عدد كبير للغاية

في نظرية الأعداد ، العدد الوفير للغاية هو عدد طبيعي له خاصية أن مجموع قواسمه (بما في ذلك نفسه) أكبر من مجموع قواسم أي عدد طبيعي أصغر.

قدّم بيلاي ( 1943 ) مفهوم الأعداد عالية الوفرة والعديد من فئات الأعداد المماثلة لأول مرة ، وقام ألاوغلو وإردوش ( 1944 ) بأعمال مبكرة في هذا المجال. قام ألاوغلو وإردوش بجدولة جميع الأعداد عالية الوفرة حتى 10⁴ ^، وأظهرا أن عدد الأعداد عالية الوفرة الأقل من أي قيمة N يتناسب على الأقل مع لوغاريتم ² N.  

بصورة رسمية، يُطلق على العدد الطبيعي n اسم العدد الوفير للغاية إذا وفقط إذا كان لجميع الأعداد الطبيعية m < n ،

${\displaystyle \sigma (n)>\sigma (m)}$

حيث σ ترمز إلى دالة مجموع القواسم . الأعداد القليلة الأولى ذات الوفرة العالية هي

1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 16 ، 18 ، 20 ، 24 ، 30 ، 36 ، 42 ، 48 ، 60 ، ... (التسلسل A002093 في OEIS ) .

على سبيل المثال، الرقم 5 ليس وفيرًا للغاية لأن σ(5) = 5+1 = 6 أصغر من σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7، بينما الرقم 8 وفير للغاية لأن σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 أكبر من جميع القيم السابقة لـ σ.

الأعداد الفردية الوحيدة ذات الوفرة العالية هي 1 و 3. ^{[ 1 ]}

على الرغم من أن العوامل الثمانية الأولى وفيرة للغاية، إلا أن العوامل الأخرى ليست وفيرة للغاية. على سبيل المثال،

σ (9!) = σ (362880) = 1481040،

لكن هناك عدد أصغر مجموع قواسمه أكبر،

σ (360360) = 1572480،

إذن، العدد 9! ليس شائعاً جداً.

لاحظ ألاوغلو وإردوش أن جميع الأعداد فائقة الوفرة هي أعداد وفيرة للغاية، وتساءلا عما إذا كان هناك عدد لا نهائي من الأعداد الوفيرة للغاية التي ليست فائقة الوفرة. وقد أجاب جان لويس نيكولا ( 1969 ) على هذا السؤال بالإيجاب . 

على الرغم من المصطلحات، ليست كل الأعداد عالية الوفرة أعدادًا وفيرة . على وجه الخصوص، لا يُعد أي من الأعداد السبعة الأولى عالية الوفرة (1، 2، 3، 4، 6، 8، و10) وفيرًا. إلى جانب العدد 16، وهو العدد التاسع عالي الوفرة، تُعد هذه الأعداد الوحيدة عالية الوفرة التي لا تُصنف ضمن الأعداد الوفيرة.

العدد 7200 هو أكبر عدد قوي وذو وفرة عالية: فجميع الأعداد الكبيرة ذات الوفرة العالية لها عامل أولي يقسمها مرة واحدة فقط. لذلك، فإن 7200 هو أيضًا أكبر عدد ذو وفرة عالية ومجموع قواسمه فردي. ^{[ 2 ]}

• ألا أوغلو، ل.؛ إردوش ، ب. (1944). "حول الأعداد المركبة والمتشابهة للغاية" (ملف PDF) . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 56 (3): 448-469 . doi : 10.2307/1990319 . JSTOR 1990319. MR 0011087 .  
• نيكولا، جان لويس (1969). "الترتيب الأقصى لعنصر المجموعة S _n des permutations و"الأرقام المركبة للغاية"" . Bull. Soc. Math. France . 97 : 129– 191. doi : 10.24033/bsmf.1676 . MR 0254130 . 
• بيلاي، إس إس (1943). "الأعداد الوفيرة للغاية". نشرة جمعية كلكتا الرياضية 35 : 141-156 . MR 0010560 .