متعدد الشعب التبسيطي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 118 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة التفاضلية ، يُعرف التشعب التبسيطي بأنه تشعب أملس .م{\displaystyle M}، مزودة بصيغة تفاضلية مغلقة غير متدهورة من الدرجة الثانية ،ω{\displaystyle \omega }يُطلق عليها الشكل التبسيطي. ويُسمى علم دراسة التشعبات التبسيطية بالهندسة التبسيطية أو الطوبولوجيا التبسيطية. تنشأ التشعبات التبسيطية بشكل طبيعي في الصيغ المجردة للميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكا التحليلية كحزم مماسية مشتركة للتشعبات. على سبيل المثال، في الصيغة الهاميلتونية للميكانيكا الكلاسيكية، والتي تُعدّ أحد الدوافع الرئيسية لهذا المجال، تُنمذج مجموعة جميع التكوينات الممكنة لنظام ما على أنها تشعب، وتصف الحزمة المماسية المشتركة لهذا التشعب فضاء الطور للنظام.

تحفيز

تنشأ المتشعبات التبسيطية من الميكانيكا الكلاسيكية ؛ وهي على وجه الخصوص تعميم لفضاء الطور لنظام مغلق. [ 1 ] [ 2 ] وكما تسمح معادلات هاميلتون باستنتاج التطور الزمني لنظام ما من مجموعة من المعادلات التفاضلية ، فإن الشكل التبسيطي يسمح بالحصول على حقل متجه يصف تدفق النظام من المعادلات التفاضلية.دح{\displaystyle dH}دالة هاميلتونيةح{\displaystyle H}[ 3 ] لذلك نحتاج إلى خريطة خطيةتيم→تي*م{\displaystyle TM\rightarrow T^{*}M}من مشعب المماستيم{\displaystyle TM}إلى مشعب ظل التمامتي*م{\displaystyle T^{*}M}أو ما يعادل ذلك، عنصر منتي*م⊗تي*م{\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}تأجيرω{\displaystyle \omega }يشير إلى قسم منتي*م⊗تي*م{\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}، الشرط الذيω{\displaystyle \omega }يضمن عدم الانحلال أنه لكل تفاضلدح{\displaystyle dH}يوجد حقل متجهي فريد مقابلVح{\displaystyle V_{H}}بحيثدح=ω(Vح،⋅){\displaystyle dH=\omega (V_{H},\cdot )}بما أن المرء يرغب في أن يكون الهاميلتوني ثابتًا على طول خطوط التدفق، فينبغي أن يكونω(Vح،Vح)=دح(Vح)=0{\displaystyle \omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0}وهذا يعني أنω{\displaystyle \omega }متناوب ، وبالتالي فهو شكل ثنائي. وأخيرًا، يشترط المرء أنω{\displaystyle \omega }لا ينبغي أن يتغير تحت خطوط التدفق، أي أن مشتق لي لـω{\displaystyle \omega }على امتدادVح{\displaystyle V_{H}}يختفي. بتطبيق صيغة كارتان ، فإن هذا يعادل (هنا)أناX{\displaystyle \iota _{X}}( المنتج الداخلي ):

لVح(ω)=0⇔د(أناVحω)+أناVحدω=د(دح)+دω(Vح)=دω(Vح)=0// (V_{H})=\mathrm {d} \أوميغا (V_{H})=0}

وبالتالي، عند تكرار هذه الحجة لدوال سلسة مختلفةح{\displaystyle H}بحيث يكون المقابلVح{\displaystyle V_{H}}إذا قمنا بتوسيع الفضاء المماسي عند كل نقطة يتم تطبيق الحجة عندها، فإننا نرى أن شرط تلاشي مشتقة لي على طول تدفقاتVح{\displaystyle V_{H}}يتوافق مع أي سلاسة عشوائيةح{\displaystyle H}وهذا يعادل الشرط القائل بأن ω يجب أن تكون مغلقة .

