ب)=ت(ج)ت(د){\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}}هي نسبة بين نسبتي قسمة، أو نسبة مضاعفة. عندما تكون النسبة المضاعفة تساوي سالب واحد، فهذا يعني أنه عندما يكون t ( c ) + t ( d ) = 0 ، فإن c و d مترافقان توافقيان بالنسبة إلى a و b . لذا، فإن معيار نسبة القسمة هو أن يكونا معكوسين جمعيين .

التقسيم التوافقي لقطعة مستقيمة هو حالة خاصة من تعريف أبولونيوس للدائرة .

في بعض الدراسات المدرسية، يُطلق على تكوين النطاق التوافقي اسم التقسيم التوافقي .

نقطة المنتصف

نقطة المنتصف واللانهاية مترافقتان توافقيتان.

عندما تكون x هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة من a إلى b ، فإن ت(x)=x-أx-ب=-1.{\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}=-1.} بحسب معيار النسبة التبادلية، سيكون المرافق التوافقي لـ x هو y عندما t ( y ) = 1. ولكن لا يوجد حل نهائي لـ y على الخط المار بالنقطتين a و b . ومع ذلك، ليمy→∞ت(y)=1،{\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,} مما يحفز إدراج نقطة عند اللانهاية في الخط الإسقاطي. هذه النقطة عند اللانهاية تعمل كمرافق توافقي لنقطة المنتصف x .

من المربع الكامل

ثمة طريقة أخرى لإيجاد المرافق التوافقي، وهي من خلال مفهوم الشكل الرباعي الكامل، كما في الشكل KLMN الموضح أعلاه. يتكون الشكل الرباعي الكامل، الذي يرتكز على أربع نقاط، من أزواج من الأضلاع المتقابلة والأقطار. وفي صيغة المرافق التوافقي لكوكسيتر (HSM) ، تُعتبر الأقطار زوجًا من الأضلاع المتقابلة.

D هو المرافق التوافقي لـ C بالنسبة إلى A و B ، مما يعني أن هناك شكل رباعي IJKL بحيث يتقاطع زوج واحد من الأضلاع المتقابلة عند A ، وزوج ثان عند B ، بينما يتقاطع الزوج الثالث مع AB عند C و D . [ 3 ]

كان كارل فون شتاودت أول من استخدم المرافق التوافقي كأساس للهندسة الإسقاطية بشكل مستقل عن الاعتبارات المترية:

...نجح شتاودت في تحرير الهندسة الإسقاطية من الهندسة الابتدائية. في كتابه "هندسة الوضع" ، قدم شتاودت رباعية العناصر التوافقية بشكل مستقل عن مفهوم النسبة التبادلية، متبعًا مسارًا إسقاطيًا بحتًا، باستخدام شكل رباعي كامل أو شكل رباعي الأضلاع. [ 4 ]
متوازي أضلاع ذو أقطار
P 1 = A ، P 2 = S ، P 3 = B ، P 4 = Q ، D = M (تجاهل M الأخضر).

للاطلاع على الشكل الرباعي الكامل المستخدم في الحصول على نقطة المنتصف، انظر إلى المقطع التالي من جي دبليو يونغ:

إذا رُسم خطان عشوائيان AQ وAS يمران بالنقطة A ، ورُسم خطان BS وBQ يمران بالنقطة B موازيين لـ AQ وAS على التوالي، فإن الخطين AQ وSB يتقاطعان، بحسب التعريف، في النقطة R عند اللانهاية، بينما يتقاطع الخطان AS وQB، بحسب التعريف، في النقطة P عند اللانهاية. وبالتالي، فإن الشكل الرباعي الكامل PQRS له نقطتان قطريتان عند A و B ، بينما يمر الزوج المتبقي من الأضلاع المتقابلة بالنقطة M والنقطة عند اللانهاية على AB . وبالتالي، فإن النقطة M ، بحسب الإنشاء، هي المرافق التوافقي للنقطة عند اللانهاية على AB بالنسبة إلى A و B. ومن جهة أخرى، فإن كون M منتصف القطعة المستقيمة AB يتبع من الخاصية المعروفة بأن قطري متوازي الأضلاع ( PQRS ) ينصف كل منهما الآخر. [ 5 ]

