حاصل الضرب الموتري لفضاءات هيلبرت

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 79 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في التحليل الوظيفي ، يُعدّ الضرب الموتري لفضاءات هيلبرت طريقةً لتوسيع بناء الضرب الموتري بحيث يكون ناتج الضرب الموتري لفضاءين من فضاءات هيلبرت هو فضاء هيلبرت آخر. وبصورةٍ عامة، يُعتبر الضرب الموتري إكمالًا للفضاء المتري للضرب الموتري العادي. وهذا مثال على الضرب الموتري الطوبولوجي . يسمح الضرب الموتري بتجميع فضاءات هيلبرت في فئة أحادية متناظرة . [ 1 ]

تعريف

بما أن فضاءات هيلبرت تحتوي على جداءات داخلية ، فمن المرغوب فيه إدخال جداء داخلي، وبالتالي طوبولوجيا، على جداء الموتر الذي ينشأ بشكل طبيعي من الجداءات الداخلية على العوامل.ح1{\displaystyle H_{1}}وح2{\displaystyle H_{2}}لنفترض فضاءين هيلبرت مع جداءات داخلية⟨⋅،⋅⟩1{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}}و⟨⋅،⋅⟩2،{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2},}على التوالي. قم بإنشاء حاصل الضرب الموتري لـح1{\displaystyle H_{1}}وح2{\displaystyle H_{2}}كما هو موضح في مقالة جداءات الموترات ، يمكننا تحويل فضاء جداءات الموترات هذا إلى فضاء جداءات داخلي عن طريق تعريف

⟨ϕ1⊗ϕ2،ψ1⊗ψ2⟩=⟨ϕ1،ψ1⟩1⟨ϕ2،ψ2⟩2$

للجميعϕ1،ψ1∈ح1{\displaystyle \phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}}ϕ2،ψ2∈ح2{\displaystyle \phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}}والتمديد بالخطية. إن كون هذا المنتج الداخلي هو المنتج الطبيعي مبرر بتحديد الخرائط الثنائية الخطية ذات القيم العددية علىح1×ح2{\displaystyle H_{1}\times H_{2}}والدوال الخطية على حاصل ضربها الموتري في فضاء المتجهات. وأخيرًا، نأخذ الإكمال تحت هذا الضرب الداخلي. فضاء هيلبرت الناتج هو حاصل الضرب الموتري لـح1{\displaystyle H_{1}}وح2.{\displaystyle H_{2}.}

البناء الصريح

يمكن تعريف حاصل الضرب الموتري دون اللجوء إلى إكمال الفضاء المتري. إذاح1{\displaystyle H_{1}}وح2{\displaystyle H_{2}}هما فضاءان هيلبرت، أحدهما مرتبط بكل حاصل ضرب موتر بسيطx1⊗x2{\displaystyle x_{1}\otimes x_{2}}المشغل من الرتبة الأولىح1*{\displaystyle H_{1}^{*}}لح2{\displaystyle H_{2}}التي تحدد قيمة معينةx*∈ح1*{\displaystyle x^{*}\in H_{1}^{*}}مثل x*↦x*(x1)x2.{\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})\,x_{2}.}

ويمتد هذا إلى تحديد خطي بينح1⊗ح2{\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}ومساحة المؤثرات ذات الرتبة المحدودة منح1*{\displaystyle H_{1}^{*}}لح2.{\displaystyle H_{2}.}تُضمَّن المؤثرات ذات الرتبة المحدودة في فضاء هيلبرتحS(ح1*،ح2){\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}من مؤثرات هيلبرت-شميدت منح1*{\displaystyle H_{1}^{*}}لح2.{\displaystyle H_{2}.}الضرب القياسي فيحS(ح1*،ح2){\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2})}يُعطى بواسطة ⟨تي1،تي2⟩=∑ن⟨تي1هـن*،تي2هـن*⟩،{\displaystyle \langle T_{1},T_{2}\rangle =\sum _{n}\left\langle T_{1}e_{n}^{*},T_{2}e_{n}^{*}\right\rangle ,} أين(هـن*){\displaystyle \left(e_{n}^{*}\right)}هي أساس متعامد اعتباطي لـح1*.{\displaystyle H_{1}^{*}.}

في ضوء التعريف السابق، يمكن تعريف حاصل الضرب الموتري الهيلبرتي لـح1{\displaystyle H_{1}}وح2،{\displaystyle H_{2},}وهو متماثل قياسياً وخطياً معحS(ح1*،ح2).{\displaystyle HS(H_{1}^{*},H_{2}).}

الملكية العالمية

جداء موتر هيلبرتح1⊗ح2{\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}تتميز بالخاصية العالمية التالية ( كاديسون ورينغروز 1997 ، النظرية 2.6.4) :

