تماثل المجموعة

يمكن تحقيق التعريف الفئوي باستخدام الدوال المشتقة وحسابه باستخدام مُركّب السلسلة المشتركة القياسي، والذي يستخدمه بعض المؤلفين أيضًا كتعريف. ^{[ 1 ]} لـ${\displaystyle n\geq 0,}$يترك${\displaystyle C^{n}(G,M)}$لتكن مجموعة جميع الدوال من${\displaystyle G^{n}}$إلى م (هنا)${\displaystyle G^{0}}$وسائل${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$هذه زمرة أبيلية؛ تُسمى عناصرها السلاسل المشتركة (غير المتجانسة) من الرتبة n . تُعرَّف التشاكلات الحدودية المشتركة بواسطة

${\displaystyle {\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n}).\end{cases}}}$

يمكن للمرء أن يتحقق من ذلك${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0,}$إذن، يُعرّف هذا مُركّبًا مُترافقًا يُمكن حساب تماثله. يُمكن إثبات أن التعريف المذكور أعلاه لتماثل المجموعة بدلالة الدوال المُشتقة مُتماثل مع تماثل هذا المُركّب.

${\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).}$

هنا ، تُعرَّف مجموعات الدورات المشتركة من الرتبة n والحدود المشتركة من الرتبة n على التوالي كما يلي:

${\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}$

${\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\operatorname {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}}$

تفسير وحدات G على أنها وحدات فوق حلقة المجموعة${\displaystyle \mathbb {Z} [G],}$يمكن للمرء أن يلاحظ أن

${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$

أي أن المجموعة الفرعية للعناصر الثابتة تحت تأثير G في M تُعرَّف بمجموعة التشاكلات من${\displaystyle \mathbb {Z} }$، والتي يتم التعامل معها على أنها وحدة G التافهة (كل عنصر من G يعمل كعنصر محايد) لـ M.

لذلك، بما أن الدوال الخارجية هي الدوال المشتقة من ...

${\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).}$

يمكن أيضًا حساب مجموعات Ext هذه من خلال تحليل إسقاطي لـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$وتكمن الميزة في أن هذا الحل يعتمد فقط على G وليس على M. نستذكر تعريف Ext بشكل أكثر وضوحًا في هذا السياق. ليكن F إسقاطيًا${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-الدقة (مثلاً، مجانية)${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$(الدقة ) من التافه${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-وحدة${\displaystyle \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\to F_{n-1}\to \cdots \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0.}$

على سبيل المثال، يمكن للمرء دائمًا أن يأخذ حل حلقات المجموعة،${\displaystyle F_{n}=\mathbb {Z} [G^{n+1}],}$مع التشكلات

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}}$

تذكر ذلك من أجل${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-وحدات N و M ، Hom _G ( N , M ) هي زمرة أبيلية تتكون من${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-التشاكلات من N إلى M. بما أن${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$هو دالة متغايرة عكسية ويعكس الأسهم، ويطبق${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$إلى F فصلًا فصليًا وإسقاطها${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$ينتج مركبًا متسلسلًا${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)}$:

${\displaystyle \cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.}$

مجموعات التماثل${\displaystyle H^{*}(G,M)}$يتم تعريف G ذات المعاملات في الوحدة M على أنها علم التماثل للمركب المتسلسل المذكور أعلاه :

${\displaystyle H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.}$

يؤدي هذا البناء في البداية إلى عامل حدودي مشترك يعمل على السلاسل المشتركة "المتجانسة". هذه هي عناصر${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(F,M)}$أي الوظائف${\displaystyle \phi _{n}\colon G^{n}\to M}$الذين يطيعون

${\displaystyle g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).}$

عامل الحدود المشتركة${\displaystyle \delta \colon C^{n}\to C^{n+1}}$يتم تعريفها الآن بشكل طبيعي، على سبيل المثال،

${\displaystyle \delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).}$

العلاقة بمؤثر الحدود المشتركة d الذي تم تعريفه في القسم السابق، والذي يعمل على السلاسل المشتركة "غير المتجانسة"${\displaystyle \varphi }$، يتم الحصول عليها عن طريق إعادة تحديد المعاملات بحيث

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}}$

وهكذا دواليك.

