صيغة الكتلة شبه التجريبية

على المدى${\displaystyle a_{\text{V}}A}$يُعرف هذا المصطلح بمصطلح الحجم . حجم النواة يتناسب مع A ، لذا فإن هذا المصطلح يتناسب مع الحجم، ومن هنا جاءت التسمية.

أساس هذا المصطلح هو القوة النووية القوية . تؤثر القوة القوية على كل من البروتونات والنيوترونات، وكما هو متوقع، فإن هذا المصطلح مستقل عن العدد الذري Z. لأن عدد الأزواج التي يمكن الحصول عليها من جسيمات A هو${\displaystyle A(A-1)/2}$قد يتوقع المرء مصطلحًا يتناسب مع${\displaystyle A^{2}}$ومع ذلك، فإن للقوة النووية القوية مدى محدود للغاية، ولا يمكن لأي نيوكليون أن يتفاعل بقوة إلا مع أقرب جيرانه وجيرانه الأقرب التاليين. لذلك، فإن عدد أزواج الجسيمات التي تتفاعل فعليًا يتناسب تقريبًا مع A ، مما يعطي مصطلح الحجم شكله.

المعامل${\displaystyle a_{\text{V}}}$أصغر من طاقة الربط التي تمتلكها النيوكليونات بالنسبة لجيرانها (${\displaystyle E_{\text{b}}}$تبلغ طاقتها حوالي 40 ميغا إلكترون فولت . ويعود ذلك إلى أنه كلما زاد عدد النيوكليونات في النواة، زادت طاقتها الحركية ، وذلك وفقًا لمبدأ استبعاد باولي . إذا اعتبرنا النواة كرة فيرمي من ${\displaystyle A}$إذا كانت النيوكليونات تحتوي على أعداد متساوية من البروتونات والنيوترونات، فإن الطاقة الحركية الكلية هي${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A\varepsilon _{\text{F}}}$، مع${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$طاقة فيرمي ، والتي تُقدّر بنحو 38 ميغا إلكترون فولت . وبالتالي فإن القيمة المتوقعة لـ ${\displaystyle a_{\text{V}}}$في هذا النموذج هو${\displaystyle E_{\text{b}}-{\tfrac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}\sim 17~\mathrm {MeV} ,}$ليس بعيدًا عن القيمة المقاسة.

على المدى${\displaystyle a_{\text{S}}A^{2/3}}$يُعرف هذا المصطلح باسم مصطلح السطح . هذا المصطلح، الذي يعتمد أيضًا على القوة النووية القوية، هو تصحيح لمصطلح الحجم.

يشير مصطلح الحجم إلى أن كل نيوكليون يتفاعل مع عدد ثابت من النيوكليونات، بغض النظر عن A. وبينما يكاد هذا ينطبق على النيوكليونات الموجودة في أعماق النواة، فإن النيوكليونات الموجودة على سطح النواة لديها عدد أقل من النيوكليونات المجاورة، مما يبرر هذا التصحيح. ويمكن اعتبار هذا أيضًا مصطلحًا للتوتر السطحي، وبالفعل، توجد آلية مماثلة تُنشئ التوتر السطحي في السوائل.

إذا كان حجم النواة يتناسب مع A ، فإن نصف القطر يجب أن يتناسب مع${\displaystyle A^{1/3}}$ومساحة السطح لـ${\displaystyle A^{2/3}}$وهذا يفسر سبب كون الحد السطحي متناسبًا مع${\displaystyle A^{2/3}}$ويمكن استنتاج ذلك أيضاً.${\displaystyle a_{\text{S}}}$ينبغي أن يكون له حجم مماثل لـ${\displaystyle a_{\text{V}}}$.

على المدى${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$أو${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$يُعرف باسم مصطلح كولوم أو المصطلح الكهروستاتيكي .

يرتكز هذا المصطلح على التنافر الكهروستاتيكي بين البروتونات. وبتقريب شديد، يمكن اعتبار النواة كرة ذات كثافة شحنة منتظمة . ويمكن إثبات أن طاقة الوضع لمثل هذا التوزيع للشحنة هي

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}},}$

حيث Q هي الشحنة الكلية، و R هو نصف قطر الكرة. قيمة${\displaystyle a_{\text{C}}}$يمكن حسابها تقريبًا باستخدام هذه المعادلة لحساب طاقة الوضع، باستخدام نصف قطر نووي تجريبي قدره${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$و Q = Ze . ومع ذلك، ولأن التنافر الكهروستاتيكي لن يوجد إلا لأكثر من بروتون واحد،${\displaystyle Z^{2}}$يصبح${\displaystyle Z(Z-1)}$:

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(Ze)^{2}}{r_{0}A^{1/3}}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}=a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}},}$