نظرية — يوجد تطبيق هيلبرت-شميدت ضعيفص:ح1×ح2→ح1⊗ح2{\displaystyle p:H_{1}\times H_{2}\to H_{1}\otimes H_{2}}بحيث، بالنظر إلى أي تطبيق هيلبرت-شميدت ضعيفل:ح1×ح2→ك{\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}إلى فضاء هيلبرتك،{\displaystyle K,}يوجد عامل محدود فريدتي:ح1⊗ح2→ك{\displaystyle T:H_{1}\otimes H_{2}\to K}بحيثل=تيص.{\displaystyle L=Tp.}

خريطة هيلبرت-شميدت ضعيفةل:ح1×ح2→ك{\displaystyle L:H_{1}\times H_{2}\to K}يُعرَّف بأنه تطبيق ثنائي الخطية يكون فيه عدد حقيقيد{\displaystyle d}موجود، بحيث

∑أنا،ج=1∞|⟨ل(هـأنا،وج)،u⟩|2≤د2‖u‖2{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{\infty }{\big |}\langle L(e_{i},f_{j}),u\rangle {\big |}^{2}\leq d^{2}\|u\|^{2}}

للجميعu∈ك{\displaystyle u\in K}وقاعدة واحدة (وبالتالي جميعها) متعامدةهـ1،هـ2،...{\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }لح1{\displaystyle H_{1}}وو1،و2،...{\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }لح2{\displaystyle H_{2}}.

كما هو الحال مع أي خاصية عامة، فإن هذا يميز حاصل الضرب الموتريح{\displaystyle H}بشكل فريد، حتى التشاكل. تنطبق الخاصية العامة نفسها، مع تعديلات واضحة، على حاصل الضرب الموتري لأي عدد محدود من فضاءات هيلبرت. وهي في جوهرها الخاصية العامة نفسها التي تشترك فيها جميع تعريفات حاصل الضرب الموتري، بغض النظر عن الفضاءات التي يتم ضربها موتريًا: وهذا يعني أن أي فضاء له حاصل ضرب موتري هو فئة أحادية متناظرة ، وفضاءات هيلبرت هي مثال خاص على ذلك.

جداءات الموترات اللانهائية

تم اقتراح تعريفين مختلفين تاريخيًا لحاصل الضرب الموتري لمجموعة ذات حجم عشوائي{حن}ن∈شمال{\textstyle \{H_{n}\}_{n\in N}}من فضاءات هيلبرت.

يعتمد تعريف فون نيومان التقليدي ببساطة على الضرب الموتري "الواضح": لحساب⨂نحن{\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}، أولاً، اجمع كل الموترات البسيطة من الشكل⨂ن∈شمالهـن{\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}بحيث∏ن∈شمال‖هـن‖<∞{\textstyle \prod _{n\in N}{\|e_{n}\|}<\infty }يصف الأخير ضربًا داخليًا مسبقًا من خلال متطابقة الاستقطاب ، لذا خذ الفضاء المغلق لهذه الموترات البسيطة بتردد فضاءات التناظر لهذا الضرب الداخلي. هذا التعريف نادرًا ما يكون قابلاً للفصل، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن "معظم" الفضاء في التطبيقات الفيزيائية يصف حالات مستحيلة. يستخدم المؤلفون المعاصرون عادةً تعريفًا منسوبًا إلى غيشارديه: لحساب⨂نحن{\textstyle \bigotimes _{n}{H_{n}}}، أولاً حدد متجه وحدةvن∈حن{\textstyle v_{n}\in H_{n}}في كل فضاء هيلبرت، ثم اجمع كل الموترات البسيطة من الشكل⨂ن∈شمالهـن{\textstyle \bigotimes _{n\in N}{e_{n}}}، حيث يوجد عدد محدود فقطهـن{\textstyle e_{n}}ليستvن{\textstyle v_{n}}ثم خذل2{\displaystyle L^{2}}استكمال هذه الموترات البسيطة. [ 2 ] [ 3 ]

جبر المؤثرات

يتركأأنا{\displaystyle {\mathfrak {A}}_{i}}لتكن جبر فون نيومان للمؤثرات المحدودة علىحأنا{\displaystyle H_{i}}لأنا=1،2.{\displaystyle i=1,2.}إذن، فإن جداء فون نيومان الموتري لجبر فون نيومان هو الإكمال القوي لمجموعة جميع التراكيب الخطية المنتهية للجداءات الموترية البسيطةأ1⊗أ2{\displaystyle A_{1}\otimes A_{2}}أينأأنا∈أأنا{\displaystyle A_{i}\in {\mathfrak {A}}_{i}}لأنا=1،2.{\displaystyle i=1,2.}هذا يساوي تمامًا جبر فون نيومان للمؤثرات المحدودة لـح1⊗ح2.{\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}على عكس فضاءات هيلبرت، يمكن أخذ جداءات موترية لانهائية لجبر فون نيومان، وكذلك جبر C* للمؤثرات، دون تحديد حالات مرجعية. [ 3 ] هذه إحدى مزايا الطريقة "الجبرية" في ميكانيكا الإحصاء الكمومي.