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}}$

كما في القسم السابق.

هناك طريقة أخرى لتعريف علم التماثل الجماعي وهي استخدام نظريات علم التماثل الطوبولوجي (مثل علم التماثل التبسيطي ، أو علم التماثل المفرد ، أو علم تماثل الحزم ). ^{[ 2 ]}

وبشكل أدق، يمكن التعبير عن مجموعات التماثل كما تم تعريفها أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).}$

أين${\displaystyle BG}$مساحة تصنيف لـ${\displaystyle G}$أي فضاء تكون مجموعته الأساسية${\displaystyle G}$والتي تتلاشى مجموعات التماثل العليا الخاصة بها (والتي تسمى عادةً فضاء إيلنبرغ-ماكلين)${\displaystyle K(G,1)}$) ^{[ ب ]} . على سبيل المثال، تصنيف المساحات لـ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2}$و${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$هي الدائرة${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$فضاء إسقاطي حقيقي لانهائي${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),}$ومساحات العدسات ، على التوالي. بشكل عام،${\displaystyle BG}$يمكن بناء ذلك على شكل ناتج القسمة${\displaystyle EG/G}$، أين${\displaystyle EG}$هو مساحة قابلة للانكماش والتي${\displaystyle G}$يتصرف بحرية. المساحة${\displaystyle BG}$لا يشترط أن يكون لها وصف هندسي سهل التطبيق، على الرغم من أن هذا هو الحال بالنسبة للعديد من الفئات المهمة من المجموعات، على سبيل المثال مجموعات غروموف الزائدية والمجموعات الحسابية .

وبشكل أعم، يمكن للمرء أن يرتبط بأي شيء${\displaystyle G}$-وحدة${\displaystyle M}$نظام معاملات محلي على${\displaystyle BG}$ويمكن تعميم التشاكل المذكور أعلاه إلى تشاكل ^{[ 3 ]}

${\displaystyle H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).}$

المجموعة الأولى للتماثل هي خارج قسمة ما يُسمى بالتشاكلات المتقاطعة ، أي الدوال (للمجموعات) f  : G → M التي تحقق f ( ab ) = f ( a ) + af ( b ) لكل a و b في G ، بتردد ما يُسمى بالتشاكلات المتقاطعة الرئيسية ، أي الدوال f  : G → M المعطاة بـ f ( g ) = gm − m لبعض m ∈ M الثابتة . وهذا يتبع من تعريف السلاسل المشتركة أعلاه.

إذا كان تأثير G على M تافهًا ، فإن ما سبق يختزل إلى H ¹ ( G , M ) = Hom( G , M )، وهي مجموعة تشاكلات المجموعة G → M ، لأن التشاكلات المتقاطعة هي مجرد تشاكلات عادية ، ويجب أن تكون صورة الحدود المشتركة (أي التشاكلات المتقاطعة الرئيسية) مساوية للصفر تمامًا: وبالتالي لا يوجد سوى الحد المشترك الصفري.

من ناحية أخرى، لننظر في حالة${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$أين${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$يشير إلى غير التافه${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$- بنية على المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة، والتي ترسل a إلى -a لكل${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$وحيثما نعتبر${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$بصفتها المجموعة${\displaystyle \{\pm 1\}}$من خلال النظر في جميع الحالات الممكنة لصور${\displaystyle \{1,-1\}}$يمكن ملاحظة أن التشاكلات المتقاطعة تشكل جميع الخرائط${\displaystyle f_{t}:\{\pm 1\}\to \mathbb {Z} }$مُرضٍ${\displaystyle f_{t}(1)=0}$و${\displaystyle f_{t}(-1)=t}$لأي اختيار عشوائي لعدد صحيح t . يجب أن تحقق التشاكلات المتقاطعة الرئيسية أيضًا ما يلي${\displaystyle f_{t}(-1)=(-1)*m-m=-2m}$لبعض الأعداد الصحيحة m : ومن ثم كل تشاكل متقاطع${\displaystyle f_{t}}$إرسال -1 إلى عدد صحيح زوجي${\displaystyle t=-2m}$هو مبدأ، وبالتالي:

