حساب التفاضل والتكامل إيتو

يُوسّع حساب إيتو ، نسبةً إلى كيوسي إيتو ، أساليب حساب التفاضل والتكامل لتشمل العمليات العشوائية مثل الحركة البراونية (انظر عملية وينر ). وله تطبيقات مهمة في التمويل الرياضي ، وفي المعادلات التفاضلية العشوائية ، ومؤخراً حتى في التعلم الآلي .

المفهوم الأساسي هو التكامل العشوائي لإيتو، وهو تعميم عشوائي لتكامل ريمان-ستيلتيس في التحليل. وتُصبح الدوال المُكاملة والدوال المُكاملة عمليات عشوائية. $${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$ حيث H عملية قابلة للتكامل التربيعي محليًا، مُكيَّفة مع الترشيح الناتج عن X ( ريفوز ويور ، 1999 ، الفصل الرابع) ، وهي حركة براونية ، أو بشكل أعم، شبه مارتينجال . تكون نتيجة التكامل عملية عشوائية أخرى. وبالتحديد، يكون التكامل من 0 إلى أي قيمة t معينة متغيرًا عشوائيًا ، يُعرَّف على أنه نهاية لتسلسل معين من المتغيرات العشوائية. لا تستوفي مسارات الحركة البراونية متطلبات تطبيق تقنيات التفاضل والتكامل القياسية. لذا، مع كون الدالة المُكاملة عملية عشوائية، فإن تكامل إيتو العشوائي يُصبح تكاملًا بالنسبة لدالة غير قابلة للتفاضل عند أي نقطة، ولها تغير لانهائي على مدار أي فترة زمنية. تكمن الفكرة الأساسية في إمكانية تعريف التكامل طالما أن الدالة المُكاملة H مُكيَّفة ، مما يعني ، بشكل عام، أن قيمتها عند الزمن t لا يمكن أن تعتمد إلا على المعلومات المتاحة حتى ذلك الوقت. بصورة تقريبية، يتم اختيار سلسلة من تجزئات الفترة من 0 إلى t، ثم تُنشأ مجاميع ريمان . في كل مرة نحسب فيها مجموع ريمان، نستخدم تطبيقًا محددًا للمكامل. من الأهمية بمكان تحديد النقطة التي تُستخدم في كل فترة صغيرة لحساب قيمة الدالة. ثم تُحسب النهاية احتماليًا عندما تقترب شبكة التجزئة من الصفر. يجب مراعاة العديد من التفاصيل التقنية لإثبات وجود هذه النهاية واستقلالها عن سلسلة التجزئات المحددة. عادةً ما تُستخدم النهاية اليسرى للفترة.

تشمل النتائج المهمة لحساب إيتو صيغة التكامل بالتجزئة ومبرهنة إيتو ، وهي صيغة لتغيير المتغيرات . تختلف هذه الصيغ عن صيغ حساب التفاضل والتكامل القياسي بسبب وجود حدود التغير التربيعي . ويمكن مقارنة ذلك بتكامل ستراتونوفيتش كصيغة بديلة؛ فهو يتبع قاعدة السلسلة ، ولا يتطلب مبرهنة إيتو. ويمكن تحويل الصيغتين التكامليتين إلى بعضهما البعض. يُحسب تكامل ستراتونوفيتش كصيغة حدية لمجموع ريمان الذي يستخدم متوسط ​​المتغير العشوائي على كل خطوة زمنية صغيرة، بينما يأخذ تكامل إيتو هذا المتوسط ​​في الاعتبار فقط في البداية.

