تناوب

إنّ أي سلسلة من دورانات جسم ما في ثلاثة أبعاد حول نقطة ثابتة تُعادل دائمًا دورانًا حول محور (والذي يُمكن اعتباره دورانًا في مستوى الدوران العمودي على ذلك المحور). وبالمثل، فإنّ معدل دوران جسم ما في ثلاثة أبعاد في أي لحظة يكون حول محور ما، مع العلم أنّ هذا المحور قد يتغير بمرور الوقت.

في غير الأبعاد الثلاثة، لا يُمكن وصف الدوران بأنه حول محور، إذ قد يكون أكثر من محور واحد يمر عبر الجسم ثابتًا؛ وبدلًا من ذلك، تُوصف الدورانات البسيطة بأنها في مستوى. في أربعة أبعاد أو أكثر، لا يُعتبر تركيب دورانين أو أكثر حول مستوى ما دورانًا في مستوى واحد بشكل عام.

لا تمتلك الدورانات ثنائية الأبعاد، على عكس الدورانات ثلاثية الأبعاد، محور دوران، بل نقطةً يدور حولها فقط. وهذا يُعادل، بالنسبة للتحويلات الخطية، القول بأنه لا يوجد اتجاه في المستوى يبقى ثابتًا بفعل الدوران ثنائي الأبعاد، باستثناء الاتجاه المحايد بالطبع.

إن مسألة وجود مثل هذا الاتجاه هي مسألة وجود متجه ذاتي للمصفوفة A التي تمثل الدوران. كل دوران ثنائي الأبعاد حول نقطة الأصل بزاوية${\displaystyle \theta }$يمكن تمثيل الاتجاه عكس عقارب الساعة ببساطة تامة بواسطة المصفوفة التالية :

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$

يؤدي تحديد القيم الذاتية القياسية إلى المعادلة المميزة

${\displaystyle \lambda ^{2}-2\lambda \cos \theta +1=0,}$

والذي لديه

${\displaystyle \cos \theta \pm i\sin \theta }$

باعتبارها قيمها الذاتية. لذلك، لا توجد قيمة ذاتية حقيقية عندما${\displaystyle \cos \theta \neq \pm 1}$وهذا يعني أنه لا يوجد متجه حقيقي في المستوى يبقى دون تغيير بواسطة A.

بمعرفة أن الأثر ثابت، فإن زاوية الدوران${\displaystyle \alpha }$للحصول على مصفوفة دوران متعامدة مناسبة 3×3${\displaystyle A}$يتم العثور عليه بواسطة

${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\left({\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\right)}$

باستخدام دالة جيب التمام العكسي الرئيسية، تعطي هذه الصيغة زاوية دوران تحقق ما يلي:${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 180^{\circ }}$يجب تحديد محور الدوران المقابل بحيث يشير إلى اتجاه يحد من زاوية الدوران بحيث لا تتجاوز 180 درجة. (يمكن دائمًا القيام بذلك لأن أي دوران يزيد عن 180 درجة حول محور ما${\displaystyle m}$يمكن دائمًا كتابتها على شكل دوران يحتوي على${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 180^{\circ }}$إذا تم استبدال المحور بـ${\displaystyle n=-m}$.)

