ملكية أرخميدس

للحقول المرتبة بعض الخصائص الإضافية:

• الأعداد النسبية مضمنة في أي حقل مرتب. أي أن أي حقل مرتب له خاصية صفر.
• لو${\displaystyle x}$إذا كانت متناهية الصغر، فإن${\displaystyle 1/x}$إذا كان الحقل لانهائيًا، والعكس صحيح. لذلك، للتحقق من أن الحقل أرخميدسي، يكفي التحقق من عدم وجود عناصر متناهية الصغر، أو التحقق من عدم وجود عناصر لانهائية.
• لو${\displaystyle x}$متناهية الصغر و${\displaystyle r}$إذا كان عددًا نسبيًا، فإن${\displaystyle rx}$وهو أيضًا متناهي الصغر. ونتيجة لذلك، بالنظر إلى عنصر عام${\displaystyle c}$الأرقام الثلاثة${\displaystyle c/2}$،${\displaystyle c}$، و${\displaystyle 2c}$إما أن تكون جميعها متناهية الصغر أو جميعها غير متناهية الصغر.

في هذا السياق، يكون الحقل المرتب K أرخميدسيًا تحديدًا عندما تتحقق العبارة التالية، والتي تسمى بديهية أرخميدس :

يترك${\displaystyle x}$أن يكون أي عنصر من${\displaystyle K}$إذن يوجد عدد طبيعي${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle n>x}$.

أو يمكن استخدام التوصيف التالي: $${\displaystyle \forall \,\varepsilon \in K{\big (}\varepsilon >0\implies \exists \ n\in N:1/n<\varepsilon {\big )}.}$$

يقبل حقل الأعداد النسبية دوال القيمة المطلقة المختلفة، بما في ذلك الدالة التافهة${\displaystyle |x|=1}$، متى${\displaystyle x\neq 0}$الأكثر شيوعًا${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$و${\displaystyle p}$دوال القيمة المطلقة في الأعداد النسبية . وفقًا لنظرية أوستروفسكي ، فإن كل قيمة مطلقة غير تافهة في الأعداد النسبية تعادل إما القيمة المطلقة المعتادة أو قيمة مطلقة أخرى.${\displaystyle p}$القيمة المطلقة p-adic. الحقل الكسري غير مكتمل بالنسبة للقيم المطلقة غير التافهة؛ أما بالنسبة للقيمة المطلقة التافهة، فإن الحقل الكسري هو فضاء طوبولوجي منفصل، وبالتالي فهو مكتمل. الإكمال بالنسبة للقيمة المطلقة المعتادة (من الترتيب) هو حقل الأعداد الحقيقية. وفقًا لهذا البناء، فإن حقل الأعداد الحقيقية أرخميدسي كحقل مرتب وكحقل معياري. ^{[ 5 ]} من ناحية أخرى، فإن الإكمالات بالنسبة للقيم المطلقة غير التافهة الأخرى تعطي حقول الأعداد p-adic ، حيث${\displaystyle p}$هو عدد صحيح أولي (انظر أدناه)؛ لأن${\displaystyle p}$إذا كانت القيم المطلقة -adic تحقق الخاصية فوق المترية ، فإن${\displaystyle p}$الحقول العددية -adic هي حقول غير أرخميدية كحقول معيارية (لا يمكن تحويلها إلى حقول مرتبة).

في النظرية البديهية للأعداد الحقيقية ، يُستدل على عدم وجود أعداد حقيقية متناهية الصغر غير صفرية من خاصية الحد الأعلى الأدنى كما يلي: نرمز بـ${\displaystyle Z}$المجموعة التي تتكون من جميع الكميات المتناهية الصغر الموجبة. هذه المجموعة محدودة من الأعلى بـ${\displaystyle 1}$والآن، لنفترض جدلاً أن${\displaystyle Z}$إذا كانت غير فارغة، فإن لها حدًا أعلى أدنى .${\displaystyle c}$وهذا أمر إيجابي أيضاً، لذا${\displaystyle c/2<c<2c}$بما أن c حد أعلى لـ${\displaystyle Z}$و${\displaystyle 2c}$أكبر من${\displaystyle c}$،${\displaystyle 2c}$ليس عددًا متناهيًا في الصغر موجبًا. أي أن هناك عددًا طبيعيًا ما${\displaystyle n}$والتي${\displaystyle 1/n<2c}$. على الجانب الآخر،${\displaystyle c/2}$هو كمية متناهية الصغر موجبة، لأنه بحسب تعريف الحد الأعلى الأدنى، يجب أن تكون هناك كمية متناهية الصغر.${\displaystyle x}$بين${\displaystyle c/2}$و${\displaystyle c}$وإذا${\displaystyle 1/k<c/2\leq x}$ثم${\displaystyle x}$ليست متناهية الصغر. لكن${\displaystyle 1/(4n)<c/2}$، لذا${\displaystyle c/2}$ليست متناهية الصغر، وهذا تناقض. هذا يعني أن${\displaystyle Z}$إنها فارغة في النهاية: لا توجد أعداد حقيقية موجبة ومتناهية الصغر.

تنطبق خاصية أرخميدس للأعداد الحقيقية أيضًا في التحليل البنائي ، على الرغم من أن خاصية الحد الأعلى الأدنى قد تفشل في هذا السياق.