في التمويل الرياضي ، تُصوَّر استراتيجية تقييم التكامل الموصوفة على أنها تقوم على تحديد الخطوة التالية، ثم مراقبة تغير الأسعار. يُمثل المُكامل مقدار الأسهم التي نمتلكها، بينما يُمثل المُكامل حركة الأسعار، أما التكامل فيُمثل إجمالي الأموال التي نمتلكها، بما في ذلك قيمة أسهمنا، في أي لحظة معينة. يمكن نمذجة أسعار الأسهم والأصول المالية الأخرى المتداولة باستخدام عمليات عشوائية مثل الحركة البراونية، أو في أغلب الأحيان، الحركة البراونية الهندسية (انظر بلاك-شولز ). بالتالي، يُمثل تكامل إيتو العشوائي عائد استراتيجية تداول مستمرة الزمن، تتضمن امتلاك كمية H _{_t} من الأسهم في الوقت t . في هذه الحالة، يُقابل شرط تعديل H القيد الضروري الذي يُلزم استراتيجية التداول بالاعتماد فقط على المعلومات المتاحة في أي وقت. هذا يمنع إمكانية تحقيق مكاسب غير محدودة من خلال التنبؤ : شراء الأسهم قبل كل ارتفاع في السوق وبيعها قبل كل انخفاض. وبالمثل، فإن الشرط الذي يجعل H متكيفًا يعني أن التكامل العشوائي لن يتباعد عند حسابه كحد لمجاميع ريمان ( Revuz & Yor 1999 ، الفصل الرابع) .

العملية Y المحددة سابقًا على النحو التالي $${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$$ هي نفسها عملية عشوائية ذات مُعامل زمني t ، والتي تُكتب أحيانًا على الصورة Y = H · X ( روغرز وويليامز ، 2000 ) . وبدلاً من ذلك، غالبًا ما يُكتب التكامل في الصورة التفاضلية dY = H dX ، وهو ما يُكافئ Y − Y ₀ = H · X. وبما أن حساب إيتو يهتم بالعمليات العشوائية ذات الزمن المستمر، فإنه يُفترض وجود فضاء احتمالي مُرشّح أساسي مُعطى. $${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} ).}$$ الجبر سيجما${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$يمثل المعلومات المتاحة حتى الوقت t ، ويتم تكييف العملية X إذا كانت X _t${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$-قابلة للقياس. يُفهم أن الحركة البراونية B هي${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$الحركة البراونية، وهي مجرد حركة براونية قياسية ذات خصائص B _t${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$قابلة للقياس، وأن B _{t + s} − B _t مستقلة عن${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$لجميع قيم s ، t ≥ 0 ( Revuz & Yor 1999 ) .

يمكن تعريف تكامل إيتو بطريقة مشابهة لتكامل ريمان-ستيلتيس ، أي كحدٍّ احتمالي لمجاميع ريمان ؛ ولا يوجد هذا الحد بالضرورة على طول المسار. لنفترض أن B عملية وينر (حركة براونية) وأن H عملية متصلة من اليمين ( càdlàg )، ومتكيفة ، ومحدودة محليًا. إذا${\displaystyle \{\pi _{n}\}}$ إذا كانت سلسلة من تجزئات الفترة [ 0، t ] بعرض شبكة يؤول إلى الصفر، فإن تكامل إيتو لـ H بالنسبة إلى B حتى الزمن t هو متغير عشوائي$${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}$$

يمكن إثبات أن هذه النهاية تتقارب في الاحتمال .

في بعض التطبيقات، مثل نظريات تمثيل المارتينجال والأزمنة المحلية ، يكون التكامل ضروريًا للعمليات غير المتصلة. تُشكّل العمليات القابلة للتنبؤ أصغر فئة مغلقة تحت حساب نهايات المتتاليات، وتحتوي على جميع العمليات المتصلة يسارًا والمتكيفة. إذا كانت H أي عملية قابلة للتنبؤ بحيث يكون ∫ ₀ ^t H ² ds < ∞ لكل t ≥ 0، فإنه يمكن تعريف تكامل H بالنسبة إلى B ، ويُقال إن H قابلة للتكامل بالنسبة إلى B. يمكن تقريب أي عملية من هذا القبيل بمتتالية H _n من العمليات المتصلة يسارًا والمتكيفة والمحدودة محليًا، بمعنى أن $${\displaystyle \int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0}$$ في الاحتمالات. إذن، يكون تكامل إيتو هو $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,dB}$$ حيث يمكن، مرة أخرى، إثبات أن النهاية تتقارب احتماليًا. ويحقق التكامل العشوائي تماثل إيتو$${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}$$ وهذا ينطبق عندما تكون H محدودة أو، بشكل عام، عندما يكون التكامل على الجانب الأيمن محدودًا.

