بديهيات هيلبرت

1. لكل نقطتين A و B، يوجد خط مستقيم a يمر بهما معًا. نكتب AB = a أو BA = a . بدلًا من "يمر بهما"، يمكننا استخدام صيغ أخرى؛ على سبيل المثال، نقول " A تقع على a "، أو " A نقطة من a "، أو " a يمر بـ A و B "، أو " a يصل A بـ B "، إلخ. إذا كانت A تقع على a وفي الوقت نفسه على خط مستقيم آخر b ، نستخدم أيضًا العبارة: "الخطان a و b يشتركان في النقطة A "، إلخ.

   لكل نقطتين لا يوجد أكثر من خط واحد يمر بهما معًا؛ وبالتالي، إذا كان AB = a و AC = a ، حيث B ≠ C ، فإن BC = a أيضًا .

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{1})&\quad \forall A\,\forall B\,(A\neq B\rightarrow \exists l\ (A\in l\wedge B\in l))\\[4pt]\end{aligned}}}$

2. يوجد على الأقل نقطتان على خط مستقيم.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{2})&\quad \forall l\,\exists A\,\exists B\,(A\neq B\wedge A\in l\wedge B\in l)\\[4pt]\end{aligned}}}$

3. توجد ثلاث نقاط على الأقل لا تقع على نفس الخط.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{3})&\quad \exists A\,\exists B\,\exists C\ \neg \exists l\,(A\in l\wedge B\in l\wedge C\in l)\\[4pt]\end{aligned}}}$

4. لكل ثلاث نقاط A و B و C لا تقع على خط مستقيم واحد، يوجد مستوى واحد فقط α يحتويها جميعًا. ولكل مستوى توجد نقطة تقع عليه. نكتب ABC = α . ونستخدم أيضًا العبارات التالية: " A و B و C تقع في α "؛ " A و B و C نقاط من α "، إلخ.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{4})&\quad \forall A\,\forall B\,\forall C\,[\neg \exists l\,(A\in l\wedge B\in l\wedge C\in l)\rightarrow \exists$ !\pi \,(A\in \pi \wedge B\in \pi \wedge C\in \pi )]\\[4pt]\end{aligned}}}

5. يحتوي كل مستوى على ثلاث نقاط A و B و C لا تقع على نفس الخط.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{5})&\quad \forall \pi \,\exists A\,\exists B\,\exists C\,(A\in \pi \wedge B\in \pi \wedge C\in \pi \wedge \neg \exists l\,(A\in l\wedge B\in l\wedge C\in l))\\[4pt]\end{aligned}}}$

6. إذا كانت نقطتان A و B على خط مستقيم a تقعان في مستوى α ، فإن كل نقطة من a تقع في α . في هذه الحالة نقول: "يقع الخط المستقيم a في المستوى α "، وهكذا.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{6})&\quad \forall A\,\forall B\,\forall l\,\forall \pi \,[(A\neq B\wedge A\in l\wedge B\in l\wedge A\in \pi \wedge B\in \pi )\rightarrow l\in \pi ]\\[4pt]\end{aligned}}}$

7. إذا كان للمستويين α و β نقطة مشتركة A ، فإنهما يشتركان على الأقل في نقطة ثانية B.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{7})&\quad \forall \pi \,\forall \rho \,{\bigl (}\pi \neq \rho \wedge \exists P\,(P\in \pi \wedge P\in \rho )\rightarrow \exists l\,\forall P\,(P\in l\leftrightarrow (P\in \pi \wedge P\in \rho )){\bigr )}\\[4pt]\end{aligned}}}$

8. توجد أربع نقاط على الأقل لا تقع في مستوى واحد.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{8})&\quad \exists A\,\exists B\,\exists C\,\exists D\ \neg \exists \pi \,(A\in \pi \wedge B\in \pi \wedge C\in \pi \wedge D\in \pi )\end{aligned}}}$

1. إذا كانت النقطة B تقع بين النقطتين A و C ، فإن B تقع أيضًا بين C و A ، ويوجد خط يحتوي على النقاط المختلفة A و B و C.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(B_{1})&\quad \forall A\,\forall B\,\forall C\,(A*B*C\rightarrow (C*B*A\wedge A\neq B\wedge B\neq C\wedge A\neq C\wedge \exists l\,(A\in l\wedge B\in l\wedge C\in l)))\\[4pt]\end{aligned}}}$

2. إذا كانت A و C نقطتين، فإنه يوجد على الأقل نقطة واحدة ^B على الخط AC بحيث تقع C بين A و B. ^{[ 6} ]

