لوجيت

في الإحصاء ، ^{تُعرف دالة} اللوجيت ( أو دالة اللوغاريتم النسبي ) بأنها دالة الكمية المرتبطة بالتوزيع اللوجستي القياسي . ولها استخدامات عديدة في تحليل البيانات والتعلم الآلي ، وخاصة في ^تحويل البيانات .

رياضياً، اللوجيت هو معكوس الدالة اللوجستية القياسية .${\displaystyle \textstyle \sigma (x)=1/(1+e^{-x})}$لذا ، يُعرَّف اللوجيت على النحو التالي: $${\displaystyle \operatorname {logit} p=\sigma ^{-1}(p)=\ln {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1).}$$

ولهذا السبب، يُطلق على اللوجيت أيضًا اسم لوغاريتم الاحتمالات لأنه يساوي لوغاريتم الاحتمالات .${\textstyle {\frac {p}{1-p}}}$حيث p هي احتمالية. وبالتالي، فإن اللوجيت هو نوع من الدوال التي تربط قيم الاحتمالية من${\displaystyle (0,1)}$إلى أعداد حقيقية في${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$⁠ , ^{[ 1 ]} على غرار دالة البروبيت .

إذا كانت p احتمالًا ، فإن${\textstyle {\tfrac {p}{1-p}}}$هي النسبة المقابلة ؛ لوغاريتم الاحتمالية هو لوغاريتم النسبة، أي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {logit} (p)&={\hphantom {-}}\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln(p)-\ln(1-p)\\&=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\right)=2\operatorname {atanh} (2p-1).\end{aligned}}}$$

لا يُعد أساس دالة اللوغاريتم المستخدمة ذا أهمية كبيرة في هذه المقالة، طالما أنه أكبر من 1، ولكن اللوغاريتم الطبيعي ذو الأساس e هو الأكثر استخدامًا. يتوافق اختيار الأساس مع اختيار وحدة اللوغاريتم للقيمة: الأساس  2 يُقابل وحدة شانون ، والأساس e يُقابل وحدة نات ، والأساس 10 يُقابل وحدة هارتلي ؛ وتُستخدم هذه الوحدات بشكل خاص في تفسيرات نظرية المعلومات. لكل أساس مُختار، تأخذ دالة اللوجيت قيمًا بين سالب ما لا نهاية وموجب ما لا نهاية.  

الدالة اللوجستية لأي عدد${\displaystyle \alpha }$يتم إعطاؤها بواسطة اللوجيت العكسي : $${\displaystyle \operatorname {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatorname {logistic} (\alpha )={\frac {1}{1+e^{-\alpha }}}={\frac {e^{\alpha }}{e^{\alpha }+1}}={\frac {\tanh({\frac {\alpha }{2}})+1}{2}}}$$

الفرق بين لوغاريتمات احتمالين هو لوغاريتم نسبة الاحتمالات ( R )، مما يوفر اختصارًا لكتابة التركيبة الصحيحة لنسب الاحتمالات فقط عن طريق الجمع والطرح : $$\displaystyle \begin{aligned}\ln(R)&=\ln \left({\frac {\tfrac {p_{1}}{1-p_{1}}}{\tfrac {p_{2}}{1-p_{2}}}}\right)\\&=\ln \left({\frac {p_{1}}{1-p_{1}}}\right)-\ln \left({\frac {p_{2}}{1-p_{2}}}\right)\\&=\operatorname {logit} (p_{1})-\operatorname {logit} (p_{2})\,.\end{aligned}}}$$

تُعطى متسلسلة تايلور لدالة اللوجيت بالصيغة التالية: $${\displaystyle \operatorname {logit} (x)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2x-1)^{2n+1}}{2n+1}}.}$$

تم استكشاف العديد من المناهج لتكييف أساليب الانحدار الخطي مع مجال تكون فيه المخرجات عبارة عن قيمة احتمالية .${\displaystyle (0,1)}$، بدلاً من أي عدد حقيقي${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$في كثير من الحالات ، ركزت هذه الجهود على نمذجة هذه المشكلة من خلال رسم خريطة النطاق .${\displaystyle (0,1)}$إلى​​${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ثم إجراء تحليل الانحدار الخطي على هذه القيم المحولة. ^{[ 2 ]}

في عام 1934، استخدم تشيستر إيتنر بليس دالة التوزيع الطبيعي التراكمي لإجراء هذا التحويل، وأطلق على نموذجه اسم "بروبيت "، وهو اختصار لعبارة "وحدة الاحتمال". إلا أن هذا الأسلوب أكثر تكلفة حسابيًا. ^{[ 2 ]} وفي عام 1944، استخدم جوزيف بيركسون لوغاريتم الاحتمالات، وأطلق على هذه الدالة اسم " لوجيت "، وهو اختصار لعبارة "الوحدة اللوجستية"، وذلك على غرار نموذج بروبيت. ^{[ 3 ]}

