نظرية ميلنور كي

بعد تعريف مجموعة غروتينديك${\displaystyle K(R)}$بالنسبة لحلقة تبديلية ، كان من المتوقع وجود سلسلة من الثوابت${\displaystyle K_{i}(R)}$تُسمى مجموعات نظرية K العليا ، وذلك لوجود متتالية تامة قصيرة

${\displaystyle K(R,I)\to K(R)\to K(R/I)\to 0}$

والتي ينبغي أن يكون لها امتداد بواسطة متتالية تامة طويلة . لاحظ أن المجموعة على اليسار هي نظرية K النسبية. أدى هذا إلى الكثير من الدراسات، وكتخمين أولي لما قد تبدو عليه هذه النظرية، قدم ميلنور تعريفًا للحقول. يستند تعريفه إلى حسابين لما "ينبغي" أن تبدو عليه نظرية K العليا بالدرجات.${\displaystyle 1}$و${\displaystyle 2}$ثم، إذا تم تقديم تعميم لاحق لنظرية K الجبرية ، إذا كانت مولدات${\displaystyle K_{*}(R)}$عاش بدرجة${\displaystyle 1}$والعلاقات من حيث الدرجة${\displaystyle 2}$ثم الإنشاءات بالدرجات${\displaystyle 1}$و${\displaystyle 2}$سيُعطي ذلك بنية بقية حلقة نظرية K. وبناءً على هذا الافتراض، قدّم ميلنور تعريفه "المخصص". واتضح أن نظرية K الجبرية${\displaystyle K_{*}(R)}$بشكل عام، لها بنية أكثر تعقيدًا، ولكن بالنسبة للحقول، فإن مجموعات نظرية ميلنور K موجودة في مجموعات نظرية K الجبرية العامة بعد ضربها بالموتر مع${\displaystyle \mathbb {Q} }$، أي${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\otimes \mathbb {Q} \subseteq K_{n}(F)\otimes \mathbb {Q} }$[ ^{3 ]} اتضح أن الخريطة ^{الطبيعية}${\displaystyle \lambda :K_{4}^{M}(F)\to K_{4}(F)}$يفشل في أن يكون حقنيًا لحقل عالمي${\displaystyle F}$^{[ 3 ] صفحة 96}.

ملاحظة: بالنسبة للحقول، يمكن حساب مجموعة غروتينديك بسهولة على النحو التالي${\displaystyle K_{0}(F)=\mathbb {Z} }$بما أن الوحدات المولدة نهائيًا هي فضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة فقط . كذلك، يعتمد تعريف ميلنور للمجموعات K العليا على التشاكل الكنسي.

${\displaystyle l\colon K_{1}(F)\to F^{*}}$

( مجموعة الوحدات من${\displaystyle F}$) ومراقبة حساب K ₂ للمجال بواسطة هيديا ماتسوموتو ، والذي قدم العرض البسيط

${\displaystyle K_{2}(F)={\frac {F^{*}\otimes F^{*}}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

لمثالي ثنائي الجوانب ناتج عن عناصر${\displaystyle l(a)\otimes l(a-1)}$تُعرف هذه العلاقات باسم علاقات شتاينبرغ . وقد افترض ميلنور أن هذه هي العلاقات الوحيدة، ومن ثمّ قدّم التعريف "المخصص" التالي لنظرية ميلنور K على النحو التالي:

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)={\frac {K_{1}(F)\otimes \cdots \otimes K_{1}(F)}{\{l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}):a_{i}+a_{i+1}=1\}}}.}$

إن المجموع المباشر لهذه المجموعات متماثل مع جبر الموترات على الأعداد الصحيحة للمجموعة الضربية${\displaystyle K_{1}(F)\cong F^{*}}$تم تعديلها بواسطة النموذج المثالي ذي الجانبين الناتج عن:

${\displaystyle \left\{l(a)\otimes l(1-a):0,1\neq a\in F\right\}}$

لذا

${\displaystyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }K_{n}^{M}(F)\cong {\frac {T^{*}(K_{1}^{M}(F))}{\{l(a)\otimes l(1-a):a\neq 0,1\}}}}$

إن إظهار تعريفه هو امتداد مباشر لعلاقات شتاينبرغ.