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(B_{2})&\quad \forall A\,\forall C\,(A\neq C\rightarrow \exists B\,(A*C*B))\\[4pt]\end{aligned}}}$

3. من بين أي ثلاث نقاط تقع على خط مستقيم، لا توجد أكثر من نقطة واحدة تقع بين النقطتين الأخريين. ^{[ 7 ]}

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(B_{3})&\quad \forall A,B,C\,({\text{exactly one of }}A*B*C,B*C*A,C*A*B)\end{aligned}}}$

4. بديهية باش : لتكن A و B و C ثلاث نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد، وليكن a خطًا مستقيمًا يقع في المستوى ABC ولا يمر بأي من النقاط A أو B أو C. عندئذٍ، إذا مر الخط a بنقطة من القطعة المستقيمة AB ، فإنه سيمر أيضًا إما بنقطة من القطعة المستقيمة BC أو بنقطة من القطعة المستقيمة AC .

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(B_{4})&\quad \forall A,B,C,l\,((A,B,C{\text{ non-collinear}})\wedge (l{\text{ intersects }}AB)\wedge \neg (l{\text{ passes through }}A,B,C))\\&\qquad \rightarrow (l{\text{ intersects }}AC\lor l{\text{ intersects }}BC))\end{aligned}}}$

1. إذا كانت A و B نقطتين على خط مستقيم a ، وإذا كانت A ′ نقطة على نفس الخط أو على خط آخر a ′، فإنه على أي ضلع من A ′ على الخط المستقيم a ′، يمكننا دائمًا إيجاد نقطة B ′ بحيث يكون القطعة المستقيمة AB مطابقة للقطعة المستقيمة A′B ′ . نشير إلى هذه العلاقة بكتابة AB ≅ A′B ′ . كل قطعة مستقيمة مطابقة لنفسها؛ أي أن AB ≅ AB دائمًا . يمكننا تلخيص البديهية السابقة بالقول إن كل قطعة مستقيمة يمكن وضعها على ضلع معين من نقطة معينة على خط مستقيم معين بطريقة واحدة على الأقل .

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{1})&\quad \forall A,B,A',B'\,\exists C'\,({\text{Ray}}(A',B',C')\wedge {\overline {AB}}\cong {\overline {A'C'}})\end{aligned}}}$

2. إذا كانت القطعة المستقيمة AB متطابقة مع القطعة المستقيمة A ′ B ′ وأيضًا مع القطعة المستقيمة A ″ B ″ ، فإن القطعة المستقيمة A ′ B ′ متطابقة مع القطعة المستقيمة A ″ B ″ ؛ أي، إذا كانت AB ≅ A ′ B ′ و AB ≅ A ″ B ″ ، فإن A ′ B ′ ≅ A ″ B ″ .

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{2})&\quad \forall A,B\,({\overline {AB}}\cong {\overline {AB}})\end{aligned}}}$(انعكاسي)

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{2})&\quad \forall A,B,C,D\,(({\overline {AB}}\cong {\overline {CD}})\rightarrow ({\overline {CD}}\cong {\overline {AB}}))\end{aligned}}}$(متماثل)

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{2})&\quad \forall A,B,C,D,E,F\,(({\overline {AB}}\cong {\overline {CD}}\wedge {\overline {CD}}\cong {\overline {EF}})\rightarrow ({\overline {AB}}\cong {\overline {EF}}))\end{aligned}}}$(فعل متعدٍ)

3. ليكن AB و BC قطعتين مستقيمتين من الخط a لا تشتركان في أي نقطة سوى النقطة B ، وليكن A′B ′ و B′C ′ قطعتين مستقيمتين من نفس الخط أو من خط آخر a ′ لا تشتركان في أي نقطة أخرى غير B ′ . إذا كان AB ≅ A′B ′ و BC ≅ B′C ′ ، فإن AC ≅ A′C ′ .

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{3})&\quad \forall A,B,C,A',B',C'\,(({\overline {AB}}\cong {\overline {A'B'}}\wedge {\overline {BC}}\cong {\overline {B'C'}})\rightarrow {\overline {AC}}\cong {\overline {A'C'}})\end{aligned}}}$

4. لنفترض أن لدينا زاوية ∠( h , k ) في المستوى α، ولنفترض أن لدينا خطًا مستقيمًا a ′ في المستوى α ′. ولنفترض أيضًا أنه في المستوى α ′، لدينا ضلع محدد للخط المستقيم a ′. ولنرمز بـ h ′ إلى شعاع من الخط المستقيم a ′ ينطلق من النقطة O ′ على هذا الخط. عندئذٍ، يوجد في المستوى α ′ شعاع واحد فقط k ′ بحيث تكون الزاوية ∠( h , k ) ، أو ∠( k , h ) ، متطابقة مع الزاوية ∠( h ′, k ′) ، وفي الوقت نفسه تقع جميع النقاط الداخلية للزاوية ∠( h ′, k ′) على الضلع المحدد من a ′. نعبر عن هذه العلاقة بالرمز ∠( h , k ) ≅ ∠( h ′, k ′) .