تعريف

يتركم{\displaystyle M}ليكن متعدد شعب أملس . شكل تماثلي علىم{\displaystyle M}هي شكل تفاضلي مغلق غير منحل من الدرجة الثانيةω{\displaystyle \omega }[ 4 ] [ 5 ] هنا، تعني كلمة "غير منحط " أنه لكل نقطةص∈م{\displaystyle p\in M}، الاقتران المتناظر المائل على الفضاء المماسيتيصم{\displaystyle T_{p}M}محدد بواسطةω{\displaystyle \omega }غير منحط. بمعنى آخر، إذا وُجدX∈تيصم{\displaystyle X\in T_{p}M}بحيثω(X،Y)=0{\displaystyle \أوميغا (X,Y)=0}للجميعY∈تيصم{\displaystyle Y\in T_{p}M}، ثمX=0{\displaystyle X=0}الشرط المغلق يعني أن المشتقة الخارجية لـω{\displaystyle \omega }يختفي. [ 4 ] [ 5 ]

المتشعب التبسيطي هو زوج(م،ω){\displaystyle (M,\omega )}أينم{\displaystyle M}هو مشعب أملس وω{\displaystyle \omega }هي صيغة سيمبلكتية. إسناد صيغة سيمبلكتية إلىم{\displaystyle M}يُشار إليه باسم العطاءم{\displaystyle M}بنية سيمبلكتية . بما أن المصفوفات المتناظرة المائلة في الأبعاد الفردية تكون دائمًا منفردة، فإن عدم الانحلال يعني أنخافت⁡م{\displaystyle \dim M}هو زوجي. [ 6 ]

عن طريق عدم الانحطاط،ω{\displaystyle \omega }يمكن استخدامها لتعريف زوج من التشاكلات الموسيقيةω♭:تيم→تي*م،ω♯:تي*م→تيم{\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\rightarrow T^{*}M,\omega ^{\sharp }:T^{*}M\rightarrow TM}بحيثω(X،Y)=ω♭(X)(Y){\displaystyle \omega (X,Y)=\أوميغا ^{\flat }(X)(Y)}لأي حقلين متجهينX،Y{\displaystyle X,Y}، وω♯∘ω♭=بطاقة تعريف{\displaystyle \omega ^{\sharp }\circ \omega ^{\flat }=\operatorname {Id} }.

متعدد الشعب التبسيطي(م،ω){\displaystyle (M,\omega )}تكون دقيقة إذا وفقط إذا كان الشكل التبسيطيω{\displaystyle \omega }هو دقيق ، أي يساويω=-دθ{\displaystyle \omega =-d\theta }بالنسبة لبعض النماذج الفرديةθ{\displaystyle \theta }. إن الشكل التبسيطي على أي مشعب تبسيطي مضغوط بدون حدود يكون غير دقيق، وفقًا لنظرية ستوكس . [ 7 ]

بحسب نظرية داربو ، حول أي نقطةص{\displaystyle p}يوجد نظام إحداثيات محلي، حيثω=Σأنادصأنا∧دqأنا{\displaystyle \omega =\Sigma _{i}dp_{i}\wedge dq^{i}}حيث يرمز d إلى المشتقة الخارجية و∧ إلى الضرب الخارجي . [ 8 ] يُطلق على هذا الشكل اسم شكل بوانكاريه الثنائي أو الشكل الثنائي المتعارف عليه . وبالتالي، يمكننا اعتبار M محليًا حزمة الظل المشترك.تي*Rن{\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}}ويتم توليدها بواسطة الشكل التوتولوجي المقابل من الدرجة الأولىθ=Σأناصأنادqأنا،ω=دθ{\displaystyle \theta =\Sigma _{i}p_{i}dq^{i},\;\omega =d\theta }.

يُعدّ شكل (محلي) من أشكال لغة ليوفيل أي شكل (محدد محليًا).λ{\displaystyle \lambda }بحيثω=دλ{\displaystyle \omega =d\lambda }حقل متجهيX{\displaystyle X}هي (محلياً) ليوفيل إذا وفقط إذالXω=ω{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\omega }بحسب صيغة كارتان السحرية ، فإن هذا يعادلد(ω(X،⋅))=ω{\displaystyle d(\omega (X,\cdot ))=\omega }وبالتالي، يمكن تفسير حقل متجهات ليوفيل على أنه وسيلة لاستعادة شكل ليوفيل (المحلي). وبحسب نظرية داربو، يوجد حول أي نقطة شكل ليوفيل محلي، وإن لم يكن موجودًا على المستوى الكلي.

