نظرية هيلبرت 90

في الجبر المجرد ، تُعدّ نظرية هيلبرت 90 (أو ساتز 90 ) نتيجةً مهمةً حول الامتدادات الدورية للحقول (أو أحد تعميماتها) التي تُفضي إلى نظرية كومر . في أبسط صورها، تنصّ على أنه إذا كان L / K امتدادًا للحقول مع زمرة غالوا دورية G = Gal( L / K ) مُولّدة بواسطة عنصر  ${\displaystyle \sigma ,}$وإذا${\displaystyle a}$هو عنصر من L ذو معيار نسبي 1، أي

${\displaystyle N(a):=a\,\sigma (a)\,\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1,}$

ثم يوجد${\displaystyle b}$في L بحيث

${\displaystyle a=b/\sigma (b).}$

تستمد النظرية اسمها من حقيقة أنها النظرية التسعون في كتاب ديفيد هيلبرت Zahlbericht ( هيلبرت 1897 ، 1998 ) ، على الرغم من أنها تعود في الأصل إلى كومر ( 1855 ، ص 213، 1861 ) .  

غالباً ما تُطلق هذه التسمية على نظرية أكثر عمومية تعود إلى إيمي نوثر ( 1933 )، والتي تنص على أنه إذا كان L / K امتدادًا محدودًا لغالوا للحقول مع مجموعة غالوا عشوائية G = Gal( L / K )، فإن مجموعة التماثل الأولى لـ G ، بمعاملات في المجموعة الضربية لـ L ، تكون تافهة:   

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

يترك${\displaystyle L/K}$ليكن الامتداد التربيعي${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$مجموعة غالوا دورية من الرتبة 2، ومولدها${\displaystyle \sigma }$الفعل عن طريق التصريف:

${\displaystyle \sigma :c+di\mapsto c-di.}$

عنصر${\displaystyle a=x+yi}$في${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$له معيار${\displaystyle a\sigma (a)=x^{2}+y^{2}}$وبالتالي، فإن العنصر ذو المعيار واحد يتوافق مع حل منطقي للمعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$أو بعبارة أخرى، نقطة ذات إحداثيات نسبية على دائرة الوحدة . وتنص نظرية هيلبرت رقم 90 على أنه يمكن كتابة كل عنصر من هذا النوع a ذي معيار واحد على النحو التالي:

${\displaystyle a={\frac {c-di}{c+di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i,}$

أين${\displaystyle b=c+di}$كما في خاتمة النظرية، و c و d عددان صحيحان. يمكن اعتبار هذا تمثيلاً منطقياً للنقاط النسبية على دائرة الوحدة. النقاط النسبية${\displaystyle (x,y)=(p/r,q/r)}$على دائرة الوحدة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$تتوافق مع الثلاثيات الفيثاغورية ، أي الثلاثيات${\displaystyle (p,q,r)}$من الأعداد الصحيحة التي تحقق${\displaystyle p^{2}+q^{2}=r^{2}}$.

يمكن صياغة النظرية بدلالة علم تماثل المجموعات : إذا كانت L ^× هي المجموعة الضربية لأي امتداد غالوا (ليس بالضرورة منتهيًا) L لحقل K مع مجموعة غالوا المناظرة G ، فإن

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

على وجه التحديد، فإن علم التماثل الجماعي هو علم التماثل للمركب الذي تكون سلاسله المشتركة من النوع i عبارة عن دوال اختيارية من مجموعات من عناصر المجموعة إلى مجموعة المعاملات الضربية.${\displaystyle C^{i}(G,L^{\times })=\{\phi :G^{i}\to L^{\times }\}}$، مع تروس تفاضلية${\displaystyle d^{i}:C^{i}\to C^{i+1}}$محددة في الأبعاد${\displaystyle i=0,1}$بواسطة:

${\displaystyle (d^{0}(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\quad {\text{ and }}\quad (d^{1}(\phi ))(\sigma ,\tau )\,=\,\phi (\sigma )\phi (\tau )^{\sigma }/\phi (\sigma \tau ),}$

أين${\displaystyle x^{g}}$يشير إلى صورة${\displaystyle G}$عنصر الوحدة${\displaystyle x}$تحت تأثير عنصر المجموعة${\displaystyle g\in G}$لاحظ أنه في أول هذه الحالات، حددنا سلسلة فرعية من 0-${\displaystyle \gamma =\gamma _{b}:G^{0}=id_{G}\to L^{\times }}$، بقيمتها الفريدة في الصورة${\displaystyle b\in L^{\times }}$وبالتالي، فإن تفاهة مجموعة التماثل الأولى تُكافئ الدورات المتماثلة من الرتبة 1${\displaystyle Z^{1}}$مساوياً للحدود المشتركة 1${\displaystyle B^{1}}$، أي:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Z^{1}&=&\ker d^{1}&=&\{\phi \in C^{1}{\text{ satisfying }}\,\,\forall \sigma ,\tau \in G\,\colon \,\,\phi (\sigma \tau )=\phi (\sigma )\,\phi (\tau )^{\sigma }\}\\{\text{ is equal to }}\\B^{1}&=&{\text{im }}d^{0}&=&\{\phi \in C^{1}\ \,\colon \,\,\exists \,b\in L^{\times }{\text{ such that }}\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }\ \ \forall \sigma \in G\}.\end{array}}}$

بالنسبة للدوري${\displaystyle G=\{1,\sigma ,\ldots ,\sigma ^{n-1}\}}$يتم تحديد دورة أحادية بواسطة${\displaystyle \phi (\sigma )=a\in L^{\times }}$، مع${\displaystyle \phi (\sigma ^{i})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{i-1}(a)}$و:

${\displaystyle 1=\phi (1)=\phi (\sigma ^{n})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=N(a).}$

من ناحية أخرى، يتم تحديد الحدود المشتركة من الدرجة 1 بواسطة${\displaystyle \phi (\sigma )=b/b^{\sigma }}$. بمساواة هذه تعطينا النسخة الأصلية من النظرية.

