بروبيت

الموسوعة الحرة
رسم بياني لدالة بروبيت

في الإحصاء ، تحوّل دالة البروبيت الاحتمالية (رقم بين 0 و1) إلى قيمة. تشير هذه القيمة إلى عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها قيمة ما عن المتوسط ​​في التوزيع الطبيعي القياسي (أو "منحنى الجرس"). على سبيل المثال، تمثل احتمالية 0.5 (50%) منتصف التوزيع تمامًا، لذا فإن قيمة البروبيت الخاصة بها هي 0. أما الاحتمالية الأصغر، مثل 0.025 (2.5%)، فتقع في أقصى يسار المنحنى، ما يقابل قيمة بروبيت تقارب -1.96.

تُستخدم هذه الدالة على نطاق واسع في نماذج بروبيت ، وهي نوع من تحليل الانحدار للنتائج الثنائية (مثل النجاح/الفشل أو اجتياز/رسوب). طُوّرت هذه الدالة لأول مرة في علم السموم لتحليل علاقات الجرعة والاستجابة، مثل كيفية تغير نسبة الآفات التي يقتلها مبيد حشري بتغير تركيزه. [ 1 ] كما تُستخدم دالة بروبيت لإنشاء مخططات Q-Q ، وهي أداة بيانية لتقييم ما إذا كانت مجموعة البيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا.

رياضيًا، دالة البروبيت هي دالة الكمية (معكوس دالة التوزيع التراكمي ) المرتبطة بالتوزيع الطبيعي القياسي. إذا رمزنا لدالة التوزيع التراكمي بـΦ(z){\displaystyle \Phi (z)}، عندئذٍ تُعرَّف دالة البروبيت على النحو التالي: بروبيت⁡(ص)=Φ-1(ص)لص∈(0،1).{\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1).} هذا يعني أنه لأي احتمالص{\displaystyle p}، تجد دالة بروبيت القيمةz{\displaystyle z}بحيث تكون المساحة الواقعة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي القياسي إلى يسارz{\displaystyle z}يساوي ⁠ص{\displaystyle p}⁠ .

التطوير المفاهيمي

نُشرت فكرة دالة البروبيت بواسطة تشيستر إيتنر بليس في مقال نُشر عام 1934 في مجلة ساينس، حول كيفية معالجة بيانات مثل النسبة المئوية للآفات التي قُتلت بواسطة مبيد حشري . [ 2 ] اقترح بليس تحويل النسبة المئوية للآفات المقتولة إلى "وحدة احتمالية" (أو "بروبيت")، والتي ترتبط خطيًا بالتعريف الحديث (عرّفها بشكل تعسفي بأنها تساوي 0 لـ 0.0001 و1 لـ 0.9999): [ 3 ] أدرج جدولًا لمساعدة الباحثين الآخرين على تحويل نسب القتل الخاصة بهم إلى البروبيت الخاص به، والتي يمكنهم بعد ذلك رسمها بيانيًا مقابل لوغاريتم الجرعة، وبالتالي، كما كان يُؤمل، الحصول على خط مستقيم تقريبًا. لا يزال نموذج البروبيت هذا مهمًا في علم السموم، وكذلك في مجالات أخرى. يُبرر هذا النهج بشكل خاص إذا أمكن تفسير تباين الاستجابة على أنه توزيع لوغاريتمي طبيعي لتحملات الأفراد الخاضعين للاختبار، حيث يكون تحمل فرد معين هو الجرعة الكافية تمامًا للاستجابة المطلوبة.

تم تطوير الطريقة التي قدمها بليس في كتاب "تحليل البروبيت" ، وهو مرجع هام في التطبيقات السمية من تأليف دي جيه فيني . [ 4 ] يمكن اشتقاق القيم التي وضعها فيني من البروبيت كما هو مُعرّف هنا بإضافة القيمة 5. وقد لخص كوليت هذا التمييز. [ 5 ] طُرحت منهجية البروبيت، بما في ذلك التحسين العددي لملاءمة دوال البروبيت، قبل الانتشار الواسع للحوسبة الإلكترونية. عند استخدام الجداول، كان من الملائم أن تكون قيم البروبيت موجبة بشكل موحد. لا تتطلب مجالات التطبيق الشائعة قيم بروبيت موجبة.

