مبدأ لوقا التبايني

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في ديناميكا الموائع ، يُعدّ مبدأ لوك التبايني وصفًا لاغرانجيًا تباينيًا لحركة الموجات السطحية على مائع ذي سطح حر ، تحت تأثير الجاذبية . سُمّي هذا المبدأ نسبةً إلى جيه سي لوك، الذي نشره عام 1967. [ 1 ] يُستخدم هذا المبدأ التبايني في التدفقات الكامنة غير القابلة للانضغاط وغير اللزجة ، ويُستخدم لاشتقاق نماذج تقريبية للموجات مثل معادلة الميل المعتدل ، [ 2 ] أو باستخدام منهج لاغرانج المتوسط ​​لانتشار الموجات في الأوساط غير المتجانسة. [ 3 ]

يمكن أيضًا إعادة صياغة صيغة لاغرانج للوك إلى صيغة هاميلتونية بدلالة ارتفاع السطح وجهد السرعة عند السطح الحر. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ويُستخدم هذا غالبًا عند نمذجة تطور الكثافة الطيفية للسطح الحر في حالة بحرية ، تُسمى أحيانًا اضطراب الأمواج .

يمكن توسيع كل من صيغ لاغرانج وهاملتون لتشمل تأثيرات التوتر السطحي ، وباستخدام كمونات كليبيش لتشمل الدوامة . [ 1 ]

لاغرانجيان لوك

صيغة لاغرانج الخاصة بلوك مخصصة لموجات الجاذبية السطحية غير الخطية على تدفق كامن غير قابل للانضغاط وغير دوراني وغير لزج .

المكونات ذات الصلة، واللازمة لوصف هذا التدفق، هي:

  • Φ( x , z , t ) هو جهد السرعة ،
  • ρ هي كثافة السائل ،
  • يمثل g تسارع الجاذبية الأرضية ،
  • يمثل x متجه الإحداثيات الأفقية بمكوناتxوy،
  • يمثل x و y الإحداثيات الأفقية،
  • z هو الإحداثي الرأسي،
  • لقد حان الوقت، و
  • يمثل ∇ عامل التدرج الأفقي ، لذا فإن ∇Φ هي سرعة التدفق الأفقي التي تتكون من ∂Φ/∂ x و ∂Φ/∂ y ،
  • V ( t ) هو نطاق المائع المتغير مع الزمن ذو السطح الحر.

لاغرانجيانل{\displaystyle {\mathcal {L}}}كما ورد في إنجيل لوقا، هو: ل=-∫ت0ت1{∭V(ت)ρ[∂Φ∂ت+12|∇Φ|2+12(∂Φ∂z)2+زz]دxدyدz}دت.{\displaystyle {\mathcal {L}}=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\{\iiint _{V(t)}\rho \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+g\,z\right]\,\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z\right\}\mathrm {d} t.}

انطلاقاً من مبدأ برنولي ، يمكن ملاحظة أن هذه الدالة اللاغرانجية هي تكامل ضغط المائع على كامل نطاق المائع المتغير مع الزمن V ( t ) . وهذا يتوافق مع مبادئ التباين للجريان غير اللزج بدون سطح حر، والتي اكتشفها هاري بيتمان . [ 7 ]

يؤدي التغير بالنسبة لجهد السرعة Φ( x , z , t ) والأسطح المتحركة بحرية مثل z = η ( x , t ) إلى معادلة لابلاس للجهد داخل المائع وجميع الشروط الحدية المطلوبة : الشروط الحدية الحركية على جميع حدود المائع والشروط الحدية الديناميكية على الأسطح الحرة. [ 8 ] وقد يشمل ذلك أيضًا جدران مولد الأمواج المتحركة وحركة السفن.

في حالة المجال غير المحدود أفقيًا مع سطح السائل الحر عند z = η ( x , t ) وقاع ثابت عند z = − h ( x ) ، ينتج عن مبدأ لوك التبايني الدالة اللاغرانجية التالية: ل=-∫ت0ت1∬{∫-ح(x)η(x،ت)ρ[∂Φ∂ت+12|∇Φ|2+12(∂Φ∂z)2]دz+12ρزη2}دxدت.{\displaystyle {\mathcal {L}}=-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\rho \,\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}+\,{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\;\mathrm {d} z\;+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t.}

تم إهمال حد مستوى القاع المتناسب مع h² في طاقة الوضع، لأنه ثابت ولا يُسهم في التغيرات. فيما يلي، يُستخدم مبدأ لوك التغيري للوصول إلى معادلات التدفق لأمواج الجاذبية السطحية غير الخطية على تدفق كامن.

اشتقاق معادلات التدفق الناتجة عن مبدأ لوك التبايني

التبايندلتال=0{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=0}يجب أن تكون قيم لاغرانجيان بالنسبة لتغيرات جهد السرعة Φ( x , z , t )، وكذلك بالنسبة لارتفاع السطح η ( x , t ) ، صفرًا. وسنتناول كلا التغيرين لاحقًا.