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{4})&\quad \forall A,B,C,A',B'\,\exists$ !\,C'\,(\angle ABC\cong \angle A'B'C')\end{aligned}}}

5. إذا كانت الزاوية ∠ ( h , k ) متطابقة مع الزاوية ∠ ( h ′, k ′) ومع الزاوية ∠ ( h ″, k ″) ، فإن الزاوية ∠ ( h ′, k ′) متطابقة مع الزاوية ∠ ( h ″, k ″) ؛ أي، إذا كانت ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) و ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″) ، فإن ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( h ″, k ″) .

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{5})&\quad \forall A,B,C\,(\angle ABC\cong \angle ABC)\end{aligned}}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{5})&\quad \forall A,B,C,D,E,F\,((\angle ABC\cong \angle DEF)\rightarrow (\angle DEF\cong \angle ABC))\end{aligned}}}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{5})&\quad \forall A,B,C,D,E,F,G,H,I\,((\angle ABC\cong \angle DEF\wedge \angle DEF\cong \angle GHI)\rightarrow \angle ABC\cong \angle GHI)\end{aligned}}}$

6. إذا تحققت التطابقات AB ≅ A ≅ B ≅ A ≅ C ≅ ∠ BAC ≅ ∠ B ≅ A ≅ C ≅ ∠ B ≅ A ≅ C ≅ ∠ ABC ≅ ∠ A ≅ B ≅ C ≅ ≅ A ≅ C ≅ B ... A ≅ C ≅ B ≅ A ≅ C ≅ B ≅ A ≅ C ≅ B ≅ A ≅ C ≅ B ≅ A ≅ C ≅ B ≅ A ≅

   ${\displaystyle {\begin{aligned}(C_{6})&\quad \forall A,B,C,A',B',C'\,(({\overline {AB}}\cong {\overline {A'B'}}\wedge {\overline {AC}}\cong {\overline {A'C'}}\wedge \angle BAC\cong \angle B'A'C')\rightarrow (\angle {ACB}\cong \angle {A'C'B'}))\end{aligned}}}$

1. بديهية إقليدس ^{[ 8 ]} ( بديهية بلايفير ): ليكن a أي خط مستقيم و A نقطة لا تقع عليه. عندئذٍ يوجد على الأكثر خط مستقيم واحد في المستوى، محدد بالنقطتين a و A ، يمر بالنقطة A ولا يتقاطع مع a .

${\displaystyle {\begin{aligned}(P)\quad \forall A\,\forall l\ {\bigl (}A\notin l\rightarrow \exists !m\ &(A\in m\wedge \neg \exists P\,(P\in l\wedge P\in m)){\bigr )}.\end{aligned}}}$

1. بديهية أرخميدس : إذا كان AB و CD أي قطعتين مستقيمتين ، فإنه يوجد عدد n بحيث أن n قطعة مستقيمة CD تم إنشاؤها بشكل متجاور من A ، على طول الشعاع من A عبر B ، ستمر بما بعد النقطة B.
2. بديهية اكتمال الخط : من المستحيل امتداد (خط ممتد من خط موجود بالفعل، ويستخدم عادة في الهندسة) مجموعة من النقاط على خط مع ترتيبها وعلاقات التطابق الخاصة بها والتي من شأنها الحفاظ على العلاقات الموجودة بين العناصر الأصلية بالإضافة إلى الخصائص الأساسية لترتيب الخط وتطابقه التي تتبع من البديهيات من الأول إلى الثالث ومن الخامس إلى الأول.

${\displaystyle {\begin{aligned}(Ct)\quad &\forall l\ \forall X\subseteq \{P:P\in l\}\ \forall Y\subseteq \{P:P\in l\}\ {\Bigl [}\,X\neq \varnothing \wedge Y\neq \varnothing \wedge X\cup Y=\{P:P\in l\}\\&\qquad \wedge X\cap Y=\varnothing \wedge (\forall x\in X\ \forall y\in Y\ \neg \exists z\,[(z\in X\wedge x*y*z)\vee (z\in Y\wedge y*x*z)])\\&\qquad \longrightarrow \exists c\,(c\in l\wedge \forall x\in X\ \forall y\in Y\ (x*c*y\vee x=c\vee y=c))\,{\Bigr ]}\end{aligned}}}$