مفارقة كلاين

في ميكانيكا الكم النسبية ، كانت مفارقة كلاين تأثيرًا غير متوقع للنسبية على تنبؤات نظرية النفق الكمومي للجسيمات التي تواجه حواجز طاقة كامنة عالية. تُعرف هذه الظاهرة الآن باسم نفق كلاين ، نسبةً إلى الفيزيائي أوسكار كلاين الذي اكتشفها عام 1929. ^{[ 1 ]} في الأصل، حصل كلاين على نتيجة متناقضة بتطبيق معادلة ديراك على مشكلة تشتت الإلكترونات المألوفة من حاجز طاقة كامنة . في ميكانيكا الكم غير النسبية، يُلاحظ نفق الإلكترونات إلى داخل الحاجز مع تخامد أسي . ومع ذلك، أظهرت نتيجة كلاين أنه إذا كانت الطاقة الكامنة على الأقل من رتبة كتلة الإلكترون، فإن نفق الإلكترونات إلى داخل الحاجز يحدث.${\displaystyle Ve\approx mc^{2}}$(حيث V هو الجهد الكهربائي ، وe هي الشحنة الأولية ، وm هي كتلة الإلكترون، و c هي سرعة الضوء )، يكون الحاجز شبه شفاف. علاوة على ذلك، مع اقتراب الجهد من اللانهاية، يتضاءل الانعكاس وينفذ الإلكترون دائمًا.

كان التطبيق المباشر لهذه المفارقة على نموذج رذرفورد للبروتون والإلكترون للجسيمات المتعادلة داخل النواة، قبل اكتشاف النيوترون الذي جعل النموذج متقادمًا. وقدّمت المفارقة اعتراضًا ميكانيكيًا كميًا على فكرة حصر الإلكترون داخل النواة. ^{[ 2 ]} وأشارت هذه المفارقة الواضحة والدقيقة إلى أنه لا يمكن حصر الإلكترون داخل النواة بواسطة أي بئر جهد . وقد نوقش معنى هذه المفارقة بشدة من قبل نيلز بور وآخرين في ذلك الوقت. ^{[ 2 ]}

بالنسبة للجسيمات الضخمة، تكون شدة المجال الكهربائي اللازمة لملاحظة التأثير هائلة. ويحدث تغير في طاقة الوضع الكهربائية مماثل لطاقة السكون للجسيم الوارد.${\displaystyle mc^{2}}$، يجب أن يحدث ذلك على طول موجة كومبتون للجسيم،${\displaystyle \hbar /mc}$، وهو ما يعادل${\displaystyle 10^{16}~{\text{V}}/{\text{cm}}}$بالنسبة للإلكترونات. ^{[ 3 ]} بالنسبة للإلكترونات، قد تكون هذه المجالات الشديدة ذات صلة فقط في${\displaystyle Z>170}$النوى أو التبخر عند أفق حدث الثقوب السوداء ، ولكن بالنسبة للجسيمات شبه ثنائية الأبعاد عند وصلات pn في الجرافين، والتي تكون المجالات الكهربائية المطلوبة من رتبة${\displaystyle 10^{5}~{\text{V}}/{\text{cm}}}$وقد دُرست هذه الظاهرة نظرياً وتجريبياً. ^{[ 3 ] [ 4 ] : ​​421 [ 5 ]}

نشر أوسكار كلاين الورقة التي تصف ما أصبح فيما بعد يسمى مفارقة كلاين في عام 1929، ^{[ 1 ]} تمامًا كما كان الفيزيائيون يتصارعون مع مشكلتين: كيفية الجمع بين نظريات النسبية وميكانيكا الكم وكيفية فهم اقتران المادة والضوء المعروف باسم الديناميكا الكهربائية.