هويات ماكلورين ونيوتن

معطى نقطتينأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}، يتركم{\displaystyle M}لنعتبر نقطة منتصفهم؛ يمكننا دون فقدان للعمومية أن نضيف إليهم اللواحق.-1{\displaystyle -1}،1{\displaystyle 1}و0{\displaystyle 0}في المستوى المركب على التوالي. ثم، لأي نقطةج{\displaystyle C}مع ملحقz{\displaystyle z}، اتضح أن المرافق التوافقي لـج{\displaystyle C}له لاحقة1/z{\displaystyle 1/z}يُطلق على هذا اسم المرافق التوافقيد{\displaystyle D}ينتج عنه المتطابقات التالية:

  • ماكلورين:مج⋅مد=مأ2=مب2{\displaystyle MC\cdot MD=MA^{2}=MB^{2}}(والتي تصبح ببساطة في الأعداد المركبة)z⋅1z=12=(-1)2{\displaystyle z\cdot {\frac {1}{z}}=1^{2}=(-1)^{2}})
  • نيوتن:دب⋅دأ=دج⋅دم{\displaystyle DB\cdot DA=DC\cdot DM}(والذي ينص في الأعداد المركبة على أن(z+1)(z-1)=(z-0)(z-1z){\displaystyle (z+1)(z-1)=(z-0)(z-{\frac {1}{z}})})

العلاقات الرباعية

تُسمى أربع نقاط مرتبة على مدى إسقاطي بالنقاط التوافقية عندما يكون هناك رباعي الألوان في المستوى بحيث تكون النقطتان الأولى والثالثة نقاطًا مرجعية، وتقع النقطتان الأخريان على موصلات النقطة المرجعية الثالثة. [ 6 ]

إذا كانت النقطة p لا تقع على خط مستقيم ذي نقاط توافقية، فإن وصلات p بهذه النقاط تكون خطوطًا مستقيمة توافقية . وبالمثل، إذا كان محور حزمة من المستويات منحرفًا عن خط مستقيم ذي نقاط توافقية، فإن المستويات الواقعة على هذه النقاط تكون مستويات توافقية . [ 6 ]

تُسمى مجموعة من أربعة عناصر في مثل هذه العلاقة بالرباعية التوافقية . [ 7 ]

القطوع المخروطية الإسقاطية

القطع المخروطي في المستوى الإسقاطي هو منحنى C يتميز بالخاصية التالية: إذا كانت P نقطة لا تقع على C ، وإذا كان هناك خط متغير يمر عبر P ويتقاطع مع C عند النقطتين A و B ، فإن المرافق التوافقي المتغير لـ P بالنسبة إلى A و B يرسم خطًا. تُسمى النقطة P قطب هذا الخط من المرافقات التوافقية، ويُسمى هذا الخط الخط القطبي لـ P بالنسبة إلى القطع المخروطي. راجع مقالة "القطب" و"القطبي" لمزيد من التفاصيل.

الهندسة العكسية

في حالة كون القطع المخروطي دائرة، فإن المرافقات التوافقية بالنسبة للدائرة على أقطار الدائرة الممتدة هي معكوسات في الدائرة . وتنتج هذه الحقيقة من إحدى نظريات سموجورجيفسكي: [ 8 ]

إذا كانت الدائرتان k و q متعامدتين بشكل متبادل، فإن الخط المستقيم الذي يمر عبر مركز k ويتقاطع مع q ، يفعل ذلك عند نقاط متناظرة بالنسبة إلى k . 

أي أنه إذا كان الخط قطرًا ممتدًا لـ k ، فإن التقاطعات مع q تكون مترافقة توافقية.

