مصفوفة هيرميتية

مصفوفة مربعة${\displaystyle A}$تكون المصفوفة هيرميتية إذا وفقط إذا كانت تساوي منقولتها المرافقة ، أي لأي زوج من المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$، إنه يرضي $${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle =\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$$ أين${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$يرمز إلى عملية الضرب الداخلي القياسية في فضاء الإحداثيات المركبة ، وهو شكل هيرميتي مُعرَّف بواسطة${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\mathbf {w} }$⁠ .

وهذه هي أيضاً الطريقة التي يتم بها تعريف المفهوم الأكثر عمومية للمؤثر الذاتي المرافق .

أن${\displaystyle n\times n}$مصفوفة${\displaystyle A}$يكون هيرميتيًا إذا وفقط إذا $${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad {\text{for all }}\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}.}$$

تكون المصفوفة المربعة هيرميتية إذا وفقط إذا كانت قابلة للتقطير الوحدوي بقيم ذاتية حقيقية .

تكون العناصر الموجودة على القطر الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) لأي مصفوفة هيرميتية حقيقية .

العناصر القطرية الرئيسية فقط هي بالضرورة حقيقية؛ يمكن أن تحتوي المصفوفة الهرميتية على عناصر ذات قيم مركبة عشوائية كعناصر غير قطرية ، طالما أن عناصرها المقابلة قطريًا هي عناصر مركبة مترافقة.

تكون المصفوفة الهرميتية متناظرة إذا وفقط إذا كانت عناصرها حقيقية فقط. والمصفوفة الحقيقية المتناظرة هي ببساطة حالة خاصة من المصفوفة الهرميتية.

كل مصفوفة هيرميتية${\displaystyle A}$هي مصفوفة عادية ؛ أي ،${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A}$⁠ .

تنص نظرية الطيف ذات الأبعاد المحدودة على أن أي${\displaystyle n\times n}$مصفوفة هيرميتية​${\displaystyle A}$يمكن تحويل المصفوفة إلى مصفوفة قطرية باستخدام مصفوفة وحدوية ، وأن المصفوفة القطرية الناتجة تحتوي فقط على عناصر حقيقية. أي:

• جميع القيم الذاتية لـ${\displaystyle A}$حقيقية ؛ ^{[ أ ]}
• ⁠${\displaystyle A}$لديه​​${\displaystyle n}$المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا ؛
• ⁠${\displaystyle A}$يحتوي على متجهات ذاتية متعامدة لقيم ذاتية مميزة ؛
• حتى لو${\displaystyle A}$إذا كانت للمصفوفة قيم ذاتية متدهورة (*)، فمن الممكن دائمًا إيجاد أساس متعامد لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$يتكون من${\displaystyle n}$المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle A}$⁠ ;
• عندئذٍ، من الممكن دائمًا تطبيع هذه المتجهات الذاتية.

(*) القيمة الذاتية المنحلة هي قيمة ذاتية لها أكثر من متجه ذاتي واحد.

مجموع أي مصفوفتين هيرميتيتين هو مصفوفة هيرميتية.

إن معكوس المصفوفة الهرميتية القابلة للعكس هو مصفوفة هرميتية أيضاً.

ناتج ضرب مصفوفتين هيرميتيتين${\displaystyle A}$و​​${\displaystyle B}$يكون هيرميتيًا إذا وفقط إذا${\displaystyle AB=BA}$⁠ .

النتيجة: إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$إذا كان هيرميتيًا، فإنه لأي عدد صحيح${\displaystyle k\geq 0}$،​${\displaystyle A^{k}}$هو هيرميتي.

إذا كانت مصفوفتان${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانوا من أتباع هيرميت، فإنهم كذلك.${\displaystyle ABA}$وهو أيضاً من أتباع هيرميت.