حيث الآن ثابت كولوم الكهروستاتيكي${\displaystyle a_{\text{C}}}$يكون

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}.}$

باستخدام ثابت البنية الدقيقة ، يمكننا إعادة كتابة قيمة${\displaystyle a_{\text{C}}}$مثل

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}={\frac {3}{5}}{\frac {R_{\text{P}}}{r_{0}}}\alpha m_{\text{p}}c^{2},}$

أين${\displaystyle \alpha }$هو ثابت البنية الدقيقة، و${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$يمثل نصف قطر النواة ، مما يعطي${\displaystyle r_{0}}$لتكون حوالي 1.25 فيمتومتر . ${\displaystyle R_{\text{P}}}$هو طول موجة كومبتون المختزلة للبروتون ، و${\displaystyle m_{\text{p}}}$كتلة البروتون. وهذا يعطي${\displaystyle a_{\text{C}}}$قيمة نظرية تقريبية تبلغ 0.691 ميغا إلكترون فولت ، وهي ليست بعيدة عن القيمة المقاسة. 

على المدى${\displaystyle a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$يُعرف باسم مصطلح عدم التماثل (أو مصطلح باولي ).

إن التبرير النظري لهذا المصطلح أكثر تعقيدًا. ينص مبدأ استبعاد باولي على أنه لا يمكن لجسيمين متطابقين من الفرميونات أن يشغلا نفس الحالة الكمومية تمامًا في الذرة. عند مستوى طاقة معين، لا يتوفر للجسيمات إلا عدد محدود من الحالات الكمومية. وهذا يعني في النواة أنه مع إضافة المزيد من الجسيمات، يجب أن تشغل هذه الجسيمات مستويات طاقة أعلى، مما يزيد من الطاقة الكلية للنواة (ويقلل من طاقة الربط). تجدر الإشارة إلى أن هذا التأثير لا يعتمد على أي من القوى الأساسية ( الجاذبية ، الكهرومغناطيسية، إلخ)، بل على مبدأ استبعاد باولي فقط.

البروتونات والنيوترونات، باعتبارها جسيمات مختلفة، تشغل حالات كمومية مختلفة. يمكن تصور مجموعتين مختلفتين من الحالات - واحدة للبروتونات والأخرى للنيوترونات. على سبيل المثال، إذا كان عدد النيوترونات في النواة يفوق عدد البروتونات بشكل ملحوظ، فإن بعض النيوترونات ستكون طاقتها أعلى من طاقة الحالات المتاحة في مجموعة البروتونات. إذا استطعنا نقل بعض الجسيمات من مجموعة النيوترونات إلى مجموعة البروتونات، أي تحويل بعض النيوترونات إلى بروتونات، فسنخفض الطاقة بشكل كبير. يؤدي عدم التوازن بين عدد البروتونات والنيوترونات إلى أن تكون الطاقة أعلى من اللازم لعدد معين من النيوكليونات . هذا هو أساس مصطلح عدم التناظر. 

يمكن اشتقاق الشكل الفعلي لمصطلح عدم التناظر مرة أخرى عن طريق نمذجة النواة على أنها كرة فيرمي من البروتونات والنيوترونات. طاقتها الحركية الكلية هي

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}(Z\varepsilon _{\text{F,p}}+N\varepsilon _{\text{F,n}}),}$

أين${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,p}}}$و${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,n}}}$تمثل هذه القيم طاقات فيرمي للبروتونات والنيوترونات. وبما أنها تتناسب مع${\displaystyle Z^{2/3}}$و${\displaystyle N^{2/3}}$وبالتالي، يحصل المرء على

${\displaystyle E_{\text{k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$لبعض الثوابت C.

المصطلحات الرئيسية في التوسع في الفرق${\displaystyle N-Z}$ثم

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {C}{2^{2/3}}}\left(A^{5/3}+{\frac {5}{9}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A^{1/3}}}\right)+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

في الرتبة الصفرية من التوسع، تكون الطاقة الحركية هي طاقة فيرمي الكلية.${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}\equiv \varepsilon _{\text{F,p}}=\varepsilon _{\text{F,n}}}$مضروبًا في${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A}$وهكذا نحصل على

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}A+{\frac {1}{3}}\varepsilon _{\text{F}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

يساهم الحد الأول في حد الحجم في صيغة الكتلة شبه التجريبية، والحد الثاني هو ناقص حد عدم التماثل (تذكر أن الطاقة الحركية تساهم في طاقة الربط الكلية بإشارة سالبة ).