كل دوران صحيح${\displaystyle A}$في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يوجد محور دوران، والذي يتم تعريفه بحيث يكون أي متجه${\displaystyle v}$لن يتأثر الجزء المحاذي لمحور الدوران بالدوران. وبناءً على ذلك،${\displaystyle Av=v}$وبالتالي، يتوافق محور الدوران مع متجه ذاتي لمصفوفة الدوران مرتبط بقيمة ذاتية تساوي 1. طالما أن زاوية الدوران${\displaystyle \alpha }$إذا كانت قيمة الدوران غير صفرية (أي أن الدوران ليس موتر الوحدة)، فهناك اتجاه واحد فقط. ولأن المصفوفة A تحتوي على مركبات حقيقية فقط، فهناك قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل، ويجب أن تكون القيمتان الذاتيتان المتبقيتان مترافقتين مركبتين (انظر القيم الذاتية والمتجهات الذاتية#القيم الذاتية ومتعددة الحدود المميزة ). بمعرفة أن 1 قيمة ذاتية، يترتب على ذلك أن القيمتين الذاتيتين المتبقيتين مترافقتان مركبتين، لكن هذا لا يعني بالضرورة أنهما مركبتان - فقد تكونان حقيقيتين بتعددية مضاعفة. في الحالة المنحلة لزاوية الدوران${\displaystyle \alpha =180^{\circ }}$، القيمتان الذاتيتان المتبقيتان تساويان -1. في الحالة المنحلة لزاوية دوران صفرية، تكون مصفوفة الدوران هي مصفوفة الوحدة، وجميع القيم الذاتية الثلاث تساوي 1 (وهي الحالة الوحيدة التي يكون فيها محور الدوران اختياريًا).

لا يتطلب الأمر تحليلًا طيفيًا لتحديد محور الدوران. إذا${\displaystyle n}$يشير إلى متجه الوحدة الذاتي المحاذي لمحور الدوران، وإذا${\displaystyle \alpha }$إذا كانت تمثل زاوية الدوران، فيمكن إثبات أن${\displaystyle 2\sin(\alpha )n=\{A_{32}-A_{23},A_{13}-A_{31},A_{21}-A_{12}\}}$وبالتالي، يمكن تجنب تكلفة تحليل القيم الذاتية ببساطة عن طريق تطبيع هذا المتجه إذا كانت له قيمة غير صفرية. من ناحية أخرى، إذا كانت قيمة هذا المتجه صفرية، فهذا يعني أن${\displaystyle \sin(\alpha )=0}$بمعنى آخر، سيكون هذا المتجه صفرًا إذا وفقط إذا كانت زاوية الدوران 0 أو 180 درجة، ويمكن تحديد محور الدوران في هذه الحالة عن طريق تطبيع أي عمود من${\displaystyle A+I}$التي لها مقدار غير صفري. ^{[ 2 ]}

ينطبق هذا النقاش على الدوران الصحيح، وبالتالي${\displaystyle \det A=1}$أي مصفوفة متعامدة غير صحيحة بحجم 3×3${\displaystyle B}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle B=-A}$، حيث${\displaystyle A}$هي مصفوفة متعامدة صحيحة. أي أن أي مصفوفة غير متعامدة صحيحة من الرتبة 3×3 يمكن تحليلها إلى دوران صحيح (يمكن من خلاله إيجاد محور الدوران كما هو موضح أعلاه) متبوعًا بانعكاس (الضرب في -1). ويترتب على ذلك أن محور دوران${\displaystyle A}$وهو أيضًا المتجه الذاتي لـ${\displaystyle B}$بما يتوافق مع قيمة ذاتية −1.

كما أن لكل دوران ثلاثي الأبعاد محور دوران، فلكل دوران ثلاثي الأبعاد أيضاً مستوى عمودي على محور الدوران، ويبقى هذا المستوى ثابتاً بفعل الدوران. والدوران المقتصر على هذا المستوى هو دوران ثنائي الأبعاد عادي.

يُجرى البرهان بطريقة مشابهة للمناقشة السابقة. أولًا، لنفترض أن جميع القيم الذاتية لمصفوفة الدوران ثلاثية الأبعاد A حقيقية. هذا يعني وجود أساس متعامد، مُكوَّن من المتجهات الذاتية المناظرة (وهي بالضرورة متعامدة)، حيث يكون تأثير مصفوفة الدوران عليه مجرد تمديد لها. إذا كتبنا A في هذا الأساس، فإنها ستكون مصفوفة قطرية؛ ولكن المصفوفة القطرية المتعامدة تتكون فقط من عناصر قطرية تساوي +1 و-1. لذلك، لا نحصل على دوران حقيقي، بل إما مصفوفة الوحدة أو نتيجة سلسلة من الانعكاسات.