الوحدة الدراسية المصنفة${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$هي حلقة تبديلية متدرجة ^{[ 1 ] صفحة 1-3} . ^{[ 4 ]} إذا كتبنا

${\displaystyle (l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))}$

مثل

${\displaystyle l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})}$

ثم لـ${\displaystyle \xi \in K_{i}^{M}(F)}$و${\displaystyle \eta \in K_{j}^{M}(F)}$لدينا

${\displaystyle \xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .}$

من إثبات هذه الخاصية، تظهر بعض الخصائص الإضافية، مثل$${\displaystyle l(a)^{2}=l(a)l(-1)}$$ل${\displaystyle l(a)\in K_{1}(F)}$منذ${\displaystyle l(a)l(-a)=0}$أيضًا، إذا${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}}$عدد عناصر الحقول غير الصفرية يساوي${\displaystyle 0,1}$، ثم$${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0}$$هناك تطبيق حسابي مباشر:${\displaystyle -1\in F}$يكون مجموع المربعات إذا وفقط إذا كان كل بُعد موجب${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$هي عديمة القوة، وهو بيان قوي حول بنية مجموعات ميلنور K. على وجه الخصوص، بالنسبة للحقول${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$،${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(i)}$مع${\displaystyle {\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}}$جميع مجموعات ميلنور K الخاصة بها عديمة القوة. في الحالة المعاكسة، يكون المجال${\displaystyle F}$يمكن تضمينها في حقل مغلق حقيقي ، مما يعطي ترتيبًا كليًا على الحقل.

إحدى الخصائص الأساسية التي تربط نظرية ميلنور K بنظرية K الجبرية العليا هي وجود تماثلات طبيعية$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$إلى مجموعات تشاو العليا لبلوخ التي تحفز تشاكل الحلقات المتدرجة$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$يمكن التحقق من ذلك باستخدام تشاكل صريح ^{[ 2 ] صفحة 181}$${\displaystyle \phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)}$$أين$${\displaystyle \phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{in}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{for}}~a,1-a\in F^{*}}$$هذه الخريطة مقدمة من$${\displaystyle {\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}}$$ل${\displaystyle [a]}$فئة النقطة${\displaystyle [a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}}$مع${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$الخاصية الرئيسية التي يجب التحقق منها هي أن${\displaystyle [a]+[1/a]=0}$ل${\displaystyle a\in F^{*}-\{1\}}$و${\displaystyle [a]+[b]=[ab]}$لاحظ أن هذا يختلف عن${\displaystyle [a]\cdot [b]}$بما أن هذا عنصر في${\displaystyle {\text{CH}}^{2}(F,2)}$كذلك، فإن الخاصية الثانية تستلزم الخاصية الأولى بالنسبة لـ${\displaystyle b=1/a}$يمكن إجراء هذا الفحص باستخدام منحنى منطقي يحدد دورة في${\displaystyle C^{1}(F,2)}$صورته تحت خريطة الحدود${\displaystyle \partial }$هو المجموع${\displaystyle [a]+[b]-[ab]}$ل${\displaystyle ab\neq 1}$مما يدل على اختلافهما عند حد فاصل. وبالمثل، إذا${\displaystyle ab=1}$ترسل خريطة الحدود هذه الدورة إلى${\displaystyle [a]-[1/a]}$مما يدل على اختلافهما عند حدود معينة. أما الخاصية الرئيسية الثانية التي يجب إثباتها فهي علاقات شتاينبرغ. مع هذه العلاقات، وحقيقة أن مجموعات تشاو العليا لها بنية حلقية، يتضح أن علاقات شتاينبرغ وعلاقات تشاو العليا لها بنية حلقية.$${\displaystyle {\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)}$$نحصل على خريطة صريحة$${\displaystyle K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)}$$إن عرض الخريطة في الاتجاه المعاكس هو تماثل يتطلب جهدًا أكبر، لكننا نحصل على التماثلات.$${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)}$$يمكننا بعد ذلك ربط مجموعات تشاو العليا بنظرية K الجبرية العليا باستخدام حقيقة وجود التشاكلات$${\displaystyle K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q} }$$مع توضيح العلاقة بنظرية كويلين الجبرية العليا K. لاحظ أن الخرائط