ملكيات

لوح1{\displaystyle H_{1}}وح2{\displaystyle H_{2}}لها قواعد متعامدة{ϕك}{\displaystyle \left\{\phi _{k}\right\}}و{ψل}،{\displaystyle \left\{\psi _{l}\right\},}على التوالي، ثم{ϕك⊗ψل}{\displaystyle \left\{\phi _{k}\otimes \psi _{l}\right\}}هو أساس متعامد لـح1⊗ح2.{\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}.}على وجه الخصوص، فإن بُعد هيلبرت لحاصل الضرب الموتري هو حاصل ضرب أبعاد هيلبرت (كأعداد أصلية ).

أمثلة وتطبيقات

توضح الأمثلة التالية كيف تنشأ نواتج الضرب الموتري بشكل طبيعي.

بفرض وجود فضاءين قياسيينX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}، مع تدابيرμ{\displaystyle \mu }وν{\displaystyle \nu }على التوالي، يمكن للمرء أن ينظر إلىل2(X×Y)،{\displaystyle L^{2}(X\times Y),}فضاء الدوال علىX×Y{\displaystyle X\times Y}التي يمكن تكاملها تربيعيًا بالنسبة لمقياس المنتجμ×ν.{\displaystyle \mu \times \nu .}لوو{\displaystyle f}هي دالة قابلة للتكامل التربيعي علىX،{\displaystyle X,}وز{\displaystyle g}هي دالة قابلة للتكامل التربيعي علىY،{\displaystyle Y,}عندها يمكننا تعريف دالةح{\displaystyle h}علىX×Y{\displaystyle X\times Y}بواسطةح(x،y)=و(x)ز(y).{\displaystyle h(x,y)=f(x)g(y).}يضمن تعريف مقياس المنتج أن جميع الدوال من هذا الشكل قابلة للتكامل التربيعي، لذا فإن هذا يُعرّف تطبيقًا ثنائي الخطيةل2(X)×ل2(Y)→ل2(X×Y).{\displaystyle L^{2}(X)\times L^{2}(Y)\to L^{2}(X\times Y).}تركيبات خطية من الدوال على الشكلو(x)ز(y){\displaystyle f(x)g(y)}وهي أيضًا فيل2(X×Y).{\displaystyle L^{2}(X\times Y).}اتضح أن مجموعة التراكيب الخطية كثيفة في الواقع فيل2(X×Y)،{\displaystyle L^{2}(X\times Y),}لول2(X){\displaystyle L^{2}(X)}ول2(Y){\displaystyle L^{2}(Y)}قابلة للفصل. [ 4 ] وهذا يدل على أنل2(X)⊗ل2(Y){\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}متماثل مع​ل2(X×Y)،{\displaystyle L^{2}(X\times Y),}ويشرح ذلك أيضًا سبب حاجتنا إلى أخذ الإكمال في بناء منتج موتر فضاء هيلبرت.

وبالمثل، يمكننا أن نبين أنل2(X؛ح){\displaystyle L^{2}(X;H)}، مما يدل على فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعيX→ح،{\displaystyle X\to H,}متماثل معل2(X)⊗ح{\displaystyle L^{2}(X)\otimes H}إذا كان هذا الفضاء قابلاً للفصل. خرائط التشاكلو(x)⊗ϕ∈ل2(X)⊗ح{\displaystyle f(x)\otimes \phi \in L^{2}(X)\otimes H}لو(x)ϕ∈ل2(X؛ح).{\displaystyle f(x)\phi \in L^{2}(X;H).}يمكننا دمج هذا مع المثال السابق ونستنتج أنل2(X)⊗ل2(Y){\displaystyle L^{2}(X)\otimes L^{2}(Y)}ول2(X×Y){\displaystyle L^{2}(X\times Y)}كلاهما متماثلان لـل2(X؛ل2(Y)).{\displaystyle L^{2}\left(X;L^{2}(Y)\right).}

تظهر جداءات الموتر لفضاءات هيلبرت بشكل متكرر في ميكانيكا الكم . إذا تم وصف جسيم ما بواسطة فضاء هيلبرتح1،{\displaystyle H_{1},}ويتم وصف جسيم آخر بواسطةح2،{\displaystyle H_{2},}عندئذٍ، يُوصف النظام المكون من كلا الجسيمين بالضرب الموتري لـح1{\displaystyle H_{1}}وح2.{\displaystyle H_{2}.}على سبيل المثال، فضاء الحالة للمذبذب التوافقي الكمومي هول2(R)،{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ),}إذن، فضاء الحالة لمذبذبين هول2(R)⊗ل2(R)،{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\otimes L^{2}(\mathbb {R} ),}وهو متماثل معل2(R2).{\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} ^{2}\right).}لذلك، يتم وصف نظام الجسيمين بواسطة دوال موجية من الشكل التالي:ψ(x1،x2).{\displaystyle \psi \left(x_{1},x_{2}\right).}ويُقدم مثال أكثر تعقيدًا من خلال فضاءات فوك ، التي تصف عددًا متغيرًا من الجسيمات.

ملحوظات

مراجع