على مشعب سيمبلكتيكي، كل دالة ملساءح:م→R{\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }يحدد حقل متجه هاميلتونيXح{\displaystyle X_{H}}بواسطةأناXحω=دح{\displaystyle \iota _{X_{H}}\omega =dH}، وفقًا لاتفاقية الإشارة. [ 9 ] المنحنيات التكاملية لـXح{\displaystyle X_{H}}هي التدفق الهاميلتوني لـح{\displaystyle H}في الميكانيكا الكلاسيكية،ح{\displaystyle H}هي دالة الطاقة، والصيغة التبسيطية تُشفّر معادلات هاميلتون. تُشكّل مجموعة جميع حقول المتجهات الهاميلتونية جبر لي ، وتُكتب على النحو التالي:(لحم خنزير⁡(م)،[⋅،⋅]){\displaystyle (\operatorname {Ham} (M),[\cdot ,\cdot ])}أين[⋅،⋅]{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}هو قوس الكذب .

بفرض وجود دالتين سلسلتينو،ز:م→R{\displaystyle f,g:M\to \mathbb {R} }يتم تعريف قوس بواسون الخاص بهم بواسطة{و،ز}=ω(Xز،Xو){\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})}[ 10 ] هذا يجعل أي مشعب تماثلي مشعب بواسون . [ 11 ] متجه بواسون الثنائي هو حقل متجه ثنائيπ{\displaystyle \pi }محدد بواسطة{و،ز}=π(دو∧دز){\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}أو ما يعادل ذلك، بواسطةπ:=ω-1{\displaystyle \pi :=\omega ^{-1}} . يرتبط قوس بواسون وقوس لي بالعلاقة التالية:X{و،ز}=[Xو،Xز]{\textstyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}]}.

الخصائص الأساسية

لو(م،ω){\displaystyle (M,\omega )}هو متعدد شعب سيمبلكتيكي ذو بُعد2ن{\displaystyle 2n}، ثمωن{\displaystyle \omega ^{n}}هي شكل من الدرجة العليا لا يتلاشى في أي مكان. وبالتالي، فإن كل مشعب تماثلي قابل للتوجيه وله شكل حجم طبيعي، يسمى شكل الحجم التماثلي. [ 6 ]

على عكس المقياس الريماني، لا يُحدد الشكل التبسيطي الأطوال أو الزوايا. وبحسب نظرية داربو ، فإن جميع المشعبات التبسيطية ذات البعد نفسه متماثلة تبسيطياً محلياً. ونتيجةً لذلك، لا يمتلك علم الهندسة التبسيطية ثابت انحناء محلي مماثل لموتر انحناء ريمان؛ فالعديد من أسئلته الرئيسية ذات طبيعة شاملة. [ 2 ] [ 8 ]

مشعبات فرعية

توجد عدة مفاهيم هندسية طبيعية للمتشعب الفرعي للمتشعب التبسيطي(م،ω){\displaystyle (M,\omega )}. يتركشمال⊂م{\displaystyle N\subset M}أن يكون متعدد الشعب الفرعي. هو [ 12 ] [ 7 ]

  • متماثل إذا وفقط إذاω|شمال{\displaystyle \omega |_{N}}هو شكل تماثلي علىشمال{\displaystyle N}؛
  • متجانس إذا وفقط إذاω|شمال=0{\displaystyle \omega |_{N}=0}أو بعبارة أخرى، إذا وفقط إذاتيصشمال⊂تيصشمالω{\displaystyle T_{p}N\subset T_{p}N^{\omega }}لأيص∈شمال{\displaystyle p\in N}؛
  • متساوي الخواص إذا وفقط إذاتيصشمالω⊂تيصشمال{\displaystyle T_{p}N^{\omega }\subset T_{p}N}لأيص∈شمال{\displaystyle p\in N}؛
  • لاغرانجية إذا وفقط إذا كانت متجانسة الخواص ومتساوية الخواص ، أيω|شمال=0{\displaystyle \omega |_{N}=0}وخافت شمال=12خافت⁡م{\displaystyle {\text{dim }}N={\tfrac {1}{2}}\dim M}بسبب عدم انحطاطω{\displaystyle \omega }، تُعد المتشعبات الفرعية اللاغرانجية هي المتشعبات الفرعية المتساوية الخواص القصوى والمتشعبات الفرعية المتساوية الخواص الدنيا.