التناظرات

بسبب نظرية النهاية المركزية إلى حد كبير ، يلعب التوزيع الطبيعي القياسي دورًا أساسيًا في نظرية الاحتمالات والإحصاء. إذا أخذنا في الاعتبار الحقيقة المعروفة بأن التوزيع الطبيعي القياسي يضع 95% من الاحتمالات بين -1.96 و1.96 وهو متناظر حول الصفر، فإنه يترتب على ذلك أن Φ(-1.96)=0.025=1-Φ(1.96).{\displaystyle \Phi (-1.96)=0.025=1-\Phi (1.96).}

تُعطي دالة البروبيت الحساب "المعكوس"، مُولِّدةً قيمةً لمتغير عشوائي طبيعي معياري، مرتبط باحتمالية تراكمية مُحدَّدة. استكمالاً للمثال، بروبيت⁡(0.025)=-1.96=-بروبيت⁡(0.975).{\displaystyle \operatorname {probit} (0.025)=-1.96=-\operatorname {probit} (0.975).}

على العموم، Φ(بروبيت⁡(ص))=ص،{\displaystyle \Phi (\operatorname {probit} (p))=p,} و بروبيت⁡(Φ(z))=z.{\displaystyle \operatorname {probit} (\Phi (z))=z.}

تشخيص انحراف التوزيع عن التوزيع الطبيعي

إضافةً إلى توفير أساس لأنواع مهمة من الانحدار، تُعدّ دالة البروبيت مفيدة في التحليل الإحصائي لتشخيص الانحراف عن التوزيع الطبيعي، وفقًا لطريقة رسم Q-Q. إذا كانت مجموعة البيانات عينةً من توزيع طبيعي ، فسيكون رسم القيم مقابل درجات البروبيت الخاصة بها خطيًا تقريبًا. ويمكن تشخيص انحرافات محددة عن التوزيع الطبيعي، مثل عدم التماثل ، أو الذيول السميكة ، أو التوزيع ثنائي النمط، بناءً على اكتشاف انحرافات محددة عن الخطية. في حين يمكن استخدام رسم Q-Q للمقارنة مع أي عائلة توزيع (ليس التوزيع الطبيعي فقط)، فإن رسم Q-Q الطبيعي يُعدّ إجراءً قياسيًا نسبيًا لتحليل البيانات الاستكشافي، لأن افتراض التوزيع الطبيعي غالبًا ما يكون نقطة انطلاق للتحليل.

حساب

لا تتوفر دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي ومعكوسها بصيغة مغلقة ، ويتطلب حسابها استخدامًا دقيقًا للإجراءات العددية. مع ذلك، تتوفر هذه الدوال على نطاق واسع في برامج الإحصاء ونمذجة الاحتمالات، وفي جداول البيانات. في بيئات الحوسبة التي تتوفر فيها تطبيقات عددية لدالة الخطأ المعكوسة ، يمكن الحصول على دالة البروبيت كما يلي: بروبيت⁡(ص)=2قطعة أرض-1⁡(2ص-1).{\displaystyle \operatorname {probit} (p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).} ومن الأمثلة على ذلك برنامج MATLAB ، حيث erfinvتتوفر دالة معينة. وتُنفذ لغة Mathematica هذه الدالة. كما تُنفذ بيئات أخرى دالة probit مباشرةً كما هو موضح في كود RInverseErf التالي .

> qnorm ( 0.025 ) [1] -1.959964 > pnorm ( -1.96 ) [1] 0.02499790

يقدم ويتشورا خوارزمية سريعة لحساب دالة بروبيت حتى 16 منزلة عشرية؛ ويتم استخدام هذه الخوارزمية في لغة R لتوليد متغيرات عشوائية للتوزيع الطبيعي. [ 6 ]

معادلة تفاضلية عادية لدالة البروبيت

تعتمد طريقة أخرى للحساب على تكوين معادلة تفاضلية عادية غير خطية (ODE) لدالة بروبيت، وفقًا لطريقة شتاينبريكر وشاو. [ 7 ] ويمكن اختصار دالة بروبيت بـw(ص){\displaystyle w(p)}، المعادلة التفاضلية العادية هي دwدص=1و(w){\displaystyle {\frac {dw}{dp}}={\frac {1}{f(w)}}} أينو(w){\displaystyle f(w)}هي دالة كثافة الاحتمال لـ w .