تُعرَّف عملية إيتو بأنها عملية عشوائية مُكيَّفة يمكن التعبير عنها كمجموع تكامل بالنسبة للحركة البراونية وتكامل بالنسبة للزمن. $${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$$

هنا، B هي حركة براونية، ويُشترط أن تكون σ عملية قابلة للتنبؤ وقابلة للتكامل بالنسبة لـ B ، وأن تكون μ قابلة للتنبؤ وقابلة للتكامل ( وفقًا لمبدأ ليبيغ ). أي، $${\displaystyle \int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty }$$ لكل قيمة t . يمكن توسيع التكامل العشوائي ليشمل عمليات إيتو هذه. $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$$

يُعرَّف هذا لجميع الدوال التكاملية المحدودة محليًا والقابلة للتنبؤ. وبشكل أعم، يُشترط أن تكون Hσ قابلة للتكامل وفقًا لمعيار B وأن تكون Hμ قابلة للتكامل وفقًا لمعيار Lebesgue، بحيث $${\displaystyle \int _{0}^{t}\left(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |\right)ds<\infty .}$$تُسمى هذه العمليات المتوقعة H بالعمليات القابلة للتكامل X.

تُعدّ ليمّة إيتو نتيجةً مهمةً لدراسة عمليات إيتو . في أبسط صورها، تنصّ هذه الليمّة على أنه بالنسبة لأي دالة f قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر على الأعداد الحقيقية وعملية إيتو X كما هو موضح أعلاه، فإن${\displaystyle Y_{t}=f(X_{t})}$هي في حد ذاتها عملية إيتو مُرضية $${\displaystyle dY_{t}=f^{\prime }(X_{t})\mu _{t}\,dt+{\tfrac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt+f^{\prime }(X_{t})\sigma _{t}\,dB_{t}.}$$

هذه هي صيغة حساب التفاضل والتكامل العشوائي لصيغة تغيير المتغيرات وقاعدة السلسلة . وهي تختلف عن النتيجة القياسية بسبب الحد الإضافي الذي يتضمن المشتقة الثانية للدالة f ، والذي ينشأ من خاصية أن الحركة البراونية لها تباين تربيعي غير صفري .

يُعرَّف تكامل إيتو بالنسبة إلى شبه مارتينجال X. هذه عمليات يمكن تحليلها إلى X = M + A ، حيث M مارتينجال محلي و A عملية ذات تباين محدود . من الأمثلة المهمة على هذه العمليات الحركة البراونية ، وهي مارتينجال ، وعمليات ليفي . بالنسبة لعملية H متصلة من اليسار، ومحدودة محليًا، ومتكيفة، يوجد التكامل H · X _، ويمكن حسابه كحد لمجاميع ريمان. ليكن πn متتالية من تجزئات الفترة [ 0, t ] حيث تؤول الشبكة إلى الصفر.  $${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}$$

تتقارب هذه النهاية احتماليًا. يُعد التكامل العشوائي للعمليات المتصلة من اليسار عامًا بما يكفي لدراسة جزء كبير من حساب التفاضل والتكامل العشوائي. على سبيل المثال، يكفي لتطبيقات ليمّة إيتو، وتغييرات القياس عبر نظرية جيرسانوف ، ولدراسة المعادلات التفاضلية العشوائية . مع ذلك، فهو غير كافٍ لمواضيع أخرى مهمة مثل نظريات تمثيل المارتينجال والأزمنة المحلية .