يترتب على ذلك أن الدوران الصحيح له قيمة ذاتية مركبة. ليكن v هو المتجه الذاتي المقابل. إذن، كما أوضحنا في الموضوع السابق،${\displaystyle {\bar {v}}}$وهو أيضًا متجه ذاتي، و${\displaystyle v+{\bar {v}}}$و${\displaystyle i(v-{\bar {v}})}$بحيث يتلاشى حاصل ضربهما القياسي:

${\displaystyle i(v^{\text{T}}+{\bar {v}}^{\text{T}})(v-{\bar {v}})=i(v^{\text{T}}v-{\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}+{\bar {v}}^{\text{T}}vv^{\text{T}}{\bar {v}})=0}$

لأن، بما أن${\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}{\bar {v}}}$إذا كان حقيقياً، فإنه يساوي مرافقه المركب${\displaystyle v^{\text{T}}v}$، و${\displaystyle {\bar {v}}^{\text{T}}v}$و${\displaystyle v^{\text{T}}{\bar {v}}}$كلاهما يمثلان نفس الضرب القياسي بين${\displaystyle v}$و${\displaystyle {\bar {v}}}$.

هذا يعنى${\displaystyle v+{\bar {v}}}$و${\displaystyle i(v-{\bar {v}})}$هي متجهات متعامدة. كما أنها متجهات حقيقية بحكم تعريفها. وتمتد هذه المتجهات على نفس الفضاء الجزئي الذي يمتد عليه ....${\displaystyle v}$و${\displaystyle {\bar {v}}}$، وهو فضاء جزئي ثابت تحت تطبيق A. لذلك، فإنها تمتد على مستوى ثابت.

هذا المستوى متعامد مع المحور الثابت، والذي يتوافق مع المتجه الذاتي المتبقي لـ A ، بقيمة ذاتية 1، بسبب تعامد المتجهات الذاتية لـ A.

يُقال إن المتجه يدور إذا غيّر اتجاهه. ويحدث هذا التأثير عادةً فقط عندما يكون لمتجه معدل تغيره مركبة عمودية غير صفرية على المتجه الأصلي. ويمكن إثبات ذلك من خلال النظر إلى متجه${\displaystyle {\vec {A}}}$والتي يتم تحديدها بواسطة متغير ما${\textstyle t}$والتي من أجلها:

${\displaystyle {d|{\vec {A}}|^{2} \over dt}={d({\vec {A}}\cdot {\vec {A}}) \over dt}\Rightarrow {d|{\vec {A}}| \over dt}={d{\vec {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}}$

وهذا يعطي أيضاً علاقة معدل تغير متجه الوحدة بأخذ${\displaystyle {\vec {A}}}$أن يكون مثل هذا المتجه:$${\displaystyle {d{\hat {A}} \over dt}\cdot {\hat {A}}=0}$$مما يدل على أن${\textstyle {د{\hat {A}} \over dt}}$المتجه عمودي على المتجه،${\displaystyle {\vec {A}}}$[ ^{3 ]​}

من:

${\displaystyle {d{\vec {A}} \over dt}={d(|{\vec {A}}|{\hat {A}}) \over dt}={d|{\vec {A}}| \over dt}{\hat {A}}+|{\vec {A}}|\left({d{\hat {A}} \over dt}\right)}$،

بما أن الحد الأول موازٍ لـ${\displaystyle {\vec {A}}}$وبالنظر إلى المركبة الثانية العمودية عليها، نستنتج عمومًا أن المركبتين الموازية والعمودية لمعدل تغير المتجه تؤثران بشكل مستقل على مقدار المتجه أو اتجاهه على التوالي. وبالتالي، فإن المتجه الدوار دائمًا ما يكون له مركبة عمودية غير صفرية لمعدل تغيره بالنسبة للمتجه نفسه.

