البئر الكمومي

لا يمكن أن توجد دوال الموجة للحل في منطقة الحاجز للبئر، نظرًا للجهد العالي جدًا. لذلك، بفرض الشروط الحدية التالية، نحصل على دوال الموجة المسموح بها.

${\displaystyle \psi (0)=\psi (d)=0.}$

تأخذ دوال الموجة للحل الشكل التالي:

${\displaystyle \psi _{n}(z)={\sqrt {\frac {2}{d}}}\sin(k_{n}z)\qquad k_{n}={\frac {n\pi }{d}}.}$

الرمز السفلي${\displaystyle n}$، (${\displaystyle n>0}$يرمز ) إلى العدد الكمي الصحيح و${\displaystyle k_{n}}$يمثل متجه الموجة المرتبط بكل حالة، كما هو موضح أعلاه. أما الطاقات المنفصلة المرتبطة بها فتُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}\left({\frac {n\pi }{d}}\right)^{2}.}$

يُوفّر نموذج البئر اللانهائي البسيط نقطة انطلاق جيدة لتحليل فيزياء أنظمة الآبار الكمومية وتأثيرات الحصر الكمومي. يتنبأ النموذج بدقة بأن الطاقات داخل البئر تتناسب عكسيًا مع مربع طول البئر. هذا يعني أن التحكم الدقيق في عرض طبقات أشباه الموصلات، أي طول البئر، سيُتيح التحكم الدقيق في مستويات الطاقة المسموح بها لحاملات الشحنة داخل الآبار. تُعدّ هذه خاصية بالغة الأهمية لهندسة فجوة النطاق . علاوة على ذلك، يُبيّن النموذج أن مستويات الطاقة تتناسب عكسيًا مع الكتلة الفعّالة. وبالتالي، ستكون للثقوب الثقيلة والثقوب الخفيفة حالات طاقة مختلفة عند حصرها في البئر. تنشأ الثقوب الثقيلة والخفيفة عندما تتطابق قمم نطاقات التكافؤ ذات الانحناءات المختلفة، مما ينتج عنه كتلتان فعّالتان مختلفتان. ^{[ 4 ]}

من عيوب نموذج البئر اللانهائي أنه يتنبأ بوجود حالات طاقة أكثر بكثير مما هو موجود فعليًا، نظرًا لأن جدران الآبار الكمومية الحقيقية محدودة. كما يتجاهل النموذج حقيقة أن الدوال الموجية في الواقع لا تتلاشى عند حدود البئر، بل تتسرب إلى داخل الجدار (بسبب النفق الكمومي) وتتلاشى أُسّيًا إلى الصفر. هذه الخاصية تسمح بتصميم وإنتاج الشبكات الفائقة وغيرها من أجهزة الآبار الكمومية المبتكرة، ويصفها نموذج البئر المحدود بشكل أفضل.

باستخدام شروط الحدود ذات الصلة وشرط أن تكون دالة الموجة متصلة عند حافة البئر، نحصل على حلول لمتجه الموجة${\displaystyle k}$التي تحقق المعادلات المتسامية التالية :

$\displaystyle \tan \left(\frac {k_{n}d}{2}}\right)=\frac {m_{\text{w}}^{*}\kappa }{m_{\text{b}}^{*}k_{n}}}\quad {\text{(زوجي)}}}$

و

$\displaystyle \tan \left(\frac {k_{n}d}{2}}\right)=-\frac {m_{\text{b}}^{*}k_{n}}{m_{\text{w}}^{*}\kappa }}\quad {\text{(odd)}},}$

أين${\displaystyle \kappa }$يمثل ثابت الاضمحلال الأسي في منطقة الحاجز، وهو مقياس لمدى سرعة اضمحلال الدالة الموجية إلى الصفر في منطقة الحاجز. وتعتمد حالات الطاقة الكمية داخل البئر على متجه الموجة والعدد الكمي (${\displaystyle n}$) يتم إعطاؤها بواسطة:

${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m_{\text{w}}^{*}}}.}$

ثابت الاضمحلال الأسي${\displaystyle \kappa }$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {2m_{\text{b}}^{*}(V_{0}-E_{n})}}{\hbar }}}$

يعتمد ذلك على الحالة الذاتية لحامل مقيد${\displaystyle E_{n}}$عمق البئر${\displaystyle V_{0}}$، والكتلة الفعالة للحامل داخل منطقة الحاجز،${\displaystyle m_{\text{b}}^{*}}$.