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2={\rm {\ (say)\ {\it {}}}}\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle ,}$

مع كون عملية المجموعة هي الجمع النقطي:${\displaystyle (f_{s}+f_{t})(x)=f_{s}(x)+f_{t}(x)=f_{s+t}(x)}$مع ملاحظة أن${\displaystyle f_{0}}$هو عنصر الهوية .

إذا كانت M وحدة نمطية تافهة على G (أي أن تأثير G على M تافه)، فإن مجموعة التماثل الثانية ^H₂ ( G , M ) تتطابق تطابقًا تامًا مع مجموعة الامتدادات المركزية للمجموعة G بواسطة المجموعة الجمعية لـ M (حتى علاقة تكافؤ طبيعية ). وبشكل أعم، إذا كان تأثير G على M غير تافه، ^فإن H₂ ( G , M ) تصنف فئات التشاكل لجميع امتدادات المجموعة.${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 0}$من G بواسطة M، حيث أن تأثير G على E (عن طريق التشاكلات الداخلية )، يمنح (صورة) M بنية G -module متماثلة مع M.

في المثال الوارد في القسم الخاص بـ${\displaystyle H^{1}}$مباشرة في الأعلى،${\displaystyle H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,}$باعتبارها الامتداد الوحيد لـ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$بواسطة${\displaystyle \mathbb {Z} }$مع الفعل غير التافه المعطى، تكون المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية هي امتداد منقسم (ضرب شبه مباشر) وبالتالي تافهة داخل${\displaystyle H^{2}}$المجموعة. هذه في الواقع هي أهمية العنصر الفريد غير التافه من منظور نظرية المجموعات.${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})}$.

مثال على مجموعة التماثل الثانية هو مجموعة براور : إنها تماثل مجموعة غالوا المطلقة للحقل k والتي تؤثر على العناصر القابلة للعكس في إغلاق قابل للفصل :

${\displaystyle H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).}$

يصنف هذا التصنيف جبر القسمة على k . انظر أيضًا.

بالنسبة للمجموعة الدورية المنتهية${\displaystyle G=C_{m}}$من النظام${\displaystyle m}$مع مولد كهربائي${\displaystyle \sigma }$العنصر${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$في حلقة المجموعة المرتبطة ، يكون قاسمًا للصفر لأن حاصل ضربه مع${\displaystyle N}$، مقدمة من $${\displaystyle N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G],}$$ أعطِ $${\displaystyle {\begin{aligned}N(1-\sigma )&=1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&\quad -\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\&=1-\sigma ^{m}\\&=0.\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام هذه الخاصية لإنشاء حل ^{[ 4 ] [ 5 ]} للمسألة التافهة${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-وحدة${\displaystyle \mathbb {Z} }$عبر المجمع $${\displaystyle \cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\text{aug}} \mathbb {Z} \to 0}$$ إعطاء حساب تماثل المجموعة لأي${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-وحدة${\displaystyle A}$لاحظ أن خريطة التوسيع تعطي الوحدة النمطية البسيطة${\displaystyle \mathbb {Z} }$إنه${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$-هيكل بواسطة $${\displaystyle {\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}}$$

يُتيح هذا الحل حسابًا لتماثل المجموعة نظرًا لوجود تماثل بين مجموعات التماثل. $${\displaystyle H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)}$$ مما يدل على أن تطبيق الدالة${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)}$إلى المجمع أعلاه (مع${\displaystyle \mathbb {Z} }$تم حذف هذا الجزء لأن هذا الحل هو شبه تماثل ، مما يعطي الحساب. $${\displaystyle H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$$ ل $${\displaystyle {}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}}$$ على سبيل المثال، إذا${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$، الوحدة التافهة، إذن${\displaystyle \mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z} }$،${\displaystyle N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$، و${\displaystyle {}_{N}\mathbb {Z} =0}$، لذلك$${\displaystyle H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$$