مع ازدياد الأبعاد، يزداد عدد متجهات الدوران . في الفضاء رباعي الأبعاد (الفضاء الفائق )، تحدث الدورانات على طول المحاور س، ص، ع، و. يتقاطع الجسم الذي يدور حول المحور ع مع أحجام مختلفة ، حيث يمثل كل تقاطع حجمًا قائمًا بذاته بزاوية معينة. يؤدي هذا إلى ظهور محور دوران جديد في الفضاء الفائق رباعي الأبعاد، حيث يمكن تدوير جسم ثلاثي الأبعاد عموديًا على المحور ع. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

من الممكن أن تتحرك الأجسام في مسارات دائرية دورية دون تغيير اتجاهها . تُعامل هذه الأنواع من الحركة ضمن الحركة الدائرية بدلاً من الدوران، وتحديداً كحركة انتقالية منحنية. ولأن الانتقال يتضمن إزاحة الأجسام الصلبة مع الحفاظ على اتجاهها ، ففي حالة الحركة الانتقالية المنحنية، تكون لجميع النقاط نفس السرعة اللحظية، بينما لا يمكن ملاحظة الحركة النسبية إلا في الحركات التي تتضمن الدوران. ^{[ 6 ]}

في الحركة الدورانية، يتغير اتجاه الجسم، ويكون هذا التغير مستقلاً عن المراقبين الذين تتمتع أطرهم المرجعية باتجاه نسبي ثابت مع مرور الوقت. وبحسب نظرية أويلر ، يمكن وصف أي تغير في الاتجاه بالدوران حول محور يمر بنقطة مرجعية مختارة. ^{[ 6 ]} ومن ثم، يمكن التمييز بين الدوران والحركة الدائرية باشتراط وجود محور دوران لحظي، وهو خط يمر بمركز الدائرة اللحظي ويكون عموديًا على مستوى الحركة . في المثال الذي يوضح الانتقال المنحني، يقع مركز دوائر الحركة على خط مستقيم ولكنه موازٍ لمستوى الحركة، وبالتالي لا يُحدد محور دوران. في المقابل، يكون للجسم الدوار دائمًا محور سرعة لحظي صفري، عمودي على مستوى الحركة. ^{[ 7 ]}

وبشكل أعم، وبفضل نظرية تشالس ، يمكن اعتبار أي حركة للأجسام الصلبة بمثابة تركيب من الدوران والانتقال ، وتُسمى الحركة المستوية العامة. ^{[ 6 ]} ومن الأمثلة البسيطة على الدوران المحض الدوران حول محور ثابت .

تُقدّم دورانات أويلر وصفًا بديلًا للدوران. وهي عبارة عن تركيب لثلاث دورانات، تُعرَّف بأنها الحركة الناتجة عن تغيير إحدى زوايا أويلر مع تثبيت الزاويتين الأخريين. لا تُعبَّر دورانات أويلر أبدًا بدلالة الإطار الخارجي، أو بدلالة إطار الجسم المتحرك المُدار، بل بمزيج منهما. فهي تُشكِّل نظام محاور دوران مختلطة، حيث تُحرِّك الزاوية الأولى خط العقد حول المحور الخارجي z ، وتدور الثانية حول خط العقد ، أما الثالثة فهي دوران داخلي حول محور ثابت في الجسم المتحرك.

تُسمى هذه الدورات بالترنح ، والتذبذب ، والدوران الذاتي .

يُقال عن النظام الذي يتصرف بنفس الطريقة بغض النظر عن اتجاهه في الفضاء أنه نظام ثابت دورانيًا . ووفقًا لنظرية نوثر ، إذا كان فعل النظام الفيزيائي ( التكامل الزمني لدالة لاغرانج) ثابتًا تحت الدوران، فإن الزخم الزاوي يكون محفوظًا .

