مصفوفة هاس-ويت

في الرياضيات ، تُعرف مصفوفة هاس-ويت H لمنحنى جبري غير منفرد C على حقل منتهٍ F بأنها مصفوفة تطبيق فروبينيوس ( تطبيق القوة p حيث F يحتوي على q عنصرًا، وq قوة للعدد الأولي p ) بالنسبة إلى أساس للتفاضلات من النوع الأول . وهي مصفوفة من الرتبة g × g حيث C من الجنس g . رتبة مصفوفة هاس-ويت هي ثابت هاس أو ثابت هاس-ويت .

هذا التعريف، كما ورد في المقدمة، طبيعيٌّ من الناحية الكلاسيكية، ويعود الفضل فيه إلى هيلموت هاس وإرنست ويت (1936). وهو يُقدِّم حلًّا لمسألة رتبة p لمتنوِّع جاكوبي J للمنحنى C ؛ إذ إن رتبة p محدودة برتبة H ، وتحديدًا هي رتبة تطبيق فروبينيوس المُركَّب مع نفسه g مرة. وهو أيضًا تعريفٌ خوارزميٌّ من حيث المبدأ. وقد حظي هذا التعريف باهتمامٍ كبيرٍ مؤخرًا لتطبيقاته العملية في علم التشفير ، وفي حالة C، المنحنى الإهليلجي الفائق . ويُعتبر المنحنى C فائق الخصوصية إذا كانت H = 0.

يحتاج هذا التعريف إلى بعض التحفظات، على الأقل. أولًا، هناك اصطلاحٌ بشأن دوال فروبينيوس، ووفقًا للفهم الحديث، فإن المطلوب لـ H هو منقولة فروبينيوس (انظر فروبينيوس الحسابي والهندسي لمزيد من التفاصيل). ثانيًا، دالة فروبينيوس ليست خطية بالنسبة لـ F ؛ بل هي خطية على الحقل الأولي Z / pZ في F. لذلك ، يمكن كتابة المصفوفة، لكنها لا تمثل دالة خطية بالمعنى المباشر.

تفسير علم التماثل الحزمي هو كالتالي: يعمل تطبيق القوة p على

H ¹ ( C , O _C ),

أو بعبارة أخرى، التماثل الأول لـ C بمعاملات في حزمة بنيتها . يُطلق على هذا الآن اسم مؤثر كارتييه-مانين (أو أحيانًا مؤثر كارتييه فقط )، نسبةً إلى بيير كارتييه ويوري مانين . ويرتبط هذا المؤثر بتعريف هاس-ويت من خلال ازدواجية سير ، التي تربط، بالنسبة لمنحنى ما، تلك المجموعة بـ

H ⁰ ( C , Ω _C )

حيث Ω _C = Ω ¹ _C هي حزمة تفاضلات كاهلر على C.

رتبة p لمتنوعة أبيلية A على حقل K ذي خاصية p هي العدد الصحيح k الذي عنده تحتوي نواة A [ p ] لعملية الضرب في p ^{على pk} نقطة . يمكن أن تأخذ أي قيمة من 0 إلى d ، وهو بُعد A ؛ في المقابل، لأي عدد أولي آخر l، يوجد l²d ^نقطة في A [ l ]. سبب انخفاض رتبة p هو أن الضرب في p على A هو تماثل غير قابل للفصل : التفاضل هو p الذي يساوي 0 في K. بالنظر إلى النواة كمخطط زمرة، ^يمكن الحصول على بنية أكثر اكتمالًا (انظر: David Mumford Abelian Varieties ، الصفحات 146-147)؛ ولكن إذا نظرنا، على سبيل المثال، إلى اختزال معادلة قسمة modulo p ، فلا بد أن ينخفض ​​عدد الحلول. 

وبالتالي، فإن رتبة مؤثر كارتييه-مانين، أو مصفوفة هاس-ويت، تُعطي حدًا أعلى لرتبة p . ورتبة p هي رتبة مؤثر فروبينيوس المركب مع نفسه g مرة. في الورقة الأصلية لهاس وويت، صِيغت المسألة بعبارات جوهرية في C ، دون الاعتماد على J. وتتمثل المسألة في تصنيف امتدادات آرتين-شراير الممكنة لحقل الدالة F ( C ) (المماثل في هذه الحالة لنظرية كومر ).

حُسِبَت حالة المنحنيات الإهليلجية بواسطة هاس عام ١٩٣٤. بما أن الجنس يساوي ١، فإن الاحتمالات الوحيدة للمصفوفة H هي: إما أن تكون H صفرًا، وثابت هاس يساوي صفرًا، ورتبتها p تساوي صفرًا، وهي الحالة الفائقة التفرد ؛ أو أن تكون H غير صفرية، وثابت هاس يساوي ١، ورتبتها p تساوي ١، وهي الحالة العادية . ^{[ ١ ]} توجد هنا صيغة تطابق تنص على أن H متطابقة بتردد p مع عدد N من النقاط على C فوق F ، على الأقل عندما q = p . وبسبب نظرية هاس حول المنحنيات الإهليلجية ، فإن معرفة N بتردد p تحدد N لـ p ≥ ٥. وقد دُرِسَ هذا الارتباط بدوال زيتا المحلية بتعمق.

بالنسبة لمنحنى مستوٍ مُعرَّف بواسطة دالة تكعيبية f ( X , Y , Z ) = 0، يكون ثابت هاس صفراً إذا وفقط إذا كان معامل ( XYZ ) ^{p −1} في f ^{p −1} يساوي صفراً. ^{[ 1 ]}

• هاس ، هيلموت (1934). " يوجد فصل zyklischer unverzweigter Erweiterungskörper vom Primzahlgrad püber elliptischen Funktionenkörpern der Charakteristik p ". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 172 : 77– 85. دوى : 10.1515/crll.1935.172.77 . جي اف ام 60.0910.02 . زبل 0010.14803 .  
• هاس، هيلموت؛ ويت، ارنست (1936). "Zyklische unverzweigte Erweiterungskörper vom Primzahlgrad püber einem algebraischen Funktionenkörper der Charakteristik p ". Monatshefte für الرياضيات والفيزياء . 43 : 477– 492. دوى : 10.1515/9783110835007.202 . جي اف ام 62.0112.01 . زبل 0013.34102 .  
• مانين، يو. آي. (1965). "مصفوفة هاس-ويت لمنحنى جبري". ترجمة، السلسلة 2، الجمعية الأمريكية للرياضيات . ترجمات الجمعية الأمريكية للرياضيات: السلسلة 2. 45 : 245-246 . doi : 10.1090/trans2/045/16 . ISBN 978-0-8218-1745-2. ISSN 0065-9290 . زبل 0148.28002 .  (ترجمة إنجليزية لنص روسي أصلي)