يمتد التكامل إلى جميع الدوال التكاملية القابلة للتنبؤ والمحدودة محليًا، بطريقة فريدة، بحيث تتحقق نظرية التقارب المسيطر . أي، إذا كان H _n → H و | H _n | ≤ J لعملية محدودة محليًا J ، فإن  $${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX,}$$ في الاحتمالات. إن تفرد الامتداد من الدوال التكاملية المستمرة من اليسار إلى الدوال التكاملية القابلة للتنبؤ هو نتيجة لفرضية الفئة الرتيبة .

بشكل عام، يمكن تعريف التكامل العشوائي H · X حتى في الحالات التي لا تكون فيها العملية H قابلة للتنبؤ ومحدودة محليًا. إذا كان K = 1 / (1 + | H | ) ، فإن K و KH تكونان محدودتين. تشير خاصية التجميع للتكامل العشوائي إلى أن H قابلة للتكامل بالنسبة لـ X ، حيث يكون التكامل H · X = Y ، إذا وفقط إذا كان Y₀ = 0 _و K · Y = ( KH ) · X. يُرمز إلى مجموعة العمليات القابلة للتكامل بالنسبة لـ X بالرمز L ( X ) .

يمكن العثور على الخصائص التالية في أعمال مثل ( Revuz & Yor 1999 ) و ( Rogers & Williams 2000 ) :

• التكامل العشوائي هو عملية càdlàg . علاوة على ذلك، فهو شبه مارتينجال .
• تُعطى نقاط عدم استمرارية التكامل العشوائي بقفزات المُكامل مضروبةً في الدالة المراد تكاملها. قفزة عملية càdlàg عند الزمن t هي X _t − X _t− ، ويُرمز لها غالبًا بـ Δ X _t . باستخدام هذا الرمز، Δ( H · X ) = H Δ X. ومن النتائج المترتبة على ذلك أن التكاملات بالنسبة لعملية مستمرة تكون دائمًا متصلة.
• خاصية التجميع . ليكن J و K عمليتين قابلتين للتنبؤ،وليكن K قابلاً للتكامل بالنسبة لـ X. عندئذٍ،يكون J قابلاً للتكامل بالنسبة لـ K · X إذا وفقط إذاكان JK قابلاً للتكامل بالنسبة لـ X ، وفي هذه الحالة$${\displaystyle J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X}$$
• التقارب المُهيمن . لنفترض أن H _{_n} → H _n و | H _{_n}| ≤ J ، حيث J عمليةقابلة للتكامل بالنسبة لـ X. عندئذٍ، H _{_n} · X → H · X. التقارب احتمالي عند كل زمن t . في الواقع، يتقارب بانتظام على المجموعات المدمجة احتماليًا. 
• يتبادل التكامل العشوائي مع عملية حساب التغايرات التربيعية. إذا كانت X و Y شبه مارتينجالات، فإن أي عملية قابلة للتكامل بالنسبة لـ X ستكون أيضًا قابلة للتكامل بالنسبة لـ [ X , Y ] ، و [ H · X , Y ] = H · [ X , Y ] . ومن نتائج ذلك أن عملية التغير التربيعي للتكامل العشوائي تساوي تكامل عملية التغير التربيعي.$${\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$$

كما هو الحال في حساب التفاضل والتكامل العادي، يُعد التكامل بالتجزئة نتيجةً مهمةً في حساب التفاضل والتكامل العشوائي. تختلف صيغة التكامل بالتجزئة لتكامل إيتو عن النتيجة القياسية بسبب تضمين حد التغاير التربيعي . ينشأ هذا الحد من حقيقة أن حساب إيتو يتعامل مع العمليات ذات التباين التربيعي غير الصفري، والذي لا يحدث إلا في العمليات ذات التباين اللانهائي (مثل الحركة البراونية). إذا كان X و Y شبه مارتينجالات، $${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}$$ حيث [ X , Y ] هي عملية التغاير التربيعي.

والنتيجة مشابهة لنظرية التكامل بالتجزئة لتكامل ريمان-ستيلتيس ولكنها تحتوي على حد تباين تربيعي إضافي .