كمثال على حقل مرتب ليس أرخميديًا، لنأخذ حقل الدوال الكسرية ذات المعاملات الحقيقية. (الدالة الكسرية هي أي دالة يمكن التعبير عنها كقسمة كثيرة حدود على أخرى؛ وسنفترض فيما يلي أن هذا قد تم بطريقة يكون فيها المعامل الرئيسي للمقام موجبًا). لجعل هذا الحقل مرتبًا، يجب تعيين ترتيب متوافق مع عمليتي الجمع والضرب. الآن${\displaystyle f>g}$إذا وفقط إذا${\displaystyle fg>0}$لذا، يكفي أن نحدد الدوال الكسرية التي تُعتبر موجبة. تُسمى الدالة موجبة إذا كان المعامل الرئيسي للبسط موجبًا. (يجب التحقق من أن هذا الترتيب مُعرَّف جيدًا ومتوافق مع عمليتي الجمع والضرب). وفقًا لهذا التعريف، فإن الدالة الكسرية${\displaystyle 1/x}$موجبة ولكنها أقل من الدالة الكسرية${\displaystyle 1}$في الواقع، إذا${\displaystyle n}$إذا كان أي عدد طبيعي، فإن${\displaystyle n(1/x)=n/x}$إيجابي ولكنه لا يزال أقل من${\displaystyle 1}$بغض النظر عن حجمها${\displaystyle n}$هو. لذلك،${\displaystyle 1/x}$هو متناهي الصغر في هذا المجال.

يمكن تعميم هذا المثال على معاملات أخرى. يؤدي استخدام الدوال الكسرية بمعاملات كسرية بدلاً من معاملات حقيقية إلى حقل مرتب غير أرخميدسي قابل للعد. ويمكن اعتبار المعاملات دوالًا كسرية في متغير مختلف، على سبيل المثال${\displaystyle y}$، ينتج مثالاً بنوع طلب مختلف .

لا يمتلك حقل الأعداد النسبية المزود بالمقياس p-adic وحقول الأعداد p-adic التي تمثل الإكمالات، خاصية أرخميدس كحقول ذات قيم مطلقة. جميع الحقول ذات القيم الأرخميدية متماثلة قياسياً مع حقل فرعي من الأعداد المركبة ذي قوة للقيمة المطلقة المعتادة. ^{[ 6 ]}

كل حقل مرتب خطيًا${\displaystyle K}$يحتوي على (نسخة متماثلة من) الأعداد النسبية كحقل فرعي مرتب، أي الحقل الفرعي الناتج عن الوحدة الضربية${\displaystyle 1}$ل${\displaystyle K}$والتي بدورها تحتوي على الأعداد الصحيحة كمجموعة فرعية مرتبة، والتي تحتوي على الأعداد الطبيعية كمجموعة أحادية مرتبة . وبالتالي، فإن تضمين الأعداد النسبية يوفر طريقة للتحدث عن الأعداد النسبية والأعداد الصحيحة والأعداد الطبيعية في${\displaystyle K}$فيما يلي توصيفات مكافئة للحقول الأرخميدية من حيث هذه البنى الفرعية. ^{[ 7 ]}

1. الأعداد الطبيعية متساوية في النهاية${\displaystyle K}$أي أن كل عنصر من عناصر${\displaystyle K}$أقل من عدد طبيعي معين. (لا ينطبق هذا في حالة وجود عدد لا نهائي من العناصر). وبالتالي، فإن حقل أرخميدس هو حقل تتزايد أعداده الطبيعية بلا حدود.
2. الصفر هو الحد الأدنى في${\displaystyle K}$من المجموعة${\displaystyle \{1/2,1/3,1/4,\dots \}}$. (لو${\displaystyle K}$إذا احتوى على قيمة موجبة متناهية الصغر، فسيكون ذلك حدًا أدنى للمجموعة، وبالتالي لن يكون الصفر هو الحد الأدنى الأكبر.
3. مجموعة عناصر${\displaystyle K}$المجموعة بين الأعداد النسبية الموجبة والسالبة غير مفتوحة. وذلك لأن المجموعة تتكون من جميع الأعداد المتناهية الصغر، وهي ببساطة المجموعة${\displaystyle \{0\}}$عندما لا توجد أعداد متناهية الصغر غير صفرية، وإلا فإن المجموعة مفتوحة، إذ لا يوجد عدد متناهي الصغر غير صفري أصغر ولا أكبر. لاحظ أنه في كلتا الحالتين، تكون مجموعة الأعداد المتناهية الصغر مغلقة. في الحالة الأخيرة، (أ) كل عدد متناهي الصغر أصغر من كل عدد نسبي موجب، (ب) لا يوجد عدد متناهي الصغر أكبر ولا عدد نسبي موجب أصغر، (ج) لا يوجد شيء بينهما. بالتالي، فإن أي حقل مرتب غير أرخميدسي يكون ناقصًا ومنفصلًا.
4. لأي${\displaystyle x}$في${\displaystyle K}$مجموعة الأعداد الصحيحة الأكبر من${\displaystyle x}$يحتوي على أصغر عنصر. (إذا${\displaystyle x}$لو كانت كمية سالبة لا نهائية، لكان كل عدد صحيح أكبر منها.
5. كل فترة مفتوحة غير فارغة من${\displaystyle K}$يحتوي على سبب منطقي. (إذا${\displaystyle x}$هي كمية متناهية الصغر موجبة، الفترة المفتوحة${\displaystyle (x,2x)}$يحتوي على عدد لا نهائي من الكميات المتناهية الصغر ولكن ليس عددًا نسبيًا واحدًا.)
6. العقلانيون كثيفون في${\displaystyle K}$فيما يتعلق بكل من الحد الأعلى والحد الأدنى. (أي كل عنصر من عناصر${\displaystyle K}$(هو الحد الأعلى لمجموعة من الأعداد النسبية، والحد الأدنى لمجموعة أخرى من الأعداد النسبية.) وبالتالي فإن حقل أرخميدس هو أي امتداد منظم كثيف للأعداد النسبية، بمعنى أي حقل منظم يحتوي على عناصره النسبية بشكل كثيف.