نظرية هارتوغز للتمديد

في نظرية الدوال ذات المتغيرات المركبة المتعددة ، تُعدّ نظرية هارتوغز للتمديد بيانًا حول نقاط التفرد للدوال التحليلية ذات المتغيرات المركبة المتعددة. وبصورة مبسطة، تنصّ هذه النظرية على أن نطاق نقاط التفرد لهذه الدوال لا يمكن أن يكون مضغوطًا ، وبالتالي فإن مجموعة نقاط التفرد لدالة ذات متغيرات مركبة متعددة يجب (بمعنى أوسع) أن تمتد إلى ما لا نهاية في اتجاه ما. وبشكل أدق، تُبيّن النظرية أن نقطة التفرد المعزولة هي دائمًا نقطة تفرد قابلة للإزالة لأي دالة تحليلية ذات n > 1 متغير مركب. وقد برهن فريدريك هارتوغز على النسخة الأولى من هذه النظرية ^{[ 1 ]} ، ولذلك تُعرف أيضًا باسم ليمّة هارتوغز ومبدأ هارتوغز . وفي الأدبيات السوفيتية السابقة ^{[ 2 ]} ، تُعرف أيضًا باسم نظرية أوسغود-براون ، نسبةً إلى أعمال لاحقة لآرثر بارتون براون وويليام فوغ أوسغود . ^{[ 3 ]} تُعرف هذه الخاصية للدوال التحليلية لعدة متغيرات أيضًا بظاهرة هارتوغز ؛ ومع ذلك، يُستخدم مصطلح "ظاهرة هارتوغز" أيضًا لتحديد خاصية حلول أنظمة المعادلات التفاضلية الجزئية أو المعادلات الالتفافية التي تحقق نظريات من نوع هارتوغز. ^{[ 4 ]}

قدّم فريدريك هارتوغز البرهان الأصلي عام 1906، مستخدمًا صيغة كوشي التكاملية للدوال ذات المتغيرات المركبة المتعددة . ^{[ 1 ]} تعتمد البراهين الشائعة اليوم إما على صيغة بوخنر-مارتينيلي-كوبلمان أو على حل معادلات كوشي-ريمان غير المتجانسة ذات الدعم المحدود. ويعود الفضل في هذا النهج الأخير إلى ليون إهرنبريس الذي بدأه في بحثه ( إهرنبريس 1961 ) . كما قدّم غايتانو فيشيرا برهانًا بسيطًا آخر لهذه النتيجة في بحثه ( فيشيرا 1957 ) ، مستخدمًا حله لمسألة ديريشليه للدوال التحليلية ذات المتغيرات المتعددة والمفهوم ذي الصلة لدالة CR : ^{[ 5 ]} لاحقًا، وسّع فيشيرا النظرية لتشمل فئة معينة من المؤثرات التفاضلية الجزئية في بحثه ( فيشيرا 1983 ) ، ثمّ طوّر جوليانو براتي أفكاره لاحقًا. ^{[ 6 ]} كما أن المدرسة اليابانية لنظرية المؤثرات التفاضلية الجزئية قد عملت كثيراً على هذا الموضوع، مع مساهمات بارزة من أكيرا كانيكو. ^{[ 7 ]} ويعتمد نهجهم على استخدام مبدأ إهرنبريس الأساسي .

على سبيل المثال، في حالة متغيرين، ضع في اعتبارك المجال الداخلي

${\displaystyle H_{\varepsilon}=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \ {\text{or}}\ \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}}$

في القرص المتعدد ثنائي الأبعاد${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$أين${\displaystyle 0<\varepsilon <1.}$

نظرية هارتوغز (1906) : أي دالة تحليلية${\displaystyle f}$على${\displaystyle H_{\varepsilon }}$يمكن مواصلة التحليل إلى${\displaystyle \Delta ^{2}.}$أي أن هناك دالة هولومورفية${\displaystyle F}$على${\displaystyle \Delta ^{2}}$بحيث${\displaystyle F=f}$على ${\displaystyle H_{\varepsilon }.}$

تُسمى هذه الظاهرة ظاهرة هارتوغز ، والتي أدت إلى مفهوم نظرية هارتوغز للتمديد ومجال الهولومورفية .