درس كلاين المسألة الكمومية المتعلقة بجسيمات حرة تصطدم بجهد كهروستاتيكي متدرج. عند إهمال النسبية، يكون لهذه المسألة حلان. ينطبق الحل الأول عندما تكون الطاقة الحركية للجسيمات المقتربة من الحاجز أقل من طاقة الجهد المتدرج: تنعكس الجسيمات. أما إذا كانت طاقة الجسيمات أكبر من طاقة الجهد المتدرج، فإن بعضها ينفذ عبر الجهد المتدرج، بينما ينعكس البعض الآخر. وتعتمد نسبة الانعكاس إلى النفاذ على فرق الطاقة. تضيف النسبية حلاً ثالثاً: إذ يبدو أن الجهود المتدرجة شديدة الانحدار تُنشئ جسيمات وجسيمات مضادة، مما يُغير النسبة المحسوبة للنفاذ والانعكاس. على وجه الخصوص، يظل النفاذ محدوداً حتى عندما يُفترض أن الجهد المتدرج كبيرٌ جداً. لا تستطيع ميكانيكا الكم أحادية الجسيم، الموصوفة بمعادلة شرودنغر ومعادلة ديراك، وصف عملية إنشاء الجسيمات، مما يعني أنه لم يكن من الممكن صياغة حل حقيقي للمسألة آنذاك. ^{[ 6 ]} قبل اكتشاف الجسيمات المضادة وتطوير نظرية الحقل الكمومي، لم يكن هذا الحل الثالث مفهوماً. وقد عُرفت هذه المعضلة باسم مفارقة كلاين. ^{[ 7 ]}

أثارت هذه المفارقة تساؤلات حول كيفية إضافة النسبية إلى ميكانيكا الكم في محاولة ديراك الأولى. وقد استلزم الأمر تطوير نظرية الحقل الكمومي الجديدة ، التي طُوّرت في الأصل للديناميكا الكهربائية، لإيجاد حل كامل للمشكلة التي تناولها كلاين. وهكذا، فإن خلفية هذه المفارقة تتألف من مسارين: تطور ميكانيكا الكم وتطور الديناميكا الكهربائية الكمومية . ^{[ 8 ] : 350}

لنفترض جسيمًا نسبيًا له كتلة${\displaystyle m}$والطاقة${\displaystyle E}$الاقتراب من خطوة محتملة للارتفاع${\displaystyle V_{0}>E+mc^{2}}$يقع في${\displaystyle x=0}$عند وقوع الحادث بشكل طبيعي.

يمكننا دراسة هذه المسألة باستخدام معادلة ديراك غير المعتمدة على الزمن . يستخدم هذا الاشتقاق الصيغة ثنائية الأبعاد لمعادلة ديراك لأنها أبسط مع الحفاظ على المفارقة.

${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi }$،

حيث تكون الدالة الموجية عبارة عن سبينور ثنائي المكونات

${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\end{pmatrix}}}$،

والهاميلتوني هو

${\displaystyle {\hat {H}}=-i\hbar {\hat {\vec {\sigma }}}\nabla +V({\vec {x}}){\hat {I}}_{2}+mc^{2}{\hat {\sigma }}_{z}}$،

حيث${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$'s هي مصفوفات باولي ،${\displaystyle {\hat {I}}_{2}}$هي مصفوفة الوحدة، و${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء . وبافتراض أن الجسيم ينتشر في اتجاه المحور السيني، فإن هذه المعادلات تختزل إلى

${\displaystyle i\hbar c{\frac {d\psi _{2}}{dx}}=[E-mc^{2}-V(x)]\psi _{1}}$،

${\displaystyle i\hbar c{\frac {d\psi _{1}}{dx}}=[E+mc^{2}-V(x)]\psi _{2}}$.

بافتراض أن الجسيم ينتشر من اليسار، نحصل على حلين  - أحدهما قبل الخطوة، في المنطقة (I) والآخر تحت الجهد، في المنطقة (II):

${\displaystyle \Psi _{\text{I}}=e^{ikx}\left({\begin{matrix}1\\\alpha \end{matrix}}\right)+re^{-ikx}\left({\begin{matrix}1\\-\alpha \end{matrix}}\right)}$،

${\displaystyle \Psi _{\text{II}}=te^{iqx}\left({\begin{matrix}1\\1/\beta \end{matrix}}\right)}$،

حيث يمثل المعاملان r و t أعدادًا مركبة تمثل الانعكاس والنفاذية على التوالي،

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {E^{2}-m^{2}c^{4}}}{\hbar c}}}$

يمثل متجه الموجة قبل خطوة الجهد،

${\displaystyle q=-{\frac {\sqrt {(V_{0}-E)^{2}-m^{2}c^{4}}}{\hbar c}}}$

يمثل متجه الموجة بعد خطوة الجهد (وهو سالب لأن سرعة المجموعة لجسيم ذي${\displaystyle E+mc^{2}<V_{0}}$(وهو عكس ذلك، مما يتطلب علامة الطرح لضمان تحركه من اليسار إلى اليمين).