الشعب الفرعية اللاغرانجية

تُعدّ الفضاءات الفرعية اللاغرانجية أهم الفضاءات الفرعية. وقد اقترح وينشتاين "العقيدة التبسيطية": كل شيء هو فضاء فرعي لاغرانجي. ويعني بذلك أن كل شيء في الهندسة التبسيطية يُعبّر عنه بشكل طبيعي باستخدام الفضاءات الفرعية اللاغرانجية. [ 13 ]

التليف اللاغرانجي لمتشعب سيمبليكتيكي M هو تليف تكون فيه جميع الألياف عبارة عن متشعبات فرعية لاغرانجية.

بالنظر إلى متعدد الشعب الفرعيشمال⊂م{\displaystyle N\subset M}بالنسبة للبعد المشترك 1، فإن توزيع الخطوط المميزة عليه هو الثنائيات لفضاءاته المماسية:تيصشمالω{\displaystyle T_{p}N^{\omega }}إذا كان هناك أيضًا حقل متجه ليوفيلX{\displaystyle X}في جوارها المتعامد معها . في هذه الحالة، ليكنα:=ω(X،⋅)|شمال{\displaystyle \alpha :=\omega (X,\cdot )|_{N}} ، إذن(شمال،α){\displaystyle (N,\alpha )}هي فضاء تلامسي ، ونقول إنها فضاء فرعي من نوع التلامس . في هذه الحالة، يكون حقل متجه ريب مماساً لتوزيع الخط المميز.

يتم تحديد الفضاء الفرعي ذي البعد n محليًا بواسطة دالة سلسةu:Rن→م{\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to M}. يكون متعدد الشعب لاغرانجي إذاω(∂أنا،∂ج)=0{\displaystyle \omega (\partial _{i},\partial _{j})=0}للجميعأنا،ج∈1:ن{\displaystyle i,j\in 1:n}إذا كان هناك نظام إحداثيات متعارف عليه محليًا(q،ص){\displaystyle (q,p)}إذن، يكون الشرط مكافئًا لـ[u،v]ص،q=∑أنا=1ن(∂qأنا∂u∂صأنا∂v-∂صأنا∂u∂qأنا∂v)=0،∀أنا،ج∈1:ن{\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)=0,\quad \forall i,j\in 1:n}أين[⋅،⋅]ص،q{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}يمثل قوس لاغرانج في نظام الإحداثيات هذا.

الرسم البياني لصيغة تفاضلية مغلقة من الدرجة الأولى علىم{\displaystyle M}هو متعدد الشعب لاغرانجي منتي*م{\displaystyle T^{*}M}وعلى وجه الخصوص، الرسم البياني لـدو{\displaystyle df}هو لاغرانجي. على العكس من ذلك، إذا كان مشعبًا فرعيًا لاغرانجيًال⊂تي*م{\displaystyle L\subset T^{*}M}تُسقط بشكل تفاضلي إلىم{\displaystyle M}إذن، فهو رسم بياني لشكل تفاضلي مغلق من الدرجة الأولى. [ 12 ] وهو الرسم البياني لـدو{\displaystyle df}فقط عندما يكون ذلك الشكل الأحادي المغلق دقيقًا.