${\displaystyle K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)}$

من مجموعات ميلنور K لحقل ما إلى مجموعات كويلين K، وهو تماثل لـ${\displaystyle n\leq 2}$لكن ليس بالنسبة لقيم n الأكبر ، بشكل عام. بالنسبة للعناصر غير الصفرية${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$في F ، الرمز${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$في${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$يعني صورة${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$في جبر الموترات. يمكن كتابة كل عنصر من عناصر نظرية ميلنور K كمجموع محدود من الرموز. حقيقة أن${\displaystyle \{a,1-a\}=0}$في${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$ل${\displaystyle a\in F\setminus \{0,1\}}$يُطلق عليها أحيانًا اسم علاقة شتاينبرغ .

في علم التماثل التحفيزي ، وتحديداً نظرية التماثل التحفيزي ، توجد حزمة${\displaystyle K_{n,A}}$يمثل تعميمًا لنظرية ميلنور K بمعاملات في مجموعة أبيلية${\displaystyle A}$إذا رمزنا${\displaystyle A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A}$ثم نحدد الحزمة${\displaystyle K_{n,A}}$باعتبارها عملية تحويل الحزمة السابقة التالية ^{[ 5 ] صفحة 4}$${\displaystyle K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)}$$لاحظ أن أجزاء من هذه الحزمة المسبقة هي فئات مكافئة من الدورات على${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{n}}$بمعاملات في${\displaystyle A}$وهي متساوية الأبعاد ومحدودة على${\displaystyle U}$(وهذا يتبع مباشرة من تعريف${\displaystyle \mathbb {Z} _{tr}(X)}$يمكن إثبات وجود${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-تكافؤ ضعيف مع حزم إيلنبرغ-ماكلين الموتيفية${\displaystyle K(A,2n,n)}$(بحسب نظام التقييم المعتمد).

بالنسبة لحقل منتهٍ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$،${\displaystyle K_{1}^{M}(F)}$هي مجموعة دورية من الرتبة${\displaystyle q-1}$(لأنه متماثل مع${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{*}}$)، لذا فإن خاصية التبادل المتدرج تعطي$${\displaystyle l(a)\cdot l(b)=-l(b)\cdot l(a)}$$لذلك$${\displaystyle l(a)^{2}=-l(a)^{2}}$$لأن${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$هي مجموعة منتهية ، وهذا يعني أنها يجب أن تكون مرتبة${\displaystyle \leq 2}$وبالنظر إلى ما هو أبعد من ذلك،${\displaystyle 1}$يمكن دائمًا التعبير عنها كمجموع عناصر غير متبقية تربيعية، أي عناصر${\displaystyle a,b\in F}$بحيث${\displaystyle [a],[b]\in F/F^{\times 2}}$لا تتساوى مع${\displaystyle 0}$، لذلك${\displaystyle a+b=1}$عرض${\displaystyle K_{2}^{M}(F)=0}$بما أن علاقات شتاينبرغ تولد جميع العلاقات في حلقة ميلنور لنظرية K، فإننا نحصل على${\displaystyle K_{n}^{M}(F)=0}$ل${\displaystyle n>2}$.

في مجال الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$يمكن حساب مجموعات نظرية ميلنور K بسهولة. من حيث الدرجة${\displaystyle n}$يتم إنشاء المجموعة بواسطة$${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {R} )=\{(-1)^{n},l(a_{1})\cdots l(a_{n}):a_{1},\ldots ,a_{n}>0\}}$$أين${\displaystyle (-1)^{n}}$يُعطي مجموعة من الترتيب${\displaystyle 2}$والمجموعة الفرعية الناتجة عن${\displaystyle l(a_{1})\cdots l(a_{n})}$قابلة للقسمة. المجموعة الفرعية المتولدة بواسطة${\displaystyle (-1)^{n}}$لا يقبل القسمة لأنه لو كان كذلك لأمكن التعبير عنه كمجموع مربعات. تُعد حلقة ميلنور لنظرية K مهمة في دراسة نظرية التماثل التحفيزي لأنها توفر مولدات لجزء من جبر ستينرود التحفيزي . ^{[ 6 ]} أما البقية فهي عمليات رفع من عمليات ستينرود الكلاسيكية إلى علم التماثل التحفيزي.