مجموعات التماثل للمجموعة الأبيلية الحرة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$يمكن حسابها بشكل صريح تمامًا. فضاء تصنيفي لـ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$يتم تحديده بواسطة${\displaystyle n}$حلقة ذات أبعاد${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$استخدام بنية خلوية بسيطة لـ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$يسمح بحساب ذلك${\displaystyle H^{k}(\mathbb {T} ^{n},\mathbb {Z} )}$متماثل مع${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}}$ثمة طريقة بديلة للوصول إلى هذه الصيغة وهي ملاحظة أن${\displaystyle n}$الطارة ذات الأبعاد n هي حاصل الضرب الديكارتي لـ${\displaystyle n}$استخدم الدوائر وصيغة كونيث .

عمليًا، غالبًا ما يتم حساب مجموعات التماثل باستخدام الحقيقة التالية: إذا

${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$

إذا كانت لدينا متتالية دقيقة قصيرة من وحدات G ، فسيتم استنتاج متتالية دقيقة طويلة:

${\displaystyle 0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots }$

ما يسمى بالتشاكلات الرابطة ،

${\displaystyle \delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}$

يمكن وصفها من حيث السلاسل المشتركة غير المتجانسة على النحو التالي. ^{[ 10 ]} إذا${\displaystyle c\in H^{n}(G,N)}$يتم تمثيلها بواسطة دورة مشتركة من الرتبة n${\displaystyle \phi :G^{n}\to N,}$ثم${\displaystyle \delta ^{n}(c)}$يمثلها${\displaystyle d^{n}(\psi ),}$أين${\displaystyle \psi }$هي سلسلة مشتركة من n${\displaystyle G^{n}\to M}$"رفع"${\displaystyle \phi }$(أي${\displaystyle \phi }$هو تكوين${\displaystyle \psi }$مع الخريطة الشاملة M → N ).

تعتمد تماثلية المجموعة بشكل متباين على المجموعة G ، بالمعنى التالي: إذا كان f  : H → G تشاكلًا بين المجموعات ، فإنه يوجد لدينا تشاكل مستحث طبيعيًا H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( H , M ) (حيث تُعامل M في الحالة الأخيرة كوحدة نمطية H عبر f ). يُسمى هذا التشاكل بتشاكل التقييد . إذا كان دليل H في G محدودًا، فإنه يوجد أيضًا تشاكل في الاتجاه المعاكس، يُسمى تشاكل النقل ^{[ 11 ]} .

${\displaystyle cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).}$

في الدرجة 0، يتم تحديدها بواسطة الخريطة

${\displaystyle {\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}}$

بالنظر إلى تشاكل G -modules M → N ، يحصل المرء على تشاكل مجموعات التماثل في H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( G , N ).

على غرار نظريات التماثل الأخرى في الطوبولوجيا والهندسة، مثل التماثل الفردي أو تماثل دي رام ، يتمتع تماثل المجموعة ببنية منتج: هناك خريطة طبيعية تسمى منتج الكأس :

${\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}$

لأي وحدتين من وحدات G، M و N. ينتج عن ذلك بنية حلقية متدرجة مضادة للتبديل على${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),}$حيث R هي حلقة مثل${\displaystyle \mathbb {Z} }$أو${\displaystyle \mathbb {Z} /p.}$بالنسبة لمجموعة منتهية G ، فإن الجزء الزوجي من حلقة التماثل هذه في الخاصية p ،${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)}$يحمل الكثير من المعلومات حول المجموعة وبنية G ، على سبيل المثال، بُعد كرول لهذه الحلقة يساوي الرتبة القصوى لمجموعة فرعية أبيلية${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{r}}$[ ^{12 ]​}