لتكن f دالة تحليلية على مجموعة G  \ K  ، حيث G مجموعة مفتوحة جزئية من C ⁿ ( n ≥ 2 ⁾ و K مجموعة مضغوطة جزئية من G. إذا كانت المتممة G  \ K  متصلة، فإنه يمكن تمديد f إلى دالة تحليلية وحيدة F على G. ^{[ 8} ]

يستند برهان إهرنبريس إلى وجود دوال نتوءات ملساء ، واستمرار وحيد للدوال التحليلية، ومبرهنة بوانكاريه - الأخيرة بصيغة أنه لأي شكل تفاضلي (0,1) أملس ومحدود الدعم ω على Cⁿ حيث ∂ω = 0 ، توجد دالة ملساء ومحدودة الدعم η على ^Cⁿ حيث ∂η = ω . ويُشترط الشرط الأساسي n ≥ 2 لصحة مبرهنة بوانكاريه هذه؛ فإذا كان ⁿ = 1 ، فإنه من المستحيل عمومًا أن تكون η محدودة الدعم . ^{[ 9 ]}

الفرضية لـ F هي φ f − v للدوال الملساء φ و v على G ؛ ويكون هذا التعبير ذا معنى بشرط أن تكون φ مساوية للصفر تمامًا حيث f غير معرفة (أي على K ). علاوة على ذلك، إذا كانت لدينا أي دالة تحليلية على G تساوي f على مجموعة مفتوحة ما ، فإن الاستمرار الوحيد (بناءً على اتصال G \ K ) يُظهر أنها تساوي f على جميع G \ K.    

إن خاصية التماثل التام لهذه الدالة مطابقة للشرط ∂v = f ∂φ . لأي دالة ملساء φ ، فإن الشكل التفاضلي (0,1) f ∂φ مغلق بالنسبة لـ ∂ . باختيار φ لتكون دالة ملساء تساوي صفرًا على K وتساوي واحدًا على متممة مجموعة جزئية مضغوطة L من G ، فإن هذا الشكل (0,1) له أيضًا دعم مضغوط، بحيث تحدد مبرهنة بوانكاريه قيمة v مناسبة ذات دعم مضغوط. هذا يُعرّف F كدالة تماثلية على G ؛ ويبقى فقط إثبات (وفقًا للتعليقات السابقة) أنها تتطابق مع f على مجموعة مفتوحة ما.

على المجموعة Cⁿ ^\ L  ،  تكون الدالة v تحليلية الشكل لأن φ ثابتة تمامًا. ولأنها تساوي صفرًا بالقرب من اللانهاية، يُمكن تطبيق الاستمرار الوحيد لإثبات أنها تساوي صفرًا تمامًا على مجموعة جزئية مفتوحة من G  \ L.  ^{[ 10 ]} وبالتالي، على هذه المجموعة الجزئية المفتوحة، تكون F مساوية لـ f ، وبذلك يتم إثبات جزء الوجود من نظرية هارتوغ. وتُستنتج خاصية التفرد تلقائيًا من الاستمرار الوحيد، استنادًا إلى اتصال G.

لا تنطبق النظرية عندما n = 1. ولتوضيح ذلك، يكفي النظر إلى الدالة f ( z ) = z⁻¹ ^، وهي دالة تحليلية واضحة في C  \  {0}، ولكن لا يمكن استمرارها كدالة تحليلية على كامل C. لذا، تُعد ظاهرة هارتوغز ظاهرةً أساسيةً تُبرز الفرق بين نظرية الدوال ذات المتغير المركب الواحد ونظرية الدوال ذات المتغيرات المركبة المتعددة.

• تشيركا، إي إم (2001) [1994]، "نظرية هارتوغز" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• "فشل نظرية هارتوغز في بُعد واحد" . بلانيت ماث .
• نظرية هارتوغز في موقع PlanetMath .
• برهان نظرية هارتوغز على موقع PlanetMath .