${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )}$هي مجموعة غير قابلة للعد وقابلة للقسمة بشكل فريد . ^{[ 7 ]} أيضًا،${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )}$هو المجموع المباشر لمجموعة دورية من الرتبة 2 ومجموعة غير قابلة للعد وقابلة للقسمة بشكل فريد؛${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})}$هو المجموع المباشر للمجموعة الضربية لـ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ومجموعة غير قابلة للعد وقابلة للقسمة بشكل فريد؛${\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} )}$هو المجموع المباشر للمجموعة الدورية من الرتبة 2 والمجموعات الدورية من الرتبة${\displaystyle p-1}$لجميع الأعداد الأولية الفردية${\displaystyle p}$. ل${\displaystyle n\geq 3}$،${\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$البرهان الكامل موجود في ملحق ورقة ميلنور الأصلية. ^{[ 1 ]} يمكن الاطلاع على بعض الحسابات من خلال النظر إلى خريطة على${\displaystyle K_{2}^{M}(F)}$ناتج عن إدراج مجال عالمي${\displaystyle F}$حتى اكتمالها${\displaystyle F_{v}}$إذن، يوجد تشاكل$${\displaystyle K_{2}^{M}(F)\to \bigoplus _{v}K_{2}^{M}(F_{v})/({\text{max. divis. subgr.}})}$$نواة هذه الدالة مولدة توليداً منتهياً. بالإضافة إلى ذلك، فإن النواة المرافقة متماثلة مع جذور الوحدة في${\displaystyle F}$.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة لمجال محلي عام${\displaystyle F}$(مثل الامتداد المحدود)${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$)، مجموعات ميلنور K${\displaystyle K_{n}^{M}(F)}$قابلة للقسمة.

توجد نظرية هيكلية عامة في مجال الحوسبة${\displaystyle K_{n}^{M}(F(t))}$لمجال${\displaystyle F}$فيما يتعلق بنظرية ميلنور K لـ${\displaystyle F}$والامتدادات${\displaystyle F[t]/(\pi )}$بالنسبة للمثاليات الأولية غير الصفرية${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$وهذا يُعطى بواسطة متتالية تامة$${\displaystyle 0\to K_{n}^{M}(F)\to K_{n}^{M}(F(t))\xrightarrow {\partial _{\pi }} \bigoplus _{(\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}K_{n-1}F[t]/(\pi )\to 0}$$أين${\displaystyle \partial _{\pi }:K_{n}^{M}(F(t))\to K_{n-1}F[t]/(\pi )}$هو تشاكل مبني من اختزال${\displaystyle F}$ل${\displaystyle {\overline {F}}_{v}}$لتقييم منفصل${\displaystyle v}$ويترتب على ذلك من النظرية أنه لا يوجد سوى تشاكل واحد$${\displaystyle \partial :K_{n}^{M}(F)\to K_{n-1}^{M}({\overline {F}})}$$والتي تخص مجموعة الوحدات${\displaystyle U\subset F}$والتي هي عناصر لها قيمة${\displaystyle 0}$، يمتلك شكلاً طبيعياً$${\displaystyle U\to {\overline {F}}_{v}^{*}}$$أين${\displaystyle u\mapsto {\overline {u}}}$لدينا$${\displaystyle \partial (l(\pi )l(u_{2})\cdots l(u_{n}))=l({\overline {u}}_{2})\cdots l({\overline {u}}_{n})}$$أين${\displaystyle \pi }$عنصر أولي ، بمعنى${\displaystyle {\text{Ord}}_{v}(\pi )=1}$، و$${\displaystyle \partial (l(u_{1})\cdots l(u_{n}))=0}$$بما أن كل مثالي أولي غير صفري${\displaystyle (\pi )\in {\text{Spec}}(F[t])}$يقدم تقييمًا${\displaystyle v_{\pi }:F(t)\to F[t]/(\pi )}$، نحصل على الخريطة${\displaystyle \partial _{\pi }}$على مجموعات ميلنور K.