فئة ذوي الاحتياجات الخاصة

تُعد نظرية الفئات المتاحة جزءًا من الرياضيات ، وتحديدًا من نظرية الفئات . وهي تحاول وصف الفئات من حيث "حجم" ( عدد أصلي ) العمليات اللازمة لتوليد كائناتها.

تعود أصول هذه النظرية إلى أعمال غروتينديك التي أُنجزت عام ١٩٦٩، ^{[ ١ ]} وغابرييل وأولمر (١٩٧١). ^{[ ٢ ]} وقد طُوّرت لاحقًا عام ١٩٨٩ على يد مايكل ماكاي وروبرت باريه، انطلاقًا من نظرية النماذج ، وهي فرع من المنطق الرياضي . ^{[ ٣ ]} وصدر كتاب مرجعي قياسي من تأليف أداميك وروسيكي عام ١٩٩٤. ^{[ ٤ ]} وللفئات المتاحة تطبيقات في نظرية التماثل . ^{[ ٥ ] [ ٦ ]} وواصل غروتينديك تطوير النظرية لأغراض نظرية التماثل في مخطوطته (التي لم تُنشر بالكامل بعد) عام ١٩٩١ بعنوان " المشتقات" . ^{[ ٧ ]} وتعتمد بعض خصائص الفئات المتاحة على مجموعة الكون المستخدمة، ولا سيما على الخصائص الأساسية ومبدأ فوبينكا . ^{[ ٨ ]}

يترك${\displaystyle \kappa }$ليكن عددًا أصليًا منتظمًا لانهائيًا ، أي عددًا أصليًا لا يساوي مجموع عدد أصغر من الأعداد الأصلية الأصغر؛ ومن الأمثلة على ذلك:${\displaystyle \aleph _{0}}$( ألف-0 )، وهو أول عدد أصلي لانهائي، و${\displaystyle \aleph _{1}}$(أول عدد أصلي غير معدود). مجموعة مرتبة جزئياً${\displaystyle (I,\leq )}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \kappa }$موجه إذا كانت كل مجموعة فرعية${\displaystyle J}$ل${\displaystyle I}$عدد العناصر أقل من${\displaystyle \kappa }$له حد أعلى في${\displaystyle I}$. وعلى وجه الخصوص، فإن المجموعات الموجهة العادية هي بالضبط${\displaystyle \aleph _{0}}$مجموعات موجهة.

والآن لنبدأ${\displaystyle C}$أن تكون فئة . حد مباشر (يُعرف أيضًا باسم الحد المشترك الموجه) على${\displaystyle \kappa }$مجموعة موجهة${\displaystyle (I,\leq )}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \kappa }$الحد المشترك الموجه . كائن${\displaystyle X}$ل${\displaystyle C}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \kappa }$-حسن المظهر إذا كان هوم${\displaystyle \operatorname {Hom} (X,-)}$يحافظ على كل شيء${\displaystyle \kappa }$النهايات المشتركة الموجهة في${\displaystyle C}$من الواضح أن كل${\displaystyle \kappa }$الكائن القابل للعرض هو أيضًا${\displaystyle \kappa '}$-لائق المظهر في أي وقت ${\displaystyle \kappa \leq \kappa '}$، لأن كل${\displaystyle \kappa '}$يُعدّ الحد المشترك الموجه أيضًا${\displaystyle \kappa }$في هذه الحالة، يكون الحد المشترك الموجه هو أ.${\displaystyle \aleph _{0}}$يُطلق على الكائن القابل للعرض اسم الكائن القابل للعرض بشكل محدود .

الفئة${\displaystyle C}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle \kappa }$-متاح بشرط أن:

• ${\displaystyle C}$يحتوي على كل شيء${\displaystyle \kappa }$الحدود المشتركة الموجهة
• ${\displaystyle C}$يحتوي على مجموعة${\displaystyle P}$ل${\displaystyle \kappa }$- كائنات قابلة للعرض بحيث يكون كل كائن من${\displaystyle C}$هو${\displaystyle \kappa }$الحد المشترك الموجه للأشياء${\displaystyle P}$.

أن${\displaystyle \aleph _{0}}$تُسمى الفئة التي يمكن الوصول إليها فئة ذات إمكانية وصول محدودة . وتُسمى الفئة فئة يمكن الوصول إليها إذا كانت${\displaystyle \kappa }$-متاح لبعض الأعداد الأصلية المنتظمة اللانهائية${\displaystyle \kappa }$عندما تكون الفئة التي يمكن الوصول إليها مكتملة أيضًا ، فإنها تسمى قابلة للعرض محليًا .

دالة${\displaystyle F:C\to D}$بين${\displaystyle \kappa }$تُسمى الفئات التي يمكن الوصول إليها${\displaystyle \kappa }$-متاح بشرط أن${\displaystyle F}$معلبات${\displaystyle \kappa }$الحدود المشتركة الموجهة.

يمكن إثبات أن كل فئة قابلة للعرض محليًا هي فئة كاملة أيضًا . ^{[ 9 ]} علاوة على ذلك، تكون الفئة قابلة للعرض محليًا إذا وفقط إذا كانت مكافئة لفئة نماذج رسم تخطيطي حدي . ^{[ 10 ]}

تتميز الدوال المرافقة بين الفئات القابلة للعرض محليًا بتوصيف بسيط للغاية. الدالة${\displaystyle F:C\to D}$بين الفئات التي يمكن عرضها محلياً:

• يكون المرافق الأيسر إذا وفقط إذا حافظ على النهايات المشتركة الصغيرة،
• يكون المرافق الأيمن إذا وفقط إذا حافظ على النهايات الصغيرة وكان قابلاً للوصول.

• فئة متاحة بلا حدود