تُعدّ مبرهنة إيتو صيغةً من صيغ قاعدة السلسلة أو صيغة تغيير المتغيرات التي تُطبّق على تكامل إيتو. وهي من أقوى النظريات وأكثرها استخدامًا في حساب التفاضل والتكامل العشوائي. بالنسبة لشبه مارتينجال مستمر ذي بُعد n، X = (X₁ , ... , Xₙ ) ، ودالة f قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر من Rₙ إلى R ، تنصّ على أن f ( X ) هي شبه مارتينجال، و $${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$$ يختلف هذا عن قاعدة السلسلة المستخدمة في حساب التفاضل والتكامل القياسي بسبب الحد الذي يتضمن التغاير التربيعي [ X i , X j ] . يمكن تعميم الصيغة لتشمل اعتمادًا زمنيًا صريحًا في${\displaystyle f,}$وبطرق أخرى (انظر إلى ليمّا إيتو ).

عادةً ما تبدأ براهين تعريف تكامل إيتو الجيد بالنظر إلى دوال تكامل بسيطة للغاية، مثل العمليات الثابتة جزئيًا، والمتصلة من اليسار، والمتكيفة، حيث يمكن كتابة التكامل بشكل صريح. هذه العمليات البسيطة القابلة للتنبؤ هي تراكيب خطية من حدود على الصورة H( _t) = A( 1) _{{ t > T }} لأوقات التوقف T، و F( _t) متغيرات عشوائية قابلة للقياس A ، والتي يكون التكامل عندها $${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$$ويمتد هذا إلى جميع العمليات البسيطة التي يمكن التنبؤ بها من خلال خطية H · X في H.

بالنسبة للحركة البراونية B ، يمكن استخدام خاصية أن لها زيادات مستقلة بمتوسط ​​صفري وتباين Var( B _t ) = t لإثبات تماثل إيتو للتكاملات البسيطة القابلة للتنبؤ. $${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].}$$ عن طريق التمديد الخطي المستمر ، يمتد التكامل بشكل فريد إلى جميع الدوال التكاملية المتوقعة التي تحقق $${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,ds\right]<\infty ,}$$ بطريقة تحافظ على تماثل إيتو. ويمكن بعد ذلك تعميمها على جميع العمليات القابلة للتكامل من النوع B عن طريق التوطين . تسمح هذه الطريقة بتعريف التكامل بالنسبة لأي عملية إيتو.

بالنسبة لشبه مارتينجال عام X ، يمكن استخدام التفكيك X = M + A إلى مارتينجال محلي M بالإضافة إلى عملية تباين محدود A. بعد ذلك، يمكن إثبات وجود التكامل بشكل منفصل بالنسبة إلى M و A ، ثم دمجهما باستخدام خاصية الخطية، H · X = H · M + H · A ، للحصول على التكامل بالنسبة إلى X. يسمح تكامل ليبيغ-ستيلتيس القياسي بتعريف التكامل بالنسبة إلى عمليات التباين المحدود، لذا فإن وجود تكامل إيتو لشبه المارتينجالات سينتج عن أي بناء للمارتينجالات المحلية.

بالنسبة للمارتينجال M القابل للتكامل التربيعي ^من نوع càdlàg ، يمكن استخدام صيغة معممة لمعادلة إيتو. أولًا، تُستخدم نظرية دوب-ماير للتحليل لإثبات وجود تحليل M² = N + ⟨M⟩ ، حيث N مارتينجال و⟨ M⟩ عملية مستمرة من اليمين، متزايدة، وقابلة للتنبؤ تبدأ من الصفر. هذا يُحدد ⟨M⟩ بشكل فريد ، والذي يُشار إليه بالتغير التربيعي القابل للتنبؤ لـ M. ثم تكون معادلة إيتو للمارتينجالات القابلة للتكامل التربيعي كما يلي :$${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],}$$^{ويمكن إثبات ذلك مباشرةً بالنسبة للدوال التكاملية البسيطة القابلة للتنبؤ. وكما هو الحال مع الحركة البراونية} المذكورة أعلاه، يمكن استخدام امتداد خطي متصل للتمديد بشكل فريد إلى جميع الدوال التكاملية القابلة للتنبؤ التي تحقق الشرط E[H²·⟨M⟩t ] < ∞ . ويمكن تعميم هذه _{الطريقة} على جميع المارتينجالات التربيعية المحلية القابلة للتكامل عن طريق التوطين. وأخيرًا، يمكن استخدام تحليل دوب-ماير لتحليل أي مارتينجال محلي إلى مجموع مارتينجال تربيعي محلي قابل للتكامل وعملية تباين محدود، مما يسمح بإنشاء تكامل إيتو بالنسبة لأي شبه مارتينجال.