إذا كانت المصفوفة${\displaystyle A}$إذا كانت الدالة هيرميتية، فإنها تُعرّف شكلاً هيرميتياً (يُسمى أيضاً شكلاً متناظراً ثنائي الخطية )، وهي الدالة$${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\mapsto \mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} .}$$ وعلى العكس من ذلك، يمكن تمثيل كل شكل هيرميتي بواسطة مصفوفة هيرميتية ما .${\displaystyle A}$الصيغة الهرميتية هي دالة ذات قيم مركبة لمتجهين، خطية في أحدهما ومضادة للخطية في الآخر، بحيث يؤدي تبديل المتجهين إلى الحصول على المرافق المركب للنتيجة. أي، لأي متجهين${\displaystyle \mathbf {u} }$،​​${\displaystyle \mathbf {v} }$،​​${\displaystyle \mathbf {w} }$وأي كمية قياسية مركبة${\displaystyle c}$،​ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} +\mathbf {v} )^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} &=\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} +\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} ,&(c~\!\mathbf {u} )^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} &={\overline {c}}{\bigl (}\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} {\bigr )},\\[3pt]\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} ^{\mathbf {H}}\!A\mathbf {v} +\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {w} ,&\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A(c~\!\mathbf {v} )&=c{\bigl (}\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} {\bigr )},\\[1pt]\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} &={\overline {\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {u} }}.\end{محاذاة}}}$$

المنتج الداخلي القياسي${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\mathbf {u} ^{\mathsf {H}}\mathbf {v} }$في فضاء الإحداثيات المركبة ، يكون الشكل الهرميتي مرتبطًا بمصفوفة الوحدة .

لأي مصفوفة هيرميتية${\displaystyle A}$،​​${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} }$هو عدد حقيقي، لأن $${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} ={\overline {\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}\!A\mathbf {v} }}.}$$ وهذا الأمر مهم بشكل خاص في الفيزياء الكمومية، حيث أن المصفوفات الهرميتية هي عوامل تقيس خصائص النظام (مثل الدوران الكلي )، والتي يجب أن تكون حقيقية.

مجمع هيرميتيان${\displaystyle n{\times }n}$لا تُشكّل المصفوفات فضاءً متجهيًا على الأعداد المركبة ،${\displaystyle \mathbb {C} }$، لأن مصفوفة الوحدة${\displaystyle I_{n}}$هيرميتية، لكن${\displaystyle iI_{n}}$ليس كذلك. ومع ذلك، فإن المصفوفات الهرميتية المركبة تشكل فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية .${\displaystyle \mathbb {R} }$في​​${\displaystyle 2n^{2}\!}$فضاء متجهي ذو أبعاد - من الأعداد${\displaystyle n{\times }n}$المصفوفات على${\displaystyle \mathbb {R} }$تشكل المصفوفات الهرميتية المعقدة فضاءً جزئياً ذا بُعد${\displaystyle n^{2}}$⁠ .

في الواقع ،${\displaystyle E_{jk}}$يشير إلى${\displaystyle n{\times }n}$مصفوفة مع ⁠${\displaystyle 1}$في​​${\displaystyle j,k}$⁠ الموضع والأصفار في أي مكان آخر، يمكن وصف الأساس (المتعامد بالنسبة للجداء الداخلي لفروبينيوس ) على النحو التالي:$${\displaystyle E_{jj}{\text{ for }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})}$$ بالإضافة إلى مجموعة المصفوفات من الشكل $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ لـ }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ مصفوفات}}\right)}$$ ومجموعة المصفوفات من الشكل $${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ لـ }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ مصفوفات}}\right),}$$ أين${\displaystyle i}$يرمز إلى الوحدة التخيلية ( ⁠${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$) .

ومن الأمثلة على ذلك أن مصفوفات باولي الأربع تشكل أساسًا كاملاً للفضاء المتجهي لجميع الأعداد المركبة${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات الهرميتية على${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ .

لو${\displaystyle n}$المتجهات الذاتية المتعامدة${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$من مصفوفة هيرميتية${\displaystyle A}$يتم اختيارها وكتابتها كأعمدة لمصفوفة${\displaystyle U}$ثم تحليل واحد للقيم الذاتية لـ${\displaystyle A}$يكون $${\displaystyle A=U\varLambda \,U^{\mathsf {H}},}$$ أين${\displaystyle U}$هي مصفوفة وحدوية (أي، ⁠${\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U}$و​${\displaystyle \varLambda }$هي مصفوفة قطرية مع ⁠${\displaystyle A}$القيم الذاتية لـ ' sعلى${\displaystyle \varLambda }$قطري . لذلك، فإن التحلل الطيفي لـ${\displaystyle A}$ويمكن كتابتها أيضًا على النحو التالي :$${\displaystyle A=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}}}$$ ( حيث${\displaystyle \mathbf {u} _{j}}$هو​​${\displaystyle j}$العمود رقم - من${\displaystyle U}$) .