رسم الخرائط اللاغرانجية

ليكن L فضاءً فرعياً لاغرانجياً من فضاء تماثلي ( K , ω) معطىً بانغماس i :  L ↪ K ( يُسمى i انغماساً لاغرانجياً ). ولتكن π  : K ↠ B تليفاً لاغرانجياً لـ K. المركب ( π ∘ i )  : L ↪ K ↠ B هو تطبيق لاغرانجي . تُسمى مجموعة القيم الحرجة لـ π ∘ i بالكاوستيك . [ 14 ]

يُقال عن دالتين لاغرانجيتين ( π₁ ∘ i₁ ) : L₁ ↪ K₁ ↠ B₁  و ( π₂ ∘ i₂ ) : L₂ ↪ K₂ ↠ B₂ أنهما متكافئتان لاغرانجيًا إذا وُجدت تحويلات تباينية σ و τ و ν بحيث يتبادل طرفا المخطط الموضح على اليمين ، ويحافظ τ  على الشكل التبسيطي . [ 5 ] رمزيًا :

τ∘أنا1=أنا2∘σ، ν∘π1=π2∘τ، τ*ω2=ω1،{\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}

حيث τ ∗ ω 2 تشير إلى تراجع ω 2 بواسطة τ .

التناظرات

خريطةو:(م،ω)→(م′،ω′){\displaystyle f:(M,\omega )\to (M',\omega ')}يكون التماثل بين المشعبات التبسيطية تماثلاً تبسيطياً عندما يحافظ على البنية التبسيطية، أي أن السحب العكسي هو نفسهو*ω′=ω{\displaystyle f^{*}\omega '=\omega }أهم التشاكلات التبسيطية هي التدفقات التبسيطية، أي تلك المتولدة عن طريق تكامل حقل متجه على(م،ω){\displaystyle (M,\omega )}.

بالنظر إلى حقل متجهX{\displaystyle X}على(م،ω){\displaystyle (M,\omega )}، فإنه يولد تدفقًا تماثليًا إذا وفقط إذالXω=0{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0}تُسمى هذه الحقول المتجهة بالحقول المتماثلة . أي حقل متجه هاميلتوني هو حقل متماثل، والعكس صحيح، أي حقل متجه متماثل هو حقل هاميلتوني محليًا .

الخاصية التي تبقى محفوظة تحت جميع التحويلات التبسيطية تُسمى ثابتًا تبسيطيًا . وانطلاقًا من برنامج إرلانجن ، فإن الهندسة التبسيطية هي دراسة الثوابت التبسيطية.

أمثلة

البنية التبسيطية القياسية

يترك{v1،...،v2ن}{\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}لتكون أساسًا لـR2ن.{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}نُعرّف شكلنا التبسيطيω{\displaystyle \omega }وعلى هذا الأساس كما يلي:

ω(vأنا،vج)={1ج-أنا=ن مع 1⩽أنا⩽ن-1أنا-ج=ن مع 1⩽ج⩽ن0خلاف ذلك{\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

في هذه الحالة، يختزل الشكل التبسيطي إلى شكل ثنائي خطي بسيط . إذاأنان{\displaystyle I_{n}}يشير إلىن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفة الوحدة، ثم المصفوفة،Ω{\displaystyle \Omega }، من هذا الشكل الثنائي الخطي يُعطى بواسطة2ن×2ن{\displaystyle 2n\times 2n}مصفوفة الكتل :

Ω=(0أنان-أنان0).{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}

إنه،

ω=دx1∧دy1+⋯+دxن∧دyن.{\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.}

يحتوي على تليف بواسطة مشعبات لاغرانجية فرعية ذات قيمة ثابتة لـy{\displaystyle y}، أي{Rن×{y}:y∈Rن}{\displaystyle \{\mathbb {R} ^{n}\times \{y\}:y\in \mathbb {R} ^{n}\}}.

صيغة ليوفيل لهذا هيλ=12∑أنا(xأنادyأنا-yأنادxأنا){\textstyle \lambda ={\frac {1}{2}}\sum _{i}\left(x_{i}dy_{i}-y_{i}dx_{i}\right)}وω=دλ{\textstyle \omega =d\lambda }حقل متجهات ليوفيل هوY=12∑أنا(xأنا∂xأنا+yأنا∂yأنا)،{\displaystyle Y={\frac {1}{2}}\sum _{i}\left(x_{i}\partial _{x_{i}}+y_{i}\partial _{y_{i}}\right),}الحقل الشعاعي. شكل آخر من أشكال ليوفيل هوΣأناxأنادyأنا{\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}dy_{i}}، مع حقل متجه ليوفيلY=∑أناxأنا∂xأنا{\textstyle Y=\sum _{i}x_{i}\partial _{x_{i}}}.