يُعد دوران الثقب الأسود أو دورانه حول محوره الخاصية الفلكية الوحيدة له، إلى جانب كتلته وشحنته. يخزن هذا الدوران كميات هائلة من الطاقة، مما يُغذي نفاثات نسبية من الجسيمات المتأينة تمتد لآلاف الفراسخ الفلكية في الفضاء وتستمر لمئات الملايين من السنين. هذه النفاثات قوية بما يكفي لتغيير مسار تطور المجرات. تدور الثقوب السوداء بسرعة أكبر بكثير من النجوم النيوترونية على الرغم من تشابه أصلها في المستعرات العظمى ، مما يشير إلى أن المجال المغناطيسي الدوار للنجم النيوتروني ينقل الطاقة الدورانية إلى الغازات المتأينة الخارجة من انفجار المستعر الأعظم. ^{[ 9 ]}

قد تدور النجوم والكواكب والأجرام المشابهة حول محاورها. وقد قُيس معدل دوران الكواكب في النظام الشمسي لأول مرة من خلال تتبع السمات المرئية. أما دوران النجوم فيُقاس من خلال تأثير دوبلر أو بتتبع السمات السطحية النشطة، مثل البقع الشمسية التي تدور حول الشمس بنفس سرعة الغازات الخارجية المكونة لها.

في بعض الحالات، قد تتزامن حركة دوران الأجسام المدارية مع دورانها حول جسم أكبر. تُعرف هذه الظاهرة بالتزامن المدّي ؛ فالقمر متزامن مدّياً مع الأرض.

يُحدث هذا الدوران تسارعًا طاردًا مركزيًا في الإطار المرجعي للأرض، مما يُعاكس تأثير الجاذبية قليلًا كلما اقتربنا من خط الاستواء . تجمع جاذبية الأرض بين تأثيرات الكتلة، بحيث يكون وزن الجسم أقل قليلًا عند خط الاستواء منه عند القطبين. ومن العوامل الأخرى أن الأرض تتشوه بمرور الوقت لتصبح كروية مفلطحة ؛ ويتشكل انتفاخ استوائي مماثل للكواكب الأخرى.

من النتائج الأخرى لدوران الكوكب ظاهرتا التبادر والترنح . وكما هو الحال في الجيروسكوب ، فإن التأثير العام هو تذبذب طفيف في حركة محور الكوكب. يبلغ ميل محور الأرض حاليًا بالنسبة لمستوى مدارها ( ميل دائرة البروج ) 23.44 درجة، لكن هذه الزاوية تتغير ببطء (على مدى آلاف السنين).

تدور معظم كواكب المجموعة الشمسية ، بما فيها الأرض ، في نفس اتجاه دورانها حول الشمس . ويُستثنى من ذلك كوكب الزهرة وكوكب أورانوس . يُمكن اعتبار الزهرة وكأنها تدور ببطء في الاتجاه المعاكس (أو أنها "مقلوبة"). أما أورانوس، فيدور تقريبًا على جانبه بالنسبة لمداره. وتشير التكهنات الحالية إلى أن أورانوس بدأ بتوجه أمامي نموذجي، ثم انقلب على جانبه نتيجة اصطدام كبير في بدايات تاريخه. أما الكوكب القزم بلوتو (الذي كان يُعتبر كوكبًا سابقًا)، فهو شاذٌّ من نواحٍ عديدة، منها أنه يدور أيضًا على جانبه.

على الرغم من أن مصطلح "الثورة" يُستخدم غالبًا كمرادف لمصطلح "الدوران" ، إلا أنه في العديد من المجالات، وخاصة علم الفلك والمجالات ذات الصلة، يُستخدم مصطلح "الثورة" ، والذي يُشار إليه غالبًا باسم " الثورة المدارية" للتوضيح، عندما يدور جسم ما حول جسم آخر، بينما يُستخدم مصطلح "الدوران" للدلالة على الحركة حول محور. تدور الأقمار حول كواكبها، وتدور الكواكب حول نجومها (مثل دوران الأرض حول الشمس)؛ وتدور النجوم ببطء حول مراكز مجراتها . حركة مكونات المجرات معقدة، ولكنها عادةً ما تتضمن عنصر الدوران.

في ديناميكيات الطيران ، تُعرف الدورانات الرئيسية الموصوفة بزوايا أويلر المذكورة أعلاه باسم الميلان والدوران الجانبي والانعراج . ويُستخدم مصطلح الدوران أيضًا في مجال الطيران للإشارة إلى ميل الطائرة للأعلى (ارتفاع مقدمة الطائرة)، خاصةً عند بدء الصعود بعد الإقلاع.