يمكن إيجاد حلول المعادلات المتسامية المذكورة أعلاه بسهولة باستخدام الطرق العددية أو البيانية. وعادةً ما يكون هناك عدد قليل من الحلول. ومع ذلك، سيكون هناك دائمًا حل واحد على الأقل، أي حالة مقيدة واحدة في البئر الكمومي، بغض النظر عن صغر الجهد. وكما هو الحال في البئر اللانهائي، فإن الدوال الموجية في البئر الكمومي تشبه الدوال الجيبية، لكنها تتلاشى أُسّيًا في حاجز البئر. وهذا يؤدي إلى تقليل حالات الطاقة المقيدة في البئر الكمومي مقارنةً بالبئر اللانهائي. ^{[ 4 ]}

في الخلايا الشمسية الكهروضوئية التقليدية أحادية الوصلة، تكون الطاقة المولدة ناتجة عن حاصل ضرب التيار الضوئي والجهد عبر الصمام الثنائي. ^{[ 17 ]} ولأن أشباه الموصلات لا تمتص إلا الفوتونات ذات الطاقات الأعلى من فجوة نطاقها، فإن المواد ذات فجوة النطاق الأصغر تمتص جزءًا أكبر من طيف الإشعاع الشمسي، مما ينتج عنه تيار أكبر. أعلى جهد دائرة مفتوحة يمكن تحقيقه هو فجوة النطاق الداخلية للمادة. ^{[ 17 ]} ولأن فجوة نطاق شبه الموصل تحدد كلاً من التيار والجهد، فإن تصميم الخلية الشمسية يمثل دائمًا مفاضلة بين زيادة إنتاج التيار إلى أقصى حد مع فجوة نطاق منخفضة، وزيادة إنتاج الجهد إلى أقصى حد مع فجوة نطاق عالية. ^{[ 18 ]} وقد حُدد الحد النظري الأقصى لكفاءة الخلايا الشمسية التقليدية بنسبة 31% فقط، بينما تحقق أفضل أجهزة السيليكون حدًا مثاليًا يبلغ 25%. ^{[ 17 ]}

مع إدخال الآبار الكمومية، ارتفع حد كفاءة أجهزة السيليكون أحادية الوصلة ذات الآبار الكمومية المشدودة إلى 28.3%. ^{[ 17 ]} ويعود هذا الارتفاع إلى أن فجوة الطاقة لمادة الحاجز هي التي تحدد الجهد الداخلي، بينما أصبحت فجوة الطاقة للآبار الكمومية هي التي تحدد حد الامتصاص. ^{[ 17 ]} وقد أظهرت تجارب مجموعة بارنهام على الثنائيات الضوئية ذات وصلة p-i-n أن وضع الآبار الكمومية في المنطقة المستنفدة يزيد من كفاءة الجهاز. ^{[ 19 ]} ويستنتج الباحثون أن الزيادة الناتجة تشير إلى أن توليد حاملات جديدة وتيار ضوئي جديد، نتيجةً لإدراج طاقات أقل في طيف الامتصاص، يفوق الانخفاض في جهد الطرف الناتج عن إعادة تركيب الحاملات المحصورة في الآبار الكمومية. وقد خلصت دراسات لاحقة إلى أن زيادة التيار الضوئي مرتبطة ارتباطًا مباشرًا بانزياح طيف الامتصاص نحو الأحمر. ^{[ 19 ]}