الأسطح

كل سطح أملس موجه ذو شكل مساحي هو متعدد شعب تماثلي. في البعد الثاني، يكون شرط الانغلاق تلقائياً لأي شكل ثنائي الأبعاد.

حزم ظل التمام

لوسؤال{\displaystyle Q}هو مشعب أملس، حزمة ظل تمامهتي*سؤال{\displaystyle T^{*}Q}يحمل شكلاً قانونياً من الدرجة الأولىλ{\displaystyle \lambda }ويُطلق عليه أيضًا الشكل التكراري أو شكل ليوفيل 1. المشتق الخارجيω=دλ{\displaystyle \omega =d\lambda }، وفقًا لاتفاقية الإشارة، هو الشكل التبسيطي المتعارف عليه علىتي*سؤال{\displaystyle T^{*}Q}، وتسمى أيضاً الشكل الثنائي لبوانكاريه.

يُعرَّف الشكل التوحيدي من الدرجة الأولى بالخاصية التي تنص على أنه لأيv∈تيx،αتي*سؤال{\displaystyle v\in T_{x,\alpha }T^{*}Q}،λ(v)=α(π*v){\displaystyle \lambda (v)=\alpha (\pi _{*}v)}أينπ:تي*سؤال→سؤال{\displaystyle \pi :T^{*}Q\to Q}هو إسقاط الحزمة. في الإحداثيات المحليةqأنا{\displaystyle q^{i}}علىسؤال{\displaystyle Q}، الشكل القانوني الأول هوλ=∑أنا=1نصأنادqأنا{\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}dq^{i}}أينصأنا{\displaystyle p_{i}}هي إحداثيات الألياف على حزمة الظل التمام بحيثα=∑أنا=1نصأنا(α)دqأنا{\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}p_{i}(\alpha )dq^{i}}في هذه الإحداثيات، يكون الشكل التبسيطي المتعارف عليه هو

ω=∑أنا=1ندصأنا∧دqأنا{\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}

الشكل الأحادي التكراريλ=∑أناصأنادqأنا{\displaystyle \lambda =\sum _{i}p_{i}dq^{i}}يحتوي على حقل متجه ليوفيلY=∑أناصأنا∂صأنا{\displaystyle Y=\sum _{i}p_{i}\partial _{p_{i}}}، الحقل الشعاعي الليفي. يؤدي تدفقه إلى تمدد المتجهات المرافقة:(q،ص)↦(q،هـتص){\textstyle (q,p)\mapsto \left(q,e^{t}p\right)}.

المقطع الصفري لحزمة الظل التمام هو لاغرانجي.

مشعبات كاهلر

المتشعب الكاهلري هو متشعب تماثلي مزود ببنية عقدية متكاملة متوافقة. وهي تشكل فئة خاصة من المتشعبات العقدية . وتأتي فئة كبيرة من الأمثلة من الهندسة الجبرية العقدية. أي تنوع إسقاطي عقدي أملس.V⊂جPن{\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}له شكل سيمبليكتيكي وهو تقييد شكل فوبيني-ستودي على الفضاء الإسقاطيجPن{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}.

إنّ المتشعب التماثلي المزود بمقياس متوافق مع الشكل التماثلي هو متشعب شبه كاهلري بمعنى أن حزمة المماس له بنية شبه معقدة ، ولكن ليس بالضرورة أن تكون هذه البنية قابلة للتكامل . البنية شبه المعقدة المتوافقة هي تشاكل داخلي.ج{\displaystyle J}من الفضاء المماسي بحيثج2=-أنا{\displaystyle J^{2}=-I}،ω(X،جY)=-ω(جX،Y){\displaystyle \omega (X,JY)=-\omega (JX,Y)}، وω(X،جX)≥0{\displaystyle \omega (X,JX)\geq 0}للجميعX{\displaystyle X}بالنسبة لمثل هذا الهيكل المتوافق والمعقد تقريبًا،ز(X،Y)=ω(X،جY){\displaystyle g(X,Y)=\omega (X,JY)}يُعرّف مقياس ريماني. عندماج{\displaystyle J}إذا كانت قابلة للتكامل، فإن المتشعب التبسيطي الناتج يكون كاهلر. [ 15 ]

