العلاقة الانعكاسية

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ لقاء شبه شبكة ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

في الرياضيات ، العلاقة الثنائية${\displaystyle R}$على مجموعة${\displaystyle X}$تكون انعكاسية إذا كانت تربط كل عنصر من عناصر${\displaystyle X}$لنفسه. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

من أمثلة العلاقات الانعكاسية علاقة " يساوي " على مجموعة الأعداد الحقيقية ، حيث أن كل عدد حقيقي يساوي نفسه. يُقال إن العلاقة الانعكاسية تمتلك خاصية الانعكاس ، أو أنها تتمتع بخاصية الانعكاسية . إلى جانب التناظر والتعدي ، تُعد خاصية الانعكاسية إحدى الخصائص الثلاث التي تُحدد علاقات التكافؤ .

كلمة "انعكاسي" مشتقة في الأصل من الكلمة اللاتينية في العصور الوسطى " reflexivus " (بمعنى "الارتداد" [انظر: reflex ]، أو "الموجه نحو ذاته") (حوالي عام 1250 ميلادي)، من الكلمة اللاتينية الكلاسيكية " reflexus- " (بمعنى "الابتعاد"، "انعكاس") + اللاحقة " -īvus ". دخلت الكلمة اللغة الإنجليزية الحديثة في ثمانينيات القرن السادس عشر. أما معنى الكلمة "الموجه نحو ذاته"، كما هو مستخدم الآن في الرياضيات، فقد بقي مستخدماً في الغالب في الفلسفة والنحو (انظر: الفعل الانعكاسي والضمير الانعكاسي ). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

يُنسب أول استخدام صريح لمصطلح "الانعكاسية"، أي وصف العلاقة بأنها تمتلك خاصية أن كل عنصر مرتبط بنفسه، بشكل عام إلى جوزيبي بيانو في كتابه "الأصول الرياضية للحساب " (1889)، حيث يُعرّف إحدى الخصائص الأساسية للمساواة بأنها${\displaystyle a=a}$[ ^{5 ] [ 6 ]} أول استخدام لكلمة "انعكاسي" ^في سياق الرياضيات والمنطق كان من قبل برتراند راسل في كتابه "مبادئ الرياضيات" (1903). ^{[ 6 ] [ 7 ]}

علاقة${\displaystyle R}$في موقع التصوير${\displaystyle X}$يُقال إنها انعكاسية إذا كان لكل${\displaystyle x\in X}$،${\displaystyle (x,x)\in R}$.

وبعبارة أخرى، السماح${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$تشير إلى علاقة الهوية على${\displaystyle X}$العلاقة${\displaystyle R}$يكون انعكاسياً إذا${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$.

الانغلاق الانعكاسي لـ${\displaystyle R}$هل الاتحاد${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$والتي يمكن تعريفها بشكل مكافئ بأنها الأصغر (بالنسبة إلى${\displaystyle \subseteq }$) علاقة انعكاسية على${\displaystyle X}$هذا مجموعة شاملة من${\displaystyle R.}$علاقة${\displaystyle R}$تكون انعكاسية إذا وفقط إذا كانت مساوية لإغلاقها الانعكاسي.

الاختزال الانعكاسي أو النواة غير الانعكاسية لـ${\displaystyle R}$هو الأصغر (بالنسبة إلى${\displaystyle \subseteq }$) العلاقة بـ${\displaystyle X}$التي لها نفس الإغلاق الانعكاسي مثل${\displaystyle R.}$يساوي${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$الاختزال الانعكاسي لـ${\displaystyle R}$يمكن، بمعنى ما، اعتبارها بناءً "معاكساً" للإغلاق الانعكاسي لـ${\displaystyle R.}$ على سبيل المثال، الإغلاق الانعكاسي للمتباينة الصارمة المتعارف عليها${\displaystyle <}$على أرض الواقع${\displaystyle \mathbb {R} }$هو التفاوت غير الصارم المعتاد${\displaystyle \leq }$بينما الاختزال الانعكاسي لـ${\displaystyle \leq }$يكون${\displaystyle <.}$

تشمل أمثلة العلاقات الانعكاسية ما يلي:

• "يساوي" ( المساواة )
• "هي مجموعة جزئية من" (احتواء المجموعة)
• "يقسم" ( قابلية القسمة )
• "أكبر من أو يساوي"
• "أقل من أو يساوي"

من أمثلة العلاقات غير الانعكاسية ما يلي:

• "لا يساوي"
• "أولي نسبيًا مع" على الأعداد الصحيحة الأكبر من 1
• "هي مجموعة جزئية مناسبة من"
• "أكبر من"
• "أقل من"

ومن الأمثلة على العلاقات غير الانعكاسية، والتي تعني أنها لا تربط أي عنصر بنفسه، علاقة "أكبر من" (${\displaystyle x>y}$) على الأعداد الحقيقية . ليس كل علاقة غير انعكاسية علاقة غير انعكاسية؛ فمن الممكن تعريف علاقات تكون فيها بعض العناصر مرتبطة بنفسها بينما لا تكون عناصر أخرى كذلك (أي، لا ترتبط جميعها بنفسها ولا لا ترتبط أي منها بنفسها). على سبيل المثال، العلاقة الثنائية "ناتج ضرب${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$"is even" هي خاصية انعكاسية على مجموعة الأعداد الزوجية ، وغير انعكاسية على مجموعة الأعداد الفردية، وليست انعكاسية ولا غير انعكاسية على مجموعة الأعداد الطبيعية .

مثال على علاقة شبه انعكاسية${\displaystyle R}$تُعرَّف العلاقة "لها نفس النهاية" على مجموعة متتابعات الأعداد الحقيقية: فليس لكل متتابعة نهاية، وبالتالي فإن العلاقة ليست انعكاسية، ولكن إذا كانت لمتتابعة نفس نهاية متتابعة أخرى، فإن لها نفس نهاية نفسها. ومن أمثلة العلاقات شبه الانعكاسية من اليسار العلاقة الإقليدية من اليسار ، وهي دائمًا شبه انعكاسية من اليسار، ولكن ليس بالضرورة من اليمين، وبالتالي ليست بالضرورة شبه انعكاسية.

من أمثلة العلاقات الانعكاسية الأساسية العلاقة بين الأعداد الصحيحة، حيث يرتبط كل عدد فردي بنفسه فقط، ولا توجد علاقات أخرى. علاقة المساواة هي المثال الوحيد لعلاقة انعكاسية وانعكاسية أساسية في آنٍ واحد، وأي علاقة انعكاسية أساسية هي مجموعة جزئية من علاقة التطابق. اتحاد علاقة انعكاسية أساسية وعلاقة متعدية على نفس المجموعة يكون دائمًا علاقة متعدية.

عدد العلاقات الانعكاسية على${\displaystyle n}$مجموعة العناصر هي${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$^{[ 11 ]}

لاحظ أن S ( n , k ) يشير إلى أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني .

يستخدم مؤلفو المنطق الفلسفي مصطلحات مختلفة في كثير من الأحيان. فالعلاقات الانعكاسية بالمعنى الرياضي تُسمى علاقات انعكاسية كلية في المنطق الفلسفي، بينما تُسمى العلاقات شبه الانعكاسية علاقات انعكاسية . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

• "الانعكاسية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]