تتميز الدورانات الرئيسية بقدرتها على محاكاة العديد من الأنظمة الفيزيائية، مثل المحاور الدوارة وعصي التحكم ، مما يسهل تصورها، كما أنها طريقة مختصرة للغاية لتخزين الدوران. إلا أنها صعبة الاستخدام في الحسابات، إذ أن حتى العمليات البسيطة، مثل دمج الدورانات، مكلفة، وتعاني من نوع من " قفل المحور الدوار" حيث لا يمكن حساب الزوايا بشكل فريد لبعض الدورانات.

تُوفر العديد من ألعاب الملاهي خاصية الدوران. تحتوي عجلة فيريس على محور مركزي أفقي، ومحاور متوازية لكل مقصورة، حيث يكون الدوران معاكساً، إما بفعل الجاذبية أو ميكانيكياً. ونتيجة لذلك، يكون وضع المقصورة في أي لحظة عمودياً (غير مُدار)، وإنما مُنتقلاً فقط. ويرسم طرف متجه الانتقال دائرة. أما الملاهي الدوّارة فتُوفر الدوران حول محور رأسي. وتُوفر العديد من الألعاب مزيجاً من الدوران حول عدة محاور. ففي لعبة الكراسي الطائرة، يتم توفير الدوران حول المحور الرأسي ميكانيكياً، بينما يكون الدوران حول المحور الأفقي ناتجاً عن قوة الجذب المركزي . وفي انعكاسات قطار الملاهي، يكون الدوران حول المحور الأفقي دورة كاملة أو أكثر، حيث تُبقي خاصية القصور الذاتي الركاب في مقاعدهم.

يلعب دوران الكرة أو أي جسم آخر، والذي يُطلق عليه عادةً اسم الدوران ، دورًا في العديد من الرياضات، بما في ذلك الدوران العلوي والخلفي في التنس ، والرمي الإنجليزي ، والمتابعة والسحب في البلياردو والبول ، والكرات المنحنية في البيسبول ، والرمي الدوراني في الكريكيت ، ورياضات القرص الطائر ، وما إلى ذلك. تُصنع مضارب تنس الطاولة بخصائص سطحية مختلفة للسماح للاعب بإضفاء قدر أكبر أو أقل من الدوران على الكرة.

يُطلق على دوران اللاعب مرة واحدة أو أكثر حول محور رأسي اسم الدوران في التزلج الفني ، أو تدوير العصا (أو اللاعب) في رياضة تدوير العصا ، أو 360 أو 540 أو 720 درجة ، وما إلى ذلك، في رياضة التزلج على الجليد ، وما إلى ذلك. أما دوران اللاعب أو المؤدي مرة واحدة أو أكثر حول محور أفقي فيُطلق عليه اسم الشقلبة أو الدوران أو الشقلبة الخلفية أو الدوران الحلزوني ، وما إلى ذلك، في الجمباز أو التزلج على الماء أو العديد من الرياضات الأخرى، أو الشقلبة الواحدة والنصف أو الشقلبة المزدوجة والقفزة الخلفية ( بدءًا من وضعية مواجهة الماء)، وما إلى ذلك، في رياضة الغطس ، وما إلى ذلك. ويُطلق على مزيج الدوران الرأسي والأفقي (الشقلبة الخلفية مع 360 درجة) اسم موبيوس في القفز الحر على الماء .

تُعرف حركة دوران اللاعب حول محور رأسي، عادةً ما بين 180 و360 درجة، بحركة الدوران ، وتُستخدم كحركة خادعة أو مراوغة، أو في محاولة للعب أو تمرير أو استلام الكرة أو القرص، أو لمنح اللاعب رؤية للمرمى أو اللاعبين الآخرين. وتُشاهد هذه الحركة بكثرة في رياضات الهوكي وكرة السلة وكرة القدم بمختلف أنواعها والتنس وغيرها.