على سبيل المثال، لنفترض أن G هي المجموعة التي تحتوي على عنصرين، في ظل الطوبولوجيا المنفصلة. الفضاء الإسقاطي الحقيقي${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$هي فضاء تصنيفي لـ G. ليكن${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$حقل عنصرين. ثم

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x],}$

جبر متعدد الحدود من الرتبة k على مولد واحد، لأن هذه هي حلقة التماثل الخلوي لـ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

إذا كان M = k حقلاً، فإن H* ( G ; k ) هو جبر متدرج من الرتبة k ، وترتبط تماثلية حاصل ضرب المجموعات بتماثلية المجموعات الفردية بواسطة صيغة كونيث :

${\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).}$

على سبيل المثال، إذا كانت G زمرة تبديلية أولية من الرتبة r ، و${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$ثم تُظهر صيغة كونيث أن علم التماثل لـ G هو جبر متعدد الحدود k- مُوَلَّد بواسطة r فئة في H ¹ ( G ; k ).

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].}$

أما بالنسبة لنظريات التماثل الأخرى، مثل التماثل الفردي ، والتماثل الجماعي، والتماثل، فهي مرتبطة ببعضها البعض عن طريق سلسلة دقيقة قصيرة ^{[ 13 ].}

${\displaystyle 0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,}$

حيث أن A مزودة بالفعل G التافه والحد الموجود على اليسار هو المجموعة الخارجية الأولى .

بفرض وجود مجموعة A وهي مجموعة جزئية من مجموعتين G1 و G2 _{، فإن} تماثل الناتج المدمج${\displaystyle G:=G_{1}\star _{A}G_{2}}$(بمعاملات صحيحة) يقع في متتالية تامة طويلة

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots }$

تشابه${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6}$يمكن حساب ذلك باستخدام هذا:

${\displaystyle H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

يمكن تطبيق هذا التسلسل الدقيق أيضًا لإظهار أن تماثل${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k[t])}$والمجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k)}$يتفق على حقل لانهائي k . ^{[ 14 ]}

تربط متتالية هوتشيلد -سير الطيفية بين تماثل الزمرة الجزئية الطبيعية N من G وحاصل القسمة G/N بتماثل الزمرة G (للزمر G (شبه) المنتهية ). ومنها، نحصل على المتتالية التامة للتضخم والتقييد .

توجد طريقة لحساب حاصل الضرب شبه المباشر للمجموعات باستخدام طوبولوجيا التليفات وخصائص فضاءات إيلنبرغ-ماكلين. تذكر أنه بالنسبة لحاصل الضرب شبه المباشر للمجموعات${\displaystyle G=N\rtimes H}$توجد سلسلة قصيرة محددة مرتبطة بها من المجموعات

${\displaystyle 1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1}$

باستخدام فضاءات إيلنبرغ-ماكلين المرتبطة بها، يوجد تليف سير.

${\displaystyle K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)}$

والتي يمكن تمريرها عبر تسلسل طيفي لسير . وهذا يعطي${\displaystyle E_{2}}$-صفحة

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))}$

والذي يقدم معلومات حول تماثل المجموعة لـ${\displaystyle G}$من مجموعات التماثل الجماعي لـ${\displaystyle H,N}$لاحظ أنه يمكن تطبيق هذا الشكل بطريقة نظرية المجموعة البحتة باستخدام التسلسل الطيفي ليندون-هوشيلد-سير .

جميع زمر التماثل H ^_n ( G , M ) للزمر المنتهية G هي زمر التواء لجميع قيم n ≥ 1. في الواقع، وفقًا لنظرية ماشكه، فإن فئة تمثيلات الزمرة المنتهية شبه بسيطة على أي حقل ذي خاصية صفرية (أو بشكل أعم، أي حقل لا تقسم خاصيته رتبة الزمرة)، وبالتالي، عند اعتبار تماثل الزمرة دالة مشتقة في هذه الفئة الأبيلية ، نجد أنه يساوي صفرًا. الحجة الأخرى هي أنه على حقل ذي خاصية صفرية، يكون جبر الزمرة المنتهية مجموعًا مباشرًا لجبر المصفوفات (ربما على جبر القسمة الذي هو امتداد للحقل الأصلي)، بينما يكون جبر المصفوفات مكافئًا لموريتا لحقله الأساسي، وبالتالي يكون له تماثل تافه.

