فئة الوحدات

في الجبر ، بالنظر إلى حلقة${\displaystyle R}$، فئة الوحدات المتبقية${\displaystyle R}$هي الفئة التي تكون جميع عناصرها عبارة عن وحدات متبقية${\displaystyle R}$وجميع التشكلات التي تكون جميعها تشكلات وحدات بين اليسار${\displaystyle R}$-الوحدات. على سبيل المثال، عندما${\displaystyle R}$هي حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$إنها نفس فئة الزمر الأبيلية . وتُعرَّف فئة الوحدات اليمينية بطريقة مماثلة.

يمكن أيضًا تعريف فئة الوحدات الثنائية على حلقة${\displaystyle R}$لكن هذه الفئة تعادل فئة الوحدات اليسارية (أو اليمينية) على الجبر المغلف لـ${\displaystyle R}$(أو عكس ذلك).

ملاحظة: يستخدم بعض المؤلفين مصطلح " فئة الوحدة" للإشارة إلى فئة الوحدات. قد يكون هذا المصطلح غامضًا لأنه قد يشير أيضًا إلى فئة ذات فعل فئة أحادية . ^{[ 1 ]}

تُعدّ فئتا الوحدات اليسرى واليمنى فئتين تبديليتين . تحتوي هاتان الفئتان على عدد كافٍ من العناصر الإسقاطية ^{[ 2 ]} وعدد كافٍ من العناصر الحقنية ^{[ 3 ]} . تنصّ نظرية ميتشل للتضمين على أن كل فئة تبديلية تنشأ كفئة فرعية كاملة من فئة الوحدات على حلقة ما.

توجد الحدود الإسقاطية والحدود الاستقرائية في فئات الوحدات اليسرى واليمنى. ^{[ 4 ]}

على حلقة تبديلية ، بالإضافة إلى حاصل الضرب الموتري للوحدات${\displaystyle \otimes }$، فئة الوحدات النمطية هي فئة أحادية متناظرة .

كائن أحادي من فئة الوحدات النمطية على حلقة تبديلية${\displaystyle R}$هو بالضبط جبر ترابطي على${\displaystyle R}$.

جسم مضغوط في${\displaystyle R}$-${\displaystyle \mathbf {Mod} }$هو بالضبط وحدة نمطية ذات عرض محدود.

الفئة​${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$(يستخدم بعض المؤلفين)${\displaystyle \mathbf {Vect} _{K}}$) يحتوي على جميع الفضاءات المتجهة على حقل${\displaystyle K}$كأشياء، و${\displaystyle K}$-الخرائط الخطية كتشاكلات. بما أن الفضاءات المتجهة فوق${\displaystyle K}$(كحقل) هي نفسها الوحدات النمطية فوق الحلقة${\displaystyle K}$،${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$هي حالة خاصة من${\displaystyle R}$-${\displaystyle \mathbf {Mod} }$(يستخدم بعض المؤلفين)${\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}$), فئة اليسار${\displaystyle R}$-الوحدات.

يهتم جزء كبير من الجبر الخطي بوصف${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$على سبيل المثال، تنص نظرية الأبعاد للفضاءات المتجهة على أن فئات التشاكل في${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$تتطابق تمامًا مع الأعداد الأصلية ، وأن${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$وهو ما يعادل الفئة الفرعية لـ${\displaystyle K{\text{-}}\mathbf {Vect} }$والتي تتخذ من الفضاءات المتجهة موضوعًا لها${\displaystyle K_{n}}$، أين${\displaystyle n}$أي عدد أصلي.

كما أن فئة حزم الوحدات النمطية فوق فضاء حلقي تحتوي على عدد كافٍ من العناصر الحقنية (وإن لم يكن دائمًا ما يكفي من العناصر الإسقاطية).

• نظرية K الجبرية (الثابت المهم لفئة الوحدات النمطية).
• فئة الخواتم
• الفئة المشتقة
• طيف الوحدة
• فئة الفضاءات المتجهة المتدرجة
• فئة التمثيلات
• تغيير الخواتم
• تكافؤ موريتا
• فئة الوحدة النمطية المستقرة
• نظرية إيلنبرغ-واتس

• مود في مختبر ن