المدارات المترافقة

تحمل المدارات المرافقة لمجموعات لي أشكالًا تماثلية طبيعية. إذايا⊂ز*{\displaystyle {\mathcal {O}}\subset {\mathfrak {g}}^{*}}هو المدار المرافق الذي يمرξ{\displaystyle \xi }ثم متجهات المماس عندξ{\displaystyle \xi }يكون على شكلإعلانX*⁡ξ{\displaystyle \operatorname {ad} _{X}^{*}\xi }ويُعطى الشكل التبسيطي، وفقًا لاتفاقية الإشارة، بواسطة

ωξ(إعلانX*⁡ξ،إعلانY*⁡ξ)=⟨ξ،[X،Y]⟩.{\displaystyle \omega _{\xi }(\operatorname {ad} _{X}^{*}\xi ,\operatorname {ad} _{Y}^{*}\xi )=\langle \xi ,[X,Y]\rangle .}

تنشأ المدارات المرافقة بشكل طبيعي في نظرية خريطة العزم والاختزال التبسيطي . [ 16 ]

مراسلات لاغرانجية

يمكن وصف التشاكل التبسيطي بأنه فضاء فرعي لاغرانجي . إذاϕ:(م،ωم)→(شمال،ωشمال){\displaystyle \phi إذا كان (M,\omega _{M})\to (N,\omega _{N})} تماثلًا تماثليًا، فإن الرسم البياني الخاص به هو متعدد شعب لاغرانجي منم¯×شمال{\displaystyle {\overline {M}}\times N}، أينم¯{\displaystyle {\overline {M}}}يشيرم{\displaystyle M}مزود بالشكل التبسيطي-ωم{\displaystyle -\omega _{M}}[ 17 ]​

وبشكل أعم، مراسلة لاغرانجية منم{\displaystyle M}لشمال{\displaystyle N}هو متعدد الشعب لاغرانجي منم¯×شمال{\displaystyle {\overline {M}}\times N}تُستخدم تطابقات لاغرانج في صياغات الفئة التبسيطية وفي علم التماثل لفلور .

التعميمات

  • تُعمم المشعبات ما قبل التماثلية المشعبات التماثلية من خلال اشتراطها فقطω{\displaystyle \omega }أن تكون مغلقة، ولكن ربما تكون متدهورة. أي متشعب فرعي من متشعب تماثلي يرث بنية ما قبل التماثلية.
  • تعمم مشعبات بواسون المشعبات التبسيطية من خلال الحفاظ فقط على الهياكل الجبرية التفاضلية للمشعب التبسيطي.
  • تُعمّم مشعبات ديراك مشعبات بواسون والمشعبات ما قبل التماثلية، وذلك بالحفاظ على بنية أقل. صُمم التعريف بحيث يُولّد أي مشعب فرعي من مشعب بواسون مشعب ديراك. ويمكن تسميتها مشعبات "ما قبل بواسون".
  • المتشعب متعدد التماثل من الدرجة k هو متشعب مزود بصيغة k مغلقة غير متدهورة . [ 18 ]
  • المتشعب متعدد التماثل هو حزمة ليجندر مزودة بـ متعدد التماثل ذي قيم مماسية(ن+2){\displaystyle (n+2)}-form؛ يتم استخدامه في نظرية المجال الهاميلتوني . [ 19 ]