القطوع المخروطية ومعادلة يواخيمثال

اعتبر المنحنىج{\displaystyle C}قطع ناقص معطى بالمعادلة

x2أ2+y2ب2=1.{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

يتركP(x0،y0){\displaystyle P(x_{0},y_{0})}أن تكون نقطة خارج القطع الناقص ول{\displaystyle L}خط مستقيم منP{\displaystyle P}والتي تلتقي بالقطع الناقص عند نقاطأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}. يتركأ{\displaystyle A}لديك إحداثيات(ξ،η){\displaystyle (\xi ,\eta )}ثم خذ نقطةسؤال(x،y){\displaystyle Q(x,y)}علىل{\displaystyle L}وداخل القطع الناقص الذي يكون بحيثأ{\displaystyle A}يقسم القطعة المستقيمةPسؤال{\displaystyle PQ}في النسبة1{\displaystyle 1}لλ{\displaystyle \lambda }، أي

Pأ=(x0-ξ)2+(y0-η)2=1،أسؤال=(x-ξ)2+(y-η)2=λ{\displaystyle PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda }.

بدلاً من حل هذه المعادلات لـξ{\displaystyle \xi }وη{\displaystyle \eta } من الأسهل التحقق بالتعويض من أن التعبيرات التالية هي الحلول، أي

(ξ،η)=(λx+x0λ+1،λy+y0λ+1).{\displaystyle (\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.}

منذ النقطةأ{\displaystyle A}يقع على القطع الناقصج{\displaystyle C}، لدى المرء

1أ2(λx+x0λ+1)2+1ب2(λy+y0λ+1)2=1،{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,}

أو

λ2(x2أ2+y2ب2-1)+2λ(xx0أ2+yy0ب2-1)+(x02أ2+y02ب2-1)=0.{\displaystyle \lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.}

هذه المعادلة - وهي معادلة تربيعية فيλ{\displaystyle \lambda }تُسمى هذه المعادلة معادلة يواخيمتال . ولها جذرانλ1،λ2{\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}، تحديد مواقعأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}فيما يتعلق بـP{\displaystyle P}وسؤال{\displaystyle Q}دعونا نربطλ1{\displaystyle \lambda _{1}}معأ{\displaystyle A}وλ2{\displaystyle \lambda _{2}}معب{\displaystyle B}ثم تُعطى القطع المستقيمة المختلفة بواسطة

سؤالأ=1λ1+1(x-x0،y-y0)،Pأ=λ1λ1+1(x0-x،y0-y){\displaystyle QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)}

و

سؤالب=1λ2+1(x-x0،y-y0)،Pب=λ2λ2+1(x0-x،y0-y).{\displaystyle QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).}

ويترتب على ذلك أن

PبPأسؤالأسؤالب=λ2λ1.{\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.}

عندما يكون هذا التعبير-1{\displaystyle -1}لدينا

سؤالأPأ=-سؤالبPب.{\displaystyle {\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.}

هكذاأ{\displaystyle A}يقسمPسؤال{\displaystyle PQ}"داخليًا" بنفس النسبةب{\displaystyle B} يقسمPسؤال{\displaystyle PQ}«خارجياً». التعبير

PبPأسؤالأسؤالب{\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}}

ذات قيمة-1{\displaystyle -1}(مما يجعلها معكوسة ذاتيًا) تُعرف باسم النسبة التوافقية التبادلية .λ2/λ1=-1{\displaystyle \lambda _{2}/\lambda _{1}=-1}كما سبق، لدى المرءλ1+λ2=0{\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=0}وبالتالي معاملλ{\displaystyle \lambda }في معادلة يواخيمثال، يتلاشى، أي

xx0أ2+yy0ب2-1=0.{\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.}

هذه هي معادلة الخط المستقيم المسمى الخط القطبي لنقطة (قطب).P(x0،y0){\displaystyle P(x_{0},y_{0})}يمكن للمرء أن يثبت أن هذا القطب منP{\displaystyle P}هو وتر التماس بين المماسات للقطع الناقص منP{\displaystyle P}إذا وضعناP{\displaystyle P}على القطع الناقص (λ1=0،λ2=0{\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=0}) المعادلة هي معادلة المماس عندP{\displaystyle P}ويمكن للمرء أيضًا أن يثبت أن دليل القطع الناقص هو قطب البؤرة.