تعميم آخر هو علم التماثل مع معاملات غير تبديلية : إذا كانت H إما المجموعة الخطية العامة أو الخاصة على L ، بما في ذلك${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(L)=L^{\times }}$، ثم

${\displaystyle H^{1}(G,H)=\{1\}.}$

تعميم آخر هو للمخطط X :

${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(X,\mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X),}$

أين${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$هي مجموعة فئات التشاكل للحزم الحرة محليًا من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$وحدات من الرتبة 1 لطوبولوجيا زاريسكي ، و${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$^{[ 1 ]} الحزمة المعرفة بواسطة الخط الأفيني بدون الأصل تعتبر كمجموعة تحت الضرب.

هناك تعميم آخر لنظرية ميلنور K يلعب دورًا في برهان فويفودسكي على حدسية ميلنور .

يترك${\displaystyle L/K}$أن تكون دورية من الدرجة${\displaystyle n,}$و${\displaystyle \sigma }$يولد${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$اختر أيًا منها${\displaystyle a\in L}$من المعتاد

${\displaystyle N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.}$

عن طريق إزالة المقامات ، حل${\displaystyle a=x/\sigma ^{-1}(x)\in L}$وهو ما يعادل إظهار أن${\displaystyle a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\to L}$لديه${\displaystyle 1}$كقيمة ذاتية. نوسع هذا ليشمل خريطة من${\displaystyle L}$- فضاءات المتجهات عبر

${\displaystyle {\begin{cases}1_{L}\otimes a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\otimes _{K}L\to L\otimes _{K}L\\\ell \otimes \ell '\mapsto \ell \otimes a\sigma ^{-1}(\ell ').\end{cases}}}$

تنص نظرية العنصر الأولي على${\displaystyle L=K(\alpha )}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \alpha }$. منذ${\displaystyle \alpha }$له متعدد حدود أدنى

${\displaystyle f(t)=(t-\alpha )(t-\sigma (\alpha ))\cdots \left(t-\sigma ^{n-1}(\alpha )\right)\in K[t],}$

يمكننا تحديد

${\displaystyle L\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\to }}L\otimes _{K}K[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L^{n}}$

عبر

${\displaystyle \ell \otimes p(\alpha )\mapsto \ell \left(p(\alpha ),p(\sigma \alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha )\right).}$

هنا كتبنا العامل الثاني على النحو التالي:${\displaystyle K}$- متعدد الحدود في${\displaystyle \alpha }$.

بموجب هذا التعريف، تصبح خريطتنا

${\displaystyle {\begin{cases}a\sigma ^{-1}(\cdot ):L^{n}\to L^{n}\\\ell \left(p(\alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha ))\mapsto \ell (ap(\sigma ^{n-1}\alpha ),\sigma ap(\alpha ),\ldots ,\sigma ^{n-1}ap(\sigma ^{n-2}\alpha )\right).\end{cases}}}$

أي تحت هذه الخريطة

${\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\mapsto (a\ell _{n},\sigma a\ell _{1},\ldots ,\sigma ^{n-1}a\ell _{n-1}).}$

${\displaystyle (1,\sigma a,\sigma a\sigma ^{2}a,\ldots ,\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a)}$هو متجه ذاتي ذو قيمة ذاتية${\displaystyle 1}$إذا${\displaystyle a}$له معيار${\displaystyle 1}$.

• هيلبرت ، ديفيد (1897)، “Die Theorie der algebraischen Zahlkörper” ، Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (في المانيا)، 4 : 175–546 ، ISSN 0012-0456 
• هيلبرت، ديفيد (1998)، نظرية حقول الأعداد الجبرية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-62779-1MR 1646901​ 
• كومر، إرنست إدوارد (1855)، “Über eine besondere Art، aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik (بالألمانية)، 50 : 212–232 ، دوى : 10.1515/crll.1855.50.212 ، ISSN 0075-4102 
• Kummer، Ernst Eduard (1861)، "Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen، deren Grad eine Primzahl ist" ، Abruck aus den Abhandlungen der KGL. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (بالألمانية)، أعيد طبعه في المجلد الأول من أعماله المجمعة، الصفحات 699-839
• الفصل الثاني من كتاب جيه إس ميلن، نظرية الحقول الطبقية ، متاح على موقعه الإلكتروني.
• الأماكن القريبة : شميدت، الكسندر. وينجبيرج ، كاي (2000)، علم التجانس لحقول الأرقام ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften ، المجلد.  323، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-3-540-66671-4، MR 1737196 ، Zbl 0948.11001  
• نويثر، إيمي (1933)، “Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.” ، Mathematische Annalen (بالألمانية)، 108 (1): 411–419 ، دوى : 10.1007 / BF01452845 ، ISSN 0025-5831 ، Zbl 0007.29501  
• سنايث، فيكتور ب. (1994)، بنية وحدة غالوا ، سلسلة دراسات معهد فيلدز، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 0-8218-0264-X، Zbl 0830.11042