انظر أيضاً

الاقتباسات

  1. ↑ ويبستر، بن (9 يناير 2012). "ما هو التشعب التبسيطي حقًا؟" .
  2. 1 2 ماكدوف، دوسا ؛ سالامون، ديتمار (2017). "مقدمة". مقدمة في الطوبولوجيا التبسيطية ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. ص 1-7 . ISBN   978-0-19-879489-9.
  3. ↑ كوهن، هنري. "لماذا تعتبر الهندسة التبسيطية هي الإطار الطبيعي للميكانيكا الكلاسيكية" .
  4. 1 2 دي جوسون، موريس (2006). الهندسة التناظرية وميكانيكا الكم . بازل: دار بيركهاوزر. ص. 10. رقم ISBN  3-7643-7574-4.
  5. 1 2 3 أرنولد، في آي ؛ فارتشينكو، إيه إن ؛ حسين زاده، إس إم (1985). تصنيف النقاط الحرجة، والكاوستيك، وجبهات الموجة: غرائب ​​الخرائط التفاضلية، المجلد 1. بيركهاوزر. ISBN 0-8176-3187-9.
  6. 1 2 كاناس دا سيلفا، آنا (2001). محاضرات في الهندسة التبسيطية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1764. سبرينغر. الأقسام 1.1-1.4. ISBN  978-3-540-42195-5.
  7. 1 2 ماكدوف، دوسا ؛ سالامون، ديتمار (2017). "3. المشعبات التبسيطية". مقدمة في الطوبولوجيا التبسيطية ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. ص 94-151 . ISBN   978-0-19-879489-9.
  8. 1 2 كاناس دا سيلفا، آنا (2001). محاضرات في الهندسة التبسيطية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1764. سبرينغر. القسم 8.1. ISBN  978-3-540-42195-5.
  9. ↑ أبراهام، رالف ؛ مارسدن، جيرولد إي. (1978). أسس الميكانيكا ( الطبعة الثانية). بنجامين/كومينغز. الفصل 3، القسم 3.2. ISBN  0-8053-0102-X.
  10. ↑ كاناس دا سيلفا، آنا (2001). محاضرات في الهندسة التبسيطية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1764. سبرينغر. القسم 18. ISBN  978-3-540-42195-5.
  11. ↑ وينشتاين، آلان (1983). "البنية المحلية لمتشعبات بواسون". مجلة الهندسة التفاضلية . 18 (3): 523-557 . doi : 10.4310/jdg/1214437787 .
  12. 1 2 كاناس دا سيلفا، آنا (2001). محاضرات في الهندسة التبسيطية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1764. سبرينغر. القسم 3. ISBN  978-3-540-42195-5.
  13. ↑ وينشتاين، آلان (1981). "الهندسة التبسيطية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 5 (1): 1-13 . doi : 10.1090/S0273-0979-1981-14911-9 . ISSN 0273-0979 . 
  14. ↑ أرنولد، السادس (1990). "1. الهندسة التبسيطية". مفردات الكاوستيك وجبهات الموجات . الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 62. سبرينغر. doi : 10.1007/978-94-011-3330-2 . 
  15. ↑ كاناس دا سيلفا، آنا (2001). محاضرات في الهندسة التبسيطية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1764. سبرينغر. الأقسام 12-17. ISBN  978-3-540-42195-5.
  16. ↑ كاناس دا سيلفا، آنا (2001). محاضرات في الهندسة التبسيطية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1764. سبرينغر. القسمان 21-22. ISBN  978-3-540-42195-5.
  17. ↑ وينشتاين، آلان (2010). "الفئات التبسيطية". مجلة الرياضيات البرتغالية . 67 (2): 261-278 . arXiv : 0911.4133 . doi : 10.4171/PM/1866 .
  18. ↑ كانتريجن، ف.؛ إيبورت، ل.أ.؛ دي ليون، م. (1999). "حول هندسة المشعبات متعددة التناظر" . مجلة الجمعية الأسترالية للرياضيات ، السلسلة أ، 66 (3): 303-330 . doi : 10.1017/S1446788700036636 .
  19. ↑ جياكيتا، جي.؛ مانجياروتي، إل.؛ سارداناشفيلي، جي. (1999). "معادلات هاميلتونية متغيرة لنظرية الحقل". مجلة الفيزياء . A32 (38): 6629–6642 . arXiv : hep-th/9904062 . Bibcode : 1999JPhA...32.6629G . doi : 10.1088/0305-4470/32/38/302 . S2CID 204899025 . 

المراجع العامة والمستشهد بها

للمزيد من القراءة