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {E-mc^{2}}{E+mc^{2}}}}}$،

و

${\displaystyle \beta ={\sqrt {\frac {V_{0}-E-mc^{2}}{V_{0}-E+mc^{2}}}}}$.

انطلاقاً من استمرارية الدالة الموجية، يمكننا أن نجد أن

${\displaystyle 1+r=t}$،

${\displaystyle \alpha (1-r)=t/\beta }$.

حل هذا النظام من المعادلات يعطي

${\displaystyle r={\frac {\alpha \beta -1}{\alpha \beta +1}}}$.

ثم، يُعطى معامل الانعكاس (الذي يمكن تفسيره على أنه احتمال انعكاس جسيم وارد بواسطة خطوة الجهد) بالعلاقة التالية

${\displaystyle R=r^{2}=\left({\frac {\alpha \beta -1}{\alpha \beta +1}}\right)^{2}}$،

ويمكن حساب معامل النقل على النحو التالي

${\displaystyle T=1-R=1-\left({\frac {\alpha \beta -1}{\alpha \beta +1}}\right)^{2}}$.

وبالتالي، يظل معدل النقل محدودًا عندما${\displaystyle V_{0}\rightarrow \infty }$هذه نتيجة غير بديهية مقارنةً بميكانيكا الكم غير النسبية (حيث يُتوقع أن يؤول النقل إلى الصفر)، ولهذا سُميت هذه الظاهرة بمفارقة كلاين. ^{[ 7 ] [ 11 ]}

إحدى نتائج هذه المعادلة هي أنه بالنسبة للجسيمات عديمة الكتلة، فإن احتمالية الانتقال تساوي دائمًا واحدًا بالضبط، بغض النظر عن ارتفاع حاجز الجهد. وتكتسب هذه النتيجة أهمية خاصة نظرًا لأن الإلكترونات في الجرافين تتصرف كجسيمات عديمة الكتلة تخضع لمعادلة ديراك. ^{[ 11 ]}

تستخدم الدقة الكاملة إنتاج أزواج الجسيمات والجسيمات المضادة في سياق نظرية الحقل الكمومي . ^{[ 10 ]}

نظرًا لأن الإلكترونات حول مستوى فيرمي في الجرافين تخضع لصيغة من معادلة ديراك، فمن المتوقع نظريًا حدوث نفق كلاين فيه. في هذا النظام، يمكن أن تكون فجوة الجهد عبارة عن وصلة p-n . في مثال وصلة ap-n-p، يمكن تفسير نفق الإلكترون عبر حاجز الجهد على أنه تحول الإلكترون لفترة وجيزة إلى فجوة داخل الحاجز، ثم عودته إلى إلكترون مرة أخرى على الجانب الآخر. خلال هذه العملية، لم يشغل الإلكترون أبدًا حالة محظورة كلاسيكيًا. ^{[ 11 ]}

إن رصد ظاهرة نفق كلاين في الجرافين تجريبياً ليس بالأمر الهين، لأن مقاومة العينة لا تتحدد فقط بفعل النفق، بل أيضاً بعوامل أخرى كالتشوه . وبأخذ هذه العوامل في الحسبان، تُقدم قياسات المقاومة المباشرة دليلاً على حدوث نفق كلاين في وصلات p-n في عينات الجرافين. ^{[ 13 ]}

كما تُظهر تجارب التداخل الكمومي عبر وصلة p-n-p كاملة أدلة على نفق كلاين. ^{[ 5 ]}

• قائمة المفارقات
• معادلة ديراك
• الجرافين

• تشنغ، ت.؛ سو، ك.؛ غروب، ر. (يوليو 2010). "مراجعة تمهيدية لنظرية الحقل الكمومي بدقة مكانية-زمانية" . الفيزياء المعاصرة . 51 (4): 315-330 . Bibcode : 2010ConPh..51..315C . doi : 10.1080/00107510903450559 . ISSN 0010-7514 . 
• دومبي، ن؛ كالوجيراكوس، أ. (يوليو 1999). "سبعون عامًا على مفارقة كلاين". تقارير الفيزياء . 315 ( 1-3 ): 41-58 . Bibcode : 1999PhR...315...41D . doi : 10.1016/S0370-1573(99)00023-X .
• روبنسون، تي آر (2012). "حول نفق كلاين في الجرافين". المجلة الأمريكية للفيزياء . 80 (2): 141-147 . Bibcode : 2012AmJPh..80..141R . doi : 10.1119/1.3658629 .