عدد فائض

في الرياضيات ، العدد الفائض هو نوع من الأعداد الطبيعية . يُطلق على العدد الطبيعي n اسم العدد الفائض تحديدًا عندما يكون، لجميع قيم m < n :

${\displaystyle {\frac {\sigma (m)}{m}}<{\frac {\sigma (n)}{n}}}$

حيث يرمز σ إلى دالة مجموع القواسم (أي مجموع جميع القواسم الموجبة للعدد n ، بما في ذلك n نفسه). الأعداد القليلة الأولى ذات الوفرة الفائقة هي 1 ، 2 ، 4 ، 6 ، 12 ، 24 ، 36، 48 ، 60 ، 120 ، ... (المتتالية A004394 في OEIS ) . على سبيل المثال، العدد 5 ليس عددًا ذا وفرة فائقة، لأنه بالنسبة للأعداد 1 ، 2، 3، 4 ، و5، فإن مجموعها هو 1، 3، 4، 7، 6 ، وبالتالي فإن 7/4 > 6/5 .

عرّف ليونيداس ألاوغلو وبول إردوش ( 1944 ) الأعداد فائقة الوفرة . وبدون علم ألاوغلو وإردوش، حُذفت حوالي 30 صفحة من ورقة رامانوجان البحثية لعام 1915 بعنوان "الأعداد المركبة للغاية". نُشرت هذه الصفحات لاحقًا في مجلة رامانوجان 1 (1997)، الصفحات 119-153. في القسم 59 من تلك الورقة، يُعرّف رامانوجان الأعداد المركبة للغاية المعممة ، والتي تشمل الأعداد فائقة الوفرة. 

أثبت ليونيداس ألاوغلو وبول إردوش ( 1944 ) أنه إذا كان n عددًا فائق الوفرة، فإنه يوجد k و a1 _، a2 _، ... _، ak بحيث 

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}(p_{i})^{a_{i}}}$

حيث يمثل p _i العدد الأولي رقم i ، و

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \dotsb \geq a_{k}\geq 1.}$

أي أنهم أثبتوا أنه إذا كان n عددًا فائق الوفرة، فإن تحليل n إلى أعداد أولية له أسس غير متزايدة (أس العدد الأولي الأكبر لا يزيد أبدًا عن أس العدد الأولي الأصغر)، وأن جميع الأعداد الأولية حتى${\displaystyle p_{k}}$هي عوامل العدد n . عندئذٍ، على وجه الخصوص، يكون أي عدد زائد عددًا زوجيًا صحيحًا، وهو مضاعف للعدد الأولي رقم k .${\displaystyle p_{k}\#.}$

في الواقع، يكون الأس الأخير a _k مساوياً لـ 1 باستثناء عندما يكون n هو 4 أو 36.

ترتبط الأعداد فائقة الوفرة ارتباطًا وثيقًا بالأعداد المركبة للغاية . ليست كل الأعداد فائقة الوفرة أعدادًا مركبة للغاية. في الواقع، 449 عددًا فقط من الأعداد فائقة الوفرة والمركبة للغاية متطابقة (التسلسل A166981 في OEIS ) . على سبيل المثال، 7560 عدد مركب للغاية ولكنه ليس فائق الوفرة. في المقابل، 1163962800 عدد فائق الوفرة ولكنه ليس مركبًا للغاية.

لاحظ ألاوغلو وإردوش أن جميع الأعداد فائقة الوفرة هي أعداد وفيرة للغاية .

ليست كل الأعداد الزائدة أعداد هارشاد . الاستثناء الأول هو العدد الزائد رقم 105، وهو 149602080797769600. مجموع أرقامه 81، لكن 81 لا يقسم هذا العدد الزائد قسمة تامة.

تُعد الأعداد الفائقة أيضًا ذات أهمية فيما يتعلق بفرضية ريمان ، وبنظرية روبن التي تنص على أن فرضية ريمان تعادل العبارة التالية:

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{e^{\gamma }n\log \log n}}<1}$

بالنسبة لجميع قيم n الأكبر من أكبر استثناء معروف، فإن العدد الفائض هو 5040. إذا كان لهذا التباين مثال مضاد أكبر، مما يثبت خطأ فرضية ريمان، فإن أصغر مثال مضاد من هذا القبيل يجب أن يكون عددًا فائضًا ( أكبري وفريغستاد 2009 ) .

ليست كل الأعداد الوفيرة للغاية وفيرة بشكل هائل .

المعمم​${\displaystyle k}$الأعداد فائقة الوفرة هي تلك التي${\displaystyle {\frac {\sigma _{k}(m)}{m^{k}}}<{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{k}}}}$للجميع${\displaystyle m<n}$، أين${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$هو مجموع${\displaystyle k}$القوى النونية لقواسم${\displaystyle n}$.

الأعداد فائقة الوفرة من 1 إلى 0 هي أعداد فائقة الوفرة. أما الأعداد فائقة الوفرة من 0 إلى 0 فهي أعداد مركبة للغاية.

على سبيل المثال، الأعداد الفائقة الوفرة المعممة من النوع 2 هي 1، 2، 4، 6، 12، 24، 48، 60، 120، 240، ... (التسلسل A208767 في OEIS )

• بريجز، كيث (2006)، "الأعداد الوفيرة وفرضية ريمان" ، الرياضيات التجريبية ، 15 (2): 251-256 ، doi : 10.1080/10586458.2006.10128957 ، S2CID 46047029 .
• أكبري، أمير؛ فريغستاد، زاكاري (2009)، "الأعداد الوفيرة وفرضية ريمان"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 116 (3): 273-275 ، doi : 10.4169/193009709X470128.
• ألاوغلو، ليونيداس ؛ إردوش، بول (1944)، "حول الأعداد المركبة والمتشابهة للغاية"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 56 (3)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 448-469 ، doi : 10.2307/1990319 ، JSTOR 1990319 .

• عالم الرياضيات: عدد فائض