إذا كان ترتيب G قابلاً للعكس في وحدة G -module M (على سبيل المثال، إذا كانت M هي${\displaystyle \mathbb {Q} }$في فضاء المتجهات ، يمكن استخدام خريطة النقل لإثبات ذلك.${\displaystyle H^{n}(G,M)=0}$ل${\displaystyle n\geqslant 1.}$ومن التطبيقات النموذجية لهذه الحقيقة ما يلي: تسلسل التماثل التام الطويل للتسلسل التام القصير (حيث يكون لجميع المجموعات الثلاث تأثير G تافه ).

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to 0}$

ينتج عنه تماثل

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).}$

تجمع مجموعات تيت للتماثل بين كل من التماثل والتماثل لمجموعة منتهية G :

${\displaystyle {\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}}$

أين${\displaystyle N:M_{G}\to M^{G}}$يتم استخلاصها بواسطة خريطة المعيار:

${\displaystyle {\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}}$

تتمتع نظرية تيت للتماثل بخصائص مماثلة، مثل المتتاليات التامة الطويلة، وبنى الضرب. ومن تطبيقاتها المهمة نظرية حقول الفئات ، انظر تكوين الفئات .

علم التماثل التاتيمي للمجموعات الدورية المنتهية ،${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n,}$هي دورية من الدرجة 2 بمعنى وجود تماثلات

${\displaystyle {\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .}$

يُعدّ شرطًا ضروريًا وكافيًا لعلم التماثل الدوري من الرتبة d أن تكون الزمر الفرعية الأبيلية الوحيدة في G دورية. ^{[ 15 ]} على سبيل المثال، أي جداء شبه مباشر${\displaystyle \mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m}$تتمتع هذه الخاصية للأعداد الصحيحة الأولية فيما بينها n و m .

ترتبط نظرية K الجبرية ارتباطًا وثيقًا بعلم تماثل المجموعات: في بناء كويلين الموجب لنظرية K، تُعرَّف نظرية K لحلقة R على أنها مجموعات التماثل لفضاء${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}.}$هنا${\displaystyle \mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)}$هي المجموعة الخطية العامة اللانهائية . الفضاء${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}}$له نفس التماثل مثل${\displaystyle \mathrm {BGL} (R),}$أي ، تماثل المجموعة GL( R ). في بعض الحالات، تؤكد نتائج الاستقرار أن تسلسل مجموعات التماثل

${\displaystyle \dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots }$

يصبح ثابتًا لقيم n الكبيرة بما يكفي ، وبالتالي يقلل حساب تماثل المجموعة الخطية العامة اللانهائية إلى حساب بعض${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$وقد تم إثبات هذه النتائج عندما يكون R حقلاً ^{[ 16 ]} أو لحلقات الأعداد الصحيحة في حقل عددي . ^{[ 17 ]}

ظاهرة التماثل الجماعي لسلسلة من المجموعات${\displaystyle G_{n}}$يُشار إلى الاستقرار باسم الاستقرار الهومولوجي . بالإضافة إلى الحالة${\displaystyle G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)}$كما ذكرنا للتو، ينطبق هذا على مجموعات أخرى متنوعة مثل المجموعات المتناظرة أو مجموعات فئات التعيين .