توجد العديد من البراهين الأخرى التي تستخدم أساليب مماثلة ولكنها تتجنب الحاجة إلى استخدام نظرية تفكيك دوب-ماير، مثل استخدام التباين التربيعي [ M ] في تماثل إيتو، أو استخدام مقياس دوليان للمارتينجالات الفرعية ، أو استخدام متراجحات بوركهولدر-ديفيس-غوندي بدلاً من تماثل إيتو. ينطبق الأخير مباشرةً على المارتينجالات المحلية دون الحاجة إلى التعامل أولاً مع حالة المارتينجال القابل للتكامل التربيعي.

توجد براهين بديلة تعتمد فقط على حقيقة أن X مُعدَّل (càdlàg)، وأن المجموعة { H · X _t :  | H | ≤ 1 قابلة للتنبؤ البسيط} محدودة احتماليًا لكل زمن t ، وهو تعريف بديل لـ X ليكون شبه مارتينجال. يمكن استخدام امتداد خطي متصل لبناء التكامل لجميع الدوال التكاملية المتصلة من اليسار والمُعدَّلة ذات النهايات اليمنى في كل مكان (caglad أو عمليات L). هذا عام بما يكفي لتطبيق تقنيات مثل مبرهنة إيتو ( بروتر 2004 ) . كما يمكن استخدام متباينة خينتشين لإثبات نظرية التقارب المُهيمن وتوسيع التكامل ليشمل الدوال التكاملية العامة القابلة للتنبؤ ( بيشتيلر 2002 ) .

يُعرَّف حساب إيتو في المقام الأول بأنه حساب تكاملي كما هو موضح أعلاه. ومع ذلك، توجد أيضًا مفاهيم مختلفة لـ "المشتقة" فيما يتعلق بالحركة البراونية:

في الفيزياء، تُستخدم عادةً المعادلات التفاضلية العشوائية ، مثل معادلات لانجفين ، بدلاً من التكاملات العشوائية. هنا، غالبًا ما تُصاغ معادلة إيتو التفاضلية العشوائية (SDE) عبر$${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},}$$ أين${\displaystyle \xi _{j}}$هو ضوضاء بيضاء غاوسية مع $${\displaystyle \langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})}$$ ويتم استخدام اصطلاح الجمع الخاص بأينشتاين .

لو${\displaystyle y=y(x_{k})}$إذا كانت دالة لـ x _k ، فيجب استخدام ليمّة إيتو :$${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.}$$

إن معادلة تفاضلية عشوائية من نوع إيتو كما هو موضح أعلاه تتوافق أيضاً مع معادلة تفاضلية عشوائية من نوع ستراتونوفيتش والتي تُقرأ كالتالي: $${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.}$$

تظهر المعادلات التفاضلية العشوائية بشكل متكرر في الفيزياء بصيغة ستراتونوفيتش، كحدود للمعادلات التفاضلية العشوائية المدفوعة بالضوضاء الملونة عندما يقترب زمن ارتباط حد الضوضاء من الصفر. للاطلاع على معالجة حديثة للتفسيرات المختلفة للمعادلات التفاضلية العشوائية، انظر على سبيل المثال ( Lau & Lubensky 2007 ) .