أخذ​${\displaystyle (j,k)}$-entry ينتج مباشرة $${\displaystyle A_{jk}=\sum _{\ell =1}^{n}\lambda _{\ell }U_{j\ell }{\overline {U_{k\ell }}}.}$$

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك ⁠${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفة العادية$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}.}$$⁠${\displaystyle A}$القيم الذاتية لـ 's هي${\displaystyle \lambda _{1}=3}$و​​${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$⁠ .

⁠${\displaystyle A}$المتجهات الذاتية المعيارية الممكنة لـ ' s المقابلة لهذه القيم الذاتية هي $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}-1\\{\phantom {-}}1\end{bmatrix}}.}$$

إذن​${\displaystyle A=U\varLambda \,U^{\mathsf {H}}}$، حيث $$\begin{bmatrix}{\frac{1}{\sqrt{2}}}&-{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\{\frac{1}{\sqrt{2}}}&{\phantom{-}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\end{bmatrix}},\quad \varLambda ={\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}},\quad U^{\mathsf{H}}=U^{-1}={\begin{bmatrix}{\phantom{-}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}&{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\-{\frac{1}{\sqrt{2}}}&{\frac{1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.}$$

يمكن كتابة هذا التفكيك أيضًا على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{align}A&=3\,\mathbf {u} _{1}\mathbf {u} _{1}^{\mathsf {H}}-1~\!\mathbf {u} _{2}\mathbf {u} _{2}^{\mathsf {H}}\\[2pt]&=3{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}-1\!{\begin{bmatrix} - {\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\phantom \begin{bmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}\\[3pt]&=3\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}-1\!\begin{bmatrix}{\phantom {-}}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\phantom {-}}{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

أخذ​${\displaystyle (1,1)}$على سبيل المثال، ينتج -entry بشكل مباشر$${\displaystyle A_{11}=3\,U_{11}{\overline {U_{11}}}-1~\!U_{12}{\overline {U_{12}}}=3\,\left|{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right|^{2}-1~\!\left|-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right|^{2}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}=1.}$$

القيم المفردة للمصفوفة العادية هي القيم المطلقة لقيمها الذاتية.

بما أن المصفوفة هيرميتية${\displaystyle A}$له تحليل القيم الذاتية${\displaystyle A=U\varLambda \,U^{\mathsf {H}}}$، حيث${\displaystyle U}$هي مصفوفة وحدوية (أعمدتها متجهات متعامدة - انظر أعلاه ، وصفوفها أيضًا متجهات متعامدة)، وهي عبارة عن تحليل للقيم المفردة لـ${\displaystyle A}$يكون $${\displaystyle A=U\,|\varLambda |\operatorname {sgn}(\!\varLambda )\,U^{\mathsf {H}},}$$ أين${\displaystyle |\varLambda |}$و${\displaystyle \operatorname {sgn}(\!\varLambda )}$هي مصفوفات قطرية تحتوي على القيم المطلقة على التوالي${\displaystyle |\lambda _{i}|}$واللافتات​${\displaystyle \operatorname {sgn}(\lambda _{i})}$من​${\displaystyle A}$القيم الذاتية للمصفوفة .${\displaystyle \operatorname {sgn}(\!\varLambda )\,U^{\mathsf {H}}}$هو نظام أحادي، لأن الصفوف (وليس الأعمدة) من${\displaystyle U^{\mathsf {H}}}$يتم ضربها فقط في${\displaystyle \pm 1}$المصفوفة​${\displaystyle |\varLambda |}$يحتوي على القيم المفردة لـ${\displaystyle A}$، أي القيم المطلقة لـ${\displaystyle A}$القيم الذاتية ( منذ${\displaystyle A}$( هذا طبيعي). ^{[ 8 ]}

محدد المصفوفة الهرميتية هو عدد حقيقي.