${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$تبلغ طاقتها 38 ميغا إلكترون فولت ، لذا فإن الحساب${\displaystyle a_{\text{A}}}$من المعادلة أعلاه، نحصل على نصف القيمة المقاسة فقط. يُعزى هذا التباين إلى عدم دقة نموذجنا: فالنيوكليونات في الواقع تتفاعل مع بعضها البعض ولا تتوزع بالتساوي في النواة. على سبيل المثال، في نموذج القشرة ، يكون للبروتون والنيوترون ذوي الدوال الموجية المتداخلة تفاعل قوي أكبر بينهما وطاقة ربط أقوى. وهذا يجعل من الأفضل طاقيًا (أي ذو طاقة أقل) أن يكون للبروتونات والنيوترونات نفس الأعداد الكمية (باستثناء التناظر النظائري )، وبالتالي يزيد من تكلفة الطاقة لعدم التناظر بينهما.

يمكن أيضًا فهم مصطلح عدم التناظر بشكل بديهي على النحو التالي: ينبغي أن يعتمد على الفرق المطلق .${\displaystyle |N-Z|}$والشكل${\displaystyle (N-Z)^{2}}$إنها بسيطة وقابلة للتفاضل ، وهو أمر مهم لبعض تطبيقات الصيغة. بالإضافة إلى ذلك، فإن الفروق الصغيرة بين Z و N لا تتطلب تكلفة طاقة عالية. يشير A في المقام إلى حقيقة أن فرقًا معينًا${\displaystyle |N-Z|}$تكون أقل أهمية بالنسبة للقيم الأكبر لـ A.

على المدى${\displaystyle \delta (A,Z)}$يُعرف هذا المصطلح بمصطلح الاقتران (وربما يُعرف أيضًا بالتفاعل الثنائي). يجسد هذا المصطلح تأثير اقتران الدوران . وهو مُعطى بالمعادلة ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&{\text{for even }}Z,N~({\text{even }}A),\\0&{\text{for odd }}A,\\-\delta _{0}&{\text{for odd }}Z,N~({\text{even }}A),\end{cases}}}$

أين${\displaystyle \delta _{0}}$وُجد تجريبياً أن قيمة طاقة الاقتران تبلغ حوالي 1000  كيلو إلكترون فولت، وتتناقص تدريجياً مع ازدياد العدد الكتلي A. تميل النوى ذات العدد الكتلي الفردي-الفردي إلى الخضوع لتحلل بيتا إلى نواة مجاورة ذات عدد كتلي زوجي-زوجي عن طريق استبدال نيوترون ببروتون أو العكس. تتداخل الدوال الموجية للأزواج، وتكون متقاربة جداً برابطة أقوى من أي تكوين آخر. ^{[ 7 ]} عند استبدال حد الاقتران في معادلة طاقة الربط، فإنه يُضيف طاقة ربط في حالة Z و N الزوجيين، بينما يُزيلها في حالة Z و N الفرديين . 

يُشار عادةً إلى الاعتماد على العدد الكتلي بالمعاملات التالية:

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{k_{\text{P}}}.}$

تُحدد قيمة الأس k _P من بيانات طاقة الربط التجريبية. في الماضي، كان يُفترض غالبًا أن قيمته  −3/4، لكن البيانات التجريبية الحديثة تشير إلى أن قيمة  −1/2 أقرب إلى القيمة الصحيحة.

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-1/2}}$أو${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-3/4}.}$

بسبب مبدأ استبعاد باولي، ستكون طاقة النواة أقل إذا تساوى عدد البروتونات ذات اللف المغزلي للأعلى مع عدد البروتونات ذات اللف المغزلي للأسفل. وينطبق هذا أيضًا على النيوترونات. فقط عندما يكون كل من العدد الذري (Z) والعدد الذري ( N) زوجيين، يمكن أن يكون للبروتونات والنيوترونات أعداد متساوية من الجسيمات ذات اللف المغزلي للأعلى والأسفل. وهذا تأثير مشابه لتأثير مصطلح عدم التناظر.

العامل${\displaystyle A^{k_{\text{P}}}}$لا يمكن تفسير ذلك بسهولة من الناحية النظرية. ستعطي حسابات كرة فيرمي التي استخدمناها أعلاه، والمبنية على نموذج القطرة السائلة مع إهمال التفاعلات،${\displaystyle A^{-1}}$الاعتماد، كما هو الحال في مصطلح عدم التناظر. هذا يعني أن التأثير الفعلي للأنوية الكبيرة سيكون أكبر مما هو متوقع وفقًا لهذا النموذج. ينبغي تفسير ذلك بالتفاعلات بين النيوكليونات. على سبيل المثال، في نموذج القشرة ، سيكون لبروتونين لهما نفس العدد الكمي (بخلاف اللف المغزلي ) دوال موجية متداخلة تمامًا ، وبالتالي سيكون بينهما تفاعل قوي أكبر وطاقة ربط أقوى. هذا يجعل تكوين أزواج من اللف المغزلي المتعاكس أكثر ملاءمة من الناحية الطاقية (أي طاقة أقل). وينطبق الأمر نفسه على النيوترونات.