في حالة التوزيع الغاوسي: دwدص=2π هـw22.{\displaystyle {\frac {dw}{dp}}={\sqrt {2\pi }}\ e^{\frac {w^{2}}{2}}.} التمايز مرة أخرى: د2wدص2=w(دwدص)2،{\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2},} مع الشروط المركزية (الابتدائية) w(1/2)=0،w′(1/2)=2π.{\displaystyle {\begin{aligned}w\left(1/2\right)&=0,\\w'\left(1/2\right)&={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}

يمكن حل هذه المعادلة بعدة طرق، بما في ذلك طريقة متسلسلة القوى الكلاسيكية. ومن خلالها، يمكن اشتقاق حلول ذات دقة عالية جدًا بالاعتماد على منهج شتاينبريكر لمتسلسلة دالة الخطأ العكسية. ويُعطى حل متسلسلة القوى بالصيغة التالية: w(ص)=π2∑ك=0∞دك(2ك+1)(2ص-1)(2ك+1)،{\displaystyle w(p)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}}{(2k+1)}}(2p-1)^{(2k+1)},}حيث المعاملاتدك{\displaystyle d_{k}}⁠ تحقيق التكرار غير الخطي دك+1=π4∑ج=0كدجدك-ج(ج+1)(2ج+1){\displaystyle d_{k+1}={\frac {\pi }{4}}\sum _{j=0}^{k}{\frac {d_{j}d_{kj}}{(j+1)(2j+1)}}} مع​د0=1{\displaystyle d_{0}=1}. في هذا الشكل تكون النسبةدك+1/دك{\displaystyle d_{k+1}/d_{k}}الأساليب​1{\displaystyle 1}كما​​ك{\displaystyle k}يقترب من اللانهاية.

لوجيت

مقارنة دالة اللوجيت مع بروبيت مُقاس (أي دالة التوزيع التراكمي العكسي للتوزيع الطبيعي )، مقارنة logit( x ) مقابل Φ −1 ( x ) / √ π/8 ، مما يجعل المنحدرات متساوية عند نقطة الأصل.

ترتبط دالة اللوجيت ونموذجها ارتباطًا وثيقًا بدالة البروبيت ( ونموذج البروبيت ) . ويُعطى معكوس دالة اللوجستيات بالصيغة التالية: لوجيت⁡(ص)=ln⁡(ص1-ص).{\displaystyle \operatorname {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right).}

على غرار نموذج بروبيت، يمكننا افتراض أن هذه الكمية مرتبطة خطيًا بمجموعة من المتغيرات التنبؤية، مما ينتج عنه نموذج لوجيت ، وهو أساس نموذج الانحدار اللوجستي ، الشكل الأكثر شيوعًا لتحليل الانحدار لبيانات الاستجابة الفئوية. في الممارسة الإحصائية الحالية، غالبًا ما يتم التعامل مع نماذج انحدار بروبيت ولوجيت كحالات من النموذج الخطي المعمم .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بليس، سي آي (1934). " طريقة البروبيت" . مجلة ساينس . 79 (2037): 38-39 . Bibcode : 1934Sci....79...38B . doi : 10.1126/science.79.2037.38 . JSTOR 1659792. PMID 17813446 .  
  2. ↑ بليس (1934) ، ص 38-39.
  3. ↑ بليس (1934) ، ص 39 : "أطلق على وحدات الاحتمالية التعسفية هذه اسم "probits"...".  
  4. ↑ فيني، دي جيه (1971) [الطبعة الأولى 1947]. تحليل بروبيت ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  0-521-08041-X. OCLC 174198382 . 
  5. ↑ كوليت، د. (1991). نمذجة البيانات الثنائية . تشابمان وهول / مطبعة سي آر سي. ص 55. كان التعريف الأصلي للبروبيت [مع إضافة 5] يهدف أساسًا إلى تجنب التعامل مع قيم البروبيت السالبة؛ ... لا يزال هذا التعريف مستخدمًا في بعض الأوساط، ولكن في حزم البرامج الإحصائية الرئيسية لما يُشار إليه بتحليل البروبيت ، تُعرَّف قيم البروبيت بدون إضافة 5.  
  6. ↑ ويتشورا، إم جيه (1988). "الخوارزمية AS241: النقاط المئوية للتوزيع الطبيعي" (ملف PDF) . الإحصاء التطبيقي . 37 (3). دار بلاكويل للنشر: 477-484 . doi : 10.2307/2347330 . JSTOR 2347330 . 
  7. ↑ شتاينبريكر، ج.؛ شو، و. ت. (2008). "ميكانيكا الكميات" (ملف PDF) . المجلة الأوروبية للرياضيات التطبيقية . 19 (2): 87-112 . doi : 10.1017/S0956792508007341 . S2CID 6899308 .