استُخدم مصطلح "لوغاريتم الاحتمالات" على نطاق واسع من قِبل تشارلز ساندرز بيرس في أواخر القرن التاسع عشر. ^{[ 4 ]} وفي عام 1949، صاغ جي. إيه. بارنارد مصطلح "لوغاريتم الاحتمالات " الشائع الاستخدام ؛ ^{[ 5 ] [ 6 ]} حيث يُمثل لوغاريتم احتمالية وقوع حدث ما لوغاريتم احتمالية وقوعه. ^{[ 7 ]} كما صاغ بارنارد مصطلح " لودز " كصيغة مجردة من "لوغاريتم الاحتمالات"، ^{[ 8 ]} ولكنه أشار إلى أنه "من الناحية العملية، ينبغي استخدام مصطلح "الاحتمالات" عادةً، لأنه أكثر شيوعًا في الحياة اليومية". ^{[ 9 ]}

• اللوجيت في الانحدار اللوجستي هو حالة خاصة من دالة الربط في نموذج خطي معمّم : إنها دالة الربط المتعارف عليها لتوزيع برنولي .
• بصورة أكثر تجريدًا، فإن اللوجيت هو المعلمة الطبيعية للتوزيع ذي الحدين .
• دالة اللوجيت هي معكوس مشتق دالة الإنتروبيا الثنائية .
• كما أن اللوجيت عنصر أساسي في نموذج راش الاحتمالي للقياس ، والذي له تطبيقات في التقييم النفسي والتربوي، من بين مجالات أخرى.
• تُعرف دالة اللوجيت العكسية (أي الدالة اللوجستية ) أحيانًا باسم دالة التوقع . ^{[ 10 ]}
• في علم الأوبئة لأمراض النبات، تُعرف النماذج اللوجستية، ونماذج جومبيرتز، والنماذج أحادية الجزيء مجتمعة باسم نماذج عائلة ريتشاردز.
• تُستخدم دالة اللوغاريتم النسبي للاحتمالات بشكل شائع في خوارزميات تقدير الحالة ^{[ 11 ]} نظرًا لمزاياها العددية في حالة الاحتمالات الصغيرة. فبدلاً من ضرب أعداد عشرية صغيرة جدًا، يمكن ببساطة جمع احتمالات اللوغاريتم النسبي لحساب الاحتمال المشترك (اللوغاريتم النسبي). ^{[ 12 ] [ 13 ]}

ترتبط دالة البروبيت ونموذجها ارتباطًا وثيقًا بدالة اللوجيت ( ونموذجها ) . كلتاهما دالتان سيجمويديتان، مجالهما بين 0 و1، مما يجعلهما دالتين كميتين - أي معكوسات دالة التوزيع التراكمي (CDF) لتوزيع احتمالي . في الواقع، دالة اللوجيت هي الدالة الكمية للتوزيع اللوجستي ، بينما دالة البروبيت هي الدالة الكمية للتوزيع الطبيعي . يُرمز لدالة البروبيت بـ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {\Phi } ^{-1}(x)}$، حيث​${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)}$⁠ هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي، كما ذكرنا للتو: $${\displaystyle \operatorname {\Phi} (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty}^{x}e^{-y^{2}/2}dy.}$$

كما هو موضح في الرسم البياني على اليمين، تتشابه دالتا اللوجيت والبروبيت تشابهاً كبيراً عند تغيير مقياس دالة البروبيت ، بحيث يتطابق ميلها عند y = 0 مع ميل دالة اللوجيت . ونتيجة لذلك، تُستخدم نماذج البروبيت أحياناً بدلاً من نماذج اللوجيت، لأن تطبيقها أسهل في بعض التطبيقات (مثل نظرية استجابة البنود ). ^{[ 14 ]}

• دالة سيجمويد
• الاختيار المنفصل في نماذج اللوجيت الثنائية، واللوجيت متعددة الحدود، واللوجيت الشرطية، واللوجيت المتداخلة، واللوجيت المختلطة، واللوجيت المفككة، واللوجيت المرتبة
• متغير تابع محدود
• تحليل الانحدار اللوجستي في التسويق
• نموذج لوجيت متعدد الحدود
• أوجي ، منحنى ذو شكل مماثل
• بيرسون
• بروبيت ، دالة أخرى لها نفس المجال والمدى مثل دالة لوجيت
• تقييم ريديت
• تحويل البيانات (الإحصاء)
• دالة الجيب العكسي (تحويل)
• نموذج راش

• أي دالة ربط تفضل - لوجيت، بروبيت، أم كلولوج؟ ١٢/٠٤/٢٠٢٣

• أشتون، وينفريد د. (1972). تحويل لوجيت: مع إشارة خاصة إلى استخداماته في المقايسة الحيوية . سلسلة غريفين للدراسات والمقررات الإحصائية. المجلد  32. تشارلز غريفين. doi : 10.2307/2345009 . ISBN 978-0-85264-212-2JSTOR 2345009​​