التغير بالنسبة لجهد السرعة

لنفترض تغيراً طفيفاً δ Φ في جهد السرعة Φ . [ 8 ] عندئذٍ يكون التغير الناتج في لاغرانجيان كما يلي: دلتاΦل=ل(Φ+دلتاΦ،η)-ل(Φ،η)=-∫ت0ت1∬{∫-ح(x)η(x،ت)ρ(∂(دلتاΦ)∂ت+∇Φ⋅∇(دلتاΦ)+∂Φ∂z∂(دلتاΦ)∂z)دz}دxدت.\begin{aligned}\delta_{\Phi}{\mathcal{L}}\,&=\,{\mathcal{L}}(\Phi +\delta\Phi,\eta)\,-\,{\mathcal{L}}(\Phi,\eta)\\&=\,-\,\int_{t_{0}}^{t_{1}}\iint\left\{\int_{-h({\boldsymbol{x}})}^{\eta({\boldsymbol{x}},t)}\rho\,\left({\frac{\partial(\delta\Phi)}{\partial t}}+\,{\boldsymbol{\nabla}}\Phi\cdot{\boldsymbol{\nabla}}(\delta\Phi )+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,{\frac {\partial (\delta \Phi )}{\partial z}}\,\right)\;\mathrm {d} z\,\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t.\end{aligned}}}

باستخدام قاعدة لايبنيز التكاملية ، يصبح هذا، في حالة الكثافة الثابتة ρ : [ 8 ]دلتاΦل=-ρ∫ت0ت1∬{∂∂ت∫-ح(x)η(x،ت)دلتاΦدz+∇⋅∫-ح(x)η(x،ت)دلتاΦ∇Φدz}دxدت+ρ∫ت0ت1∬{∫-ح(x)η(x،ت)دلتاΦ(∇⋅∇Φ+∂2Φ∂z2)دz}دxدت+ρ∫ت0ت1∬[(∂η∂ت+∇Φ⋅∇η-∂Φ∂z)دلتاΦ]z=η(x،ت)دxدت+ρ∫ت0ت1∬[(∇Φ⋅∇ح+∂Φ∂z)دلتاΦ]z=-ح(x)دxدت=0.\begin{aligned}\delta _{\Phi }{\mathcal {L}}\,=\,&-\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;\mathrm {d} z\;+\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \;\mathrm {d} z\,\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)\;\mathrm {d} z\,\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=-h({\boldsymbol {x}})}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\\=\,&0.\end{aligned}}}

يُكامل التكامل الأول في الطرف الأيمن حتى حدود مجال التكامل، في x و t ، ويساوي صفرًا لأن التغيرات δΦ تُعتبر معدومة عند هذه الحدود. أما بالنسبة للتغيرات δΦ التي تساوي صفرًا عند السطح الحر وقاع المائع، فيبقى التكامل الثاني، والذي يساوي صفرًا فقط لأي قيمة لـ δΦ داخل المائع إذا تحققت معادلة لابلاس هناك.ΔΦ=0 ل -ح(x)<z<η(x،ت)،{\displaystyle \Delta \Phi \,=\,0\qquad {\text{ for }}-h({\boldsymbol {x}})\,<\,z\,<\,\eta ({\boldsymbol {x}},t),} مع Δ = ∇ ⋅ ∇ + ∂ 2 /∂ z 2 عامل لابلاس .

إذا تم اعتبار التغيرات δ Φ التي لا تساوي الصفر إلا عند السطح الحر، فإن التكامل الثالث فقط هو الذي يتبقى، مما يؤدي إلى شرط الحدود الحركي للسطح الحر: ∂η∂ت+∇Φ⋅∇η-∂Φ∂z=0. في z=η(x،ت).{\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0.\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).}

وبالمثل، فإن التغيرات δ Φ غير الصفرية فقط عند القاع z = − h تؤدي إلى حالة القاع الحركية: ∇Φ⋅∇ح+∂Φ∂z=0 في z=-ح(x).{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,-h({\boldsymbol {x}}).}

التغير بالنسبة لارتفاع السطح

بأخذ تغير لاغرانجيان بالنسبة للتغيرات الصغيرة δη في الاعتبار ، نحصل على: دلتاηل=ل(Φ،η+دلتاη)-ل(Φ،η)=-∫ت0ت1∬[ρدلتاη(∂Φ∂ت+12|∇Φ|2+12(∂Φ∂z)2+زη)]z=η(x،ت)دxدت=0.{\displaystyle \delta _{\eta }{\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta +\delta \eta )\,-\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta )=\,-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\rho \,\delta \eta \,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \right)\,\right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t\,=\,0.}

يجب أن يكون هذا صفرًا لأي قيمة عشوائية لـ δη ، مما يؤدي إلى شرط الحدود الديناميكي عند السطح الحر: ∂Φ∂ت+12|∇Φ|2+12(∂Φ∂z)2+زη=0 في z=η(x،ت).{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).}

هذه هي معادلة برنولي للتدفق الكامن غير المستقر، المطبقة