رباعيات غالوا

في هندسة غالوا على حقل غالوا GF( q )، يحتوي الخط على q + 1 نقطة، حيث ∞ = (1,0) . في هذا الخط، تُشكّل أربع نقاط رباعية توافقية عندما تفصل نقطتان منها توافقيًا عن النقاط الأخرى.

(ج،د;أ،ب)=-1،  وبالمثل   2(جد+أب)=(ج+د)(أ+ب)،{\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}

تُعرّف الرباعيات التوافقية. وقد أدى الاهتمام بهذه الرباعيات إلى قيام جان ديودونيه بتحديد بعض التشاكلات العرضية للمجموعات الخطية الإسقاطية PGL(2, q ) لـ q = 5، 7، 9. [ 9 ]

إذا كانت q = 2 n ، ومعطى A و B ، فإن المرافق التوافقي لـ C هو نفسه. [ 10 ]

المرافقات التوافقية الإسقاطية المتكررة والنسبة الذهبية

لتكن P₀ و P₁ و P₂ ثلاث نقاط مختلفة على خط الإسقاط الحقيقي. لنعتبر المتتالية اللانهائية من النقاط Pₙ ، حيث Pₙ هي المرافق التوافقي لـ Pₙ₋₃ بالنسبة إلى Pₙ₋₁ و Pₙ₋₂ ، وذلك لجميع قيم n الأكبر من 2. هذه المتتالية متقاربة . [ 11 ]

بالنسبة لنهاية محدودة P لدينا

ليمن→∞Pن+1PPنP=Φ-2=-Φ-2=-3-52،{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}

أينΦ=12(1+5){\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}هي النسبة الذهبية ، أيPن+1P≈-Φ-2PنP{\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}بالنسبة لقيم n الكبيرة . أما بالنسبة للحد اللانهائي، فلدينا

ليمن→∞Pن+2Pن+1Pن+1Pن=-1-Φ=-Φ2.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}

لإثبات ذلك، انظر إلى التشاكل الإسقاطي

و(z)=أz+بجz+د{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}

مع

و((-1)نΦ2ن)=Pن.{\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ آر إل غودستين وإي جيه إف بريمروز (1953) الهندسة الإسقاطية البديهية ، جامعة ليستر (الناشر). يتبع هذا النص الهندسة التركيبية . البناء التوافقي في الصفحة 11
  2. ↑ ديرك ستريك (1953) محاضرات في الهندسة التحليلية والإسقاطية ، صفحة 7
  3. ↑ إتش إس إم كوكسيتر (1942) الهندسة غير الإقليدية ، صفحة 29، مطبعة جامعة تورنتو
  4. ^ BL Laptev & BA Rozenfel'd (1996) رياضيات القرن التاسع عشر: الهندسة ، الصفحة 41، Birkhäuser Verlag ISBN 3-7643-5048-2
  5. ↑ جون ويسلي يونغ (1930) الهندسة الإسقاطية ، صفحة 85، الجمعية الرياضية الأمريكية ، شيكاغو: دار النشر أوبن كورت
  6. 1 2 جي. بي. هالستيد (1906) الهندسة الإسقاطية التركيبية ، الصفحات 15 و16
  7. ^ لويس سانتالو (1966) Geometría proyectiva ، صفحة 166، افتتاحية جامعة بوينس آيرس
  8. ↑ أ. س. سموجورجيفسكي (1982) هندسة لوباتشيفسكي ، دار نشر مير ، موسكو
  9. ^ جان ديودوني (1954) “Les Isomorphisms Exceptionals entre les Groups classiques Finis”، المجلة الكندية للرياضيات 6: 305 إلى 15 doi : 10.4153/CJM-1954-029-0
  10. ↑ إميل أرتين (1957) الجبر الهندسي ، صفحة 82 عبر أرشيف الإنترنت
  11. ↑ ف. لايتنبرغر (2016) التقسيمات التوافقية المتكررة والنسبة الذهبية ، منتدى الهندسة 16: 429-430