في ميكانيكا الكم، غالباً ما يكون لدينا أنظمة ذات مجموعة تناظر${\displaystyle G.}$نتوقع إجراءً من${\displaystyle G}$في مساحة هيلبرت${\displaystyle {\mathcal {H}}}$بواسطة المصفوفات الوحدوية${\displaystyle U(g).}$قد نتوقع${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),}$لكن قواعد ميكانيكا الكم لا تتطلب سوى

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),}$

أين${\displaystyle \exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)}$هي مرحلة. هذا التمثيل الإسقاطي لـ${\displaystyle G}$ويمكن اعتبارها أيضًا تمثيلًا تقليديًا لامتداد المجموعة${\displaystyle {\tilde {G}}}$ل${\displaystyle G}$بواسطة${\displaystyle \mathrm {U} (1),}$كما هو موضح في التسلسل الدقيق

${\displaystyle 1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.}$

يتطلب الترابط

${\displaystyle U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})}$

يؤدي إلى

${\displaystyle \omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,}$

وهو ما نعتبره البيان الذي${\displaystyle d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,}$أي أن${\displaystyle \omega }$هي دورة مشتركة تأخذ قيمًا في${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).}$يمكننا أن نتساءل عما إذا كان بإمكاننا إلغاء المراحل عن طريق إعادة تعريفها.

${\displaystyle U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)}$

وهذا ما يغير

${\displaystyle \omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

هذا ما نعتبره تحولاً${\displaystyle \omega }$بواسطة حدود مشتركة${\displaystyle \omega \to \omega +d\eta .}$وبالتالي، يتم تصنيف التمثيلات الإسقاطية المتميزة حسب${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).}$لاحظ أنه إذا سمحنا للمجموعة بالتأثير على الأطوار نفسها (على سبيل المثال، عكس الزمن سيؤدي إلى اقتران الطور بالمركب)، فإن الحد الأول في كل عملية من عمليات الحدود المشتركة سيكون له${\displaystyle g_{1}}$العمل عليها كما في التعريفات العامة للحدود المشتركة في الأقسام السابقة. على سبيل المثال،${\displaystyle d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

بالنظر إلى مجموعة طوبولوجية G ، أي مجموعة مزودة بطوبولوجيا بحيث يكون حاصل الضرب والمعكوس دالتين متصلتين، فمن الطبيعي النظر في وحدات G المتصلة ، أي اشتراط أن يكون الفعل

${\displaystyle G\times M\to M}$

هي دالة متصلة. بالنسبة لهذه الوحدات، يمكن للمرء أن ينظر مرة أخرى في الدالة المشتقة لـ${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$تُعدّ حالة خاصة في الجبر ونظرية الأعداد عندما تكون G مجموعة منتهية ، مثل زمرة غالوا المطلقة لحقل ما. ويُطلق على علم التماثل الناتج اسم علم تماثل غالوا .

باستخدام الثوابت G والسلاسل المرافقة من الرتبة 1، يمكن بناء علم التماثل الصفري والأول لمجموعة G ذات معاملات في مجموعة غير تبديلية. تحديدًا، المجموعة G هي مجموعة A (ليست بالضرورة تبديلية) بالإضافة إلى تأثير من G.

يُعرَّف التماثل الصفري للمجموعة G بمعاملات في A بأنه المجموعة الفرعية

${\displaystyle H^{0}(G,A)=A^{G},}$

من عناصر المجموعة A الثابتة بواسطة المجموعة G.

يُعرَّف التماثل الأول لـ G بمعاملات في A على أنه دورات مشتركة من الدرجة 1 بتردد علاقة تكافؤ بدلاً من الحدود المشتركة من الدرجة 1. شرط التطبيق${\displaystyle \varphi }$أن تكون دورة أحادية هو ذلك${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]}$و${\displaystyle \ \varphi \sim \varphi '}$إذا كان هناك حرف a في A بحيث${\displaystyle \ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)}$. على العموم،${\displaystyle H^{1}(G,A)}$لا تُعتبر مجموعة عندما تكون A غير تبديلية. بل لها بنية مجموعة مُشار إليها – ويحدث الوضع نفسه تمامًا في مجموعة التماثل الصفرية .${\displaystyle \ \pi _{0}(X;x)}$والتي، بالنسبة للفضاء الطوبولوجي العام، ليست زمرة بل مجموعة مُشار إليها. لاحظ أن الزمرة هي على وجه الخصوص مجموعة مُشار إليها، حيث يكون عنصرها المحايد هو النقطة المميزة.