تقاطع غير متجانس

باستخدام معادلة شرودنجر لبئر محدودة بعرض ومركز عند 0، يمكن كتابة معادلة البئر الكمومية المحققة على النحو التالي: ${\displaystyle l_{w}}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{b}^{*}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi (z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+V\psi (z)=E\psi (z)\quad \quad {\text{ لـ }}z<-{\frac {l_{w}}{2}}\quad \quad (1)}$

${\displaystyle \quad \quad -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{w}^{*}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi (z)}{\mathrm {d} z^{2}}=E\psi (z)\quad \quad {\text{ لـ }}-{\frac {l_{w}}{2}}<z<+{\frac {l_{w}}{2}}\quad \quad (2)}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{b}^{*}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi (z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+V\psi (z)=E\psi (z)\quad {\text{ لـ }}z>+{\frac {l_{w}}{2}}\quad \quad (3)}$

الحلول للمعادلات أعلاه معروفة جيدًا، فقط مع k مختلفة (معدلة) و ^[16]${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m_{w}E}}{\hbar }}\quad \quad \kappa ={\frac {\sqrt {2m_{b}(VE)}}{\hbar }}\quad \quad (4)}$.

عند z = يمكن الحصول على حل التكافؤ الزوجي من ${\displaystyle +{\frac {l_{w}}{2}}}$

${\displaystyle A\cos({\frac {\kl_{w}}{2}})=B\exp(-{\frac {\kappa l_{w}}{2}})\quad \quad (5)}$.

من خلال أخذ المشتقة (5) وضرب كلا الطرفين في${\displaystyle {\frac {1}{m^{*}}}}$

${\displaystyle -{\frac {kA}{m_{w}^{*}}}\sin({\frac {kl_{w}}{2}})=-{\frac {\kappa B}{m_{b}^{*}}}\exp(-{\frac {\kappa l_{w}}{2}})\quad \quad (6)}$.

من خلال قسمة (6) على (5)، يمكن الحصول على دالة حل التكافؤ الزوجي،

${\displaystyle f(E)=-{\frac {k}{m_{w}^{*}}}\tan({\frac {kl_{w}}{2}})-{\frac {\kappa }{m_{b}^{*}}}=0\quad \quad (7)}$.

وبالمثل، بالنسبة لحل التكافؤ الفردي،

${\displaystyle f(E)=-{\frac {k}{m_{w}^{*}}}\cot({\frac {kl_{w}}{2}})+{\frac {\kappa }{m_{b}^{*}}}=0\quad \quad (8)}$.

بالنسبة للحل العددي ، فإن أخذ المشتقات لـ (7) و (8) يعطي

تكافؤ متساوي:

${\displaystyle {\frac {df}{dE}}={\frac {1}{m_{w}^{*}}}{\frac {dk}{dE}}\tan({\frac {kl_{ w}}{2}})+{\frac {k}{m_{w}^{*}}}\sec ^{2}({\frac {kl_{w}}{2}})\times { \frac {l_ {w}} {2}} {\ frac {dk} {dE}} - {\ frac {1} {m_ {b} ^ {*}}} {\ frac {d \ kappa } {dE }}\رباعية \رباعية (9-1)}$

تكافؤ فردي:

${\displaystyle {\frac {df}{dE}}={\frac {1}{m_{w}^{*}}}{\frac {dk}{dE}}\cot({\frac {kl_{ w}}{2}})-{\frac {k}{m_{w}^{*}}}\csc ^{2}({\frac {kl_{w}}{2}})\times { \frac {l_ {w}} {2}} {\ frac {dk} {dE}} + {\ frac {1} {m _ {b} ^ {*}}}} {\ frac {d \ kappa } {dE }}\رباعية \رباعية (9-2)}$

أين . ${\displaystyle {\frac {dk}{dE}}={\frac {\sqrt {2m_{w}^{*}}}{2{\sqrt {E}}\hbar }}\quad \quad \quad {\frac {d\kappa }{dE}}=-{\frac {\sqrt {2m_{b}^{*}}}{2{\sqrt {VE}}\hbar }}}$

يؤدي الفرق في الكتلة الفعالة بين المواد إلى فرق أكبر في طاقات الحالة الأرضية .