في الوقت الحاضر، تُعدّ الخلايا الشمسية متعددة الوصلات من النوع III/V الأكثر كفاءةً بين الخلايا الشمسية غير المعتمدة على الآبار الكمومية، حيث تُسجّل كفاءة قصوى تبلغ 46% تحت تركيزات عالية من ضوء الشمس. تُصنع هذه الخلايا بتكديس وصلات PIN متعددة ذات فجوات طاقة مختلفة. ^{[ 9 ]} تزداد كفاءة الخلية الشمسية مع زيادة كمية الإشعاع الشمسي المُمتصّ عبر إضافة المزيد من الآبار الكمومية ذات فجوات الطاقة المختلفة. إلا أن العلاقة المباشرة بين فجوة الطاقة وثابت الشبكة تُعيق تطوير الخلايا الشمسية متعددة الوصلات. فمع نمو المزيد من الآبار الكمومية، تنمو المادة مصحوبةً بانخلاعات نتيجةً لاختلاف ثوابت الشبكة. تُقلّل هذه الانخلاعات من طول الانتشار وعمر حاملات الشحنة. ^{[ 9 ]} لذا، تُوفّر الآبار الكمومية نهجًا بديلًا للخلايا الشمسية متعددة الوصلات مع الحد الأدنى من الانخلاعات البلورية.

طاقة فجوة النطاق

يسعى الباحثون إلى استخدام الآبار الكمومية لإنماء مواد عالية الجودة بأقل قدر من التشوهات البلورية، وزيادة كفاءة امتصاص الضوء وجمع حاملات الشحنة، وذلك لتحقيق خلايا شمسية ذات كفاءة أعلى. وتساعد إمكانية ضبط فجوة النطاق الباحثين في تصميم خلاياهم الشمسية. ويمكننا تقدير فجوة النطاق الفعالة كدالة لطاقة فجوة النطاق للبئر الكمومي، والتغير في طاقة فجوة النطاق الناتج عن الإجهاد الفراغي: تأثير ستارك للحصر الكمومي (QCSE) وتأثير الحجم الكمومي (QSE). ^{[ 9 ]}

${\displaystyle E_{G,{\text{eff}}}=E_{G}^{\text{well,relaxed}}+\Delta E_{G}^{\text{strain}}+\Delta E_{G}^{\text{QSE}}+\Delta E_{G}^{\text{QCSE}}}$

يُحدث إجهاد المادة تأثيرين على طاقة فجوة النطاق. أولهما هو التغير في الطاقة النسبية لنطاقي التوصيل والتكافؤ. ويتأثر هذا التغير في الطاقة بالإجهاد.${\displaystyle \epsilon }$معاملات الصلابة المرنة،${\displaystyle C_{11}}$و${\displaystyle C_{12}}$، وإمكانية التشوه الهيدروستاتيكي،${\displaystyle a}$[ ^{9 ] [ 20 ]​}

${\displaystyle \Delta E=-2a\left({\frac {C_{11}-C_{12}}{C_{11}}}\right)\epsilon }$

ثانيًا، نتيجةً للإجهاد، يحدث انقسام في انحلال الثقوب الثقيلة والثقوب الخفيفة. في المواد المضغوطة بشدة، تنتقل الثقوب الثقيلة (hh) إلى حالة طاقة أعلى. وفي المواد المعرضة للشد، تنتقل الثقوب الخفيفة (lh) إلى حالة طاقة أعلى. ^{[ 9 ] [ 21 ]} يمكن حساب فرق الطاقة الناتج عن انقسام hh وlh من جهد تشوه القص.${\displaystyle b}$، أَضْنَى،${\displaystyle \epsilon }$ومعاملات الصلابة المرنة،${\displaystyle C_{11}}$و${\displaystyle C_{12}}$[ ^{21 ]​}

${\displaystyle \Delta E_{\text{hh}}=b\left({\frac {C_{11}+2C_{12}}{C_{11}}}\right)\epsilon }$

${\displaystyle \Delta E_{\text{lh}}=-b\left({\frac {C_{11}+2C_{12}}{C_{11}}}\right)\epsilon }$

يُحدث تأثير ستارك للحصر الكمومي انزياحًا في فجوة النطاق يعتمد على سمك البئر.${\displaystyle q}$هي الشحنة الأساسية؛${\displaystyle L_{\text{eff,CB}}}$و${\displaystyle L_{\text{eff,VB}}}$يمثلان العرض الفعال للآبار الكمومية في نطاق التوصيل ونطاق التكافؤ، على التوالي؛${\displaystyle F}$هو المجال الكهربائي المستحث الناتج عن الاستقطاب الكهروإجهادي والاستقطاب التلقائي؛ و${\displaystyle \hbar }$إذا كان ثابت بلانك المختزل، فإن إزاحة الطاقة هي: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \Delta E_{G}^{\text{QCSE}}=\left({\frac {15-\pi ^{2}}{24\pi ^{2}}}\right)\left({\frac {m_{e}^{*}L_{\text{eff,CB}}^{4}+m_{\text{h}}^{*}L_{\text{eff,VB}}^{4}}{\hbar ^{2}}}\right)qF^{2}}$

تأثير الحجم الكمومي (QSE) هو تجزئة الطاقة التي يتعرض لها حامل الشحنة نتيجةً للحصر عندما يكون نصف قطر بور الخاص به أكبر من حجم البئر الكمومي. ومع ازدياد سمك البئر الكمومي، يقل تأثير الحجم الكمومي. ويؤدي هذا الانخفاض في تأثير الحجم الكمومي إلى${\displaystyle n=1}$تتحرك الحالة لأسفل وتقلل من فجوة النطاق الفعالة. ^{[ 9 ]} يُستخدم نموذج كرونيغ-بيني لحساب الحالات الكمومية، ^{[ 22 ]} وتُطبق قاعدة أندرسون لتقدير إزاحات نطاق التوصيل ونطاق التكافؤ في الطاقة. ^{[ 23 ]}

في نطاق 1.1-1.3 إلكترون فولت، قارن  سيد وآخرون ^{[ 9 ]} الكفاءة الكمية الخارجية (EQE) لخلية فرعية من مادة InGaAs المتحولة على ركائز من الجرمانيوم، من إنتاج شركة Spectrolab [ ^{25 ] ،} بخلية _QWSC مكونة من 100 دورة ، من إنتاج فوجي _وآخرون [ ^{26 ]} . أظهرت المادة المتحولة قيم EQE أعلى من قيم الآبار الكمومية في نطاق 880-900 _{نانومتر} ، _بينما أظهرت الآبار الكمومية قيم EQE أعلى في نطاق 400-600 نانومتر. ^{[ 9 ] تشير هذه النتيجة إلى وجود صعوبة في توسيع عتبات امتصاص الآبار الكمومية إلى أطوال موجية أطول ،} وذلك بسبب مشاكل توازن الإجهاد ونقل الشحنات. ومع ذلك، فإن المادة الأساسية تحتوي على تشوهات أكثر مما يؤدي إلى انخفاض أعمار حاملات الشحنة الأقلية. ^{[ 9 ]}     

في نطاق 1.6-1.8 إلكترون فولت، قارن سيد ^{[ 9 ]}  بين بلورات AlGaAs المتوافقة شبكيًا، التي طورها هيكلمان وآخرون ^{[ 27 ]} ، وبلورات InGaAsP التي طورها جاين وآخرون ^{[ 28 ]} ، وبين بنية البئر الكمومي InGaAsP/InGaP المتوافقة شبكيًا، التي طورها سيد وآخرون ^{[ 29 ]} . وكما هو الحال في نطاق 1.1-1.3 إلكترون فولت، تكون كفاءة الكم الخارجية (EQE) للمادة الصلبة أعلى في منطقة الأطوال الموجية الأطول من الطيف، إلا أن الآبار الكمومية تتميز بقدرتها على امتصاص نطاق أوسع من الطيف. علاوة على ذلك، يمكن إنتاجها في درجات حرارة منخفضة، مما يمنع التدهور الحراري. ^{[ 9 ]} 

يُعدّ استخدام الآبار الكمومية في العديد من الأجهزة حلاً عملياً لزيادة كفاءة الطاقة فيها. ففي مجال الليزر، أدى هذا التحسين بالفعل إلى نتائج ملموسة، مثل مصابيح LED. ومع خلايا الآبار الكمومية الشمسية، أصبح استخلاص الطاقة من الشمس أكثر فعالية، لقدرتها على امتصاص كميات أكبر من الإشعاع الشمسي، واستخلاص هذه الطاقة من حاملات الشحنة بكفاءة أعلى. يوفر هذا الخيار العملي، مثل خلايا الآبار الكمومية الشمسية، للجمهور فرصةً للتحول من الطرق التي تُسبب انبعاثات غازات الاحتباس الحراري إلى بديل أكثر استدامة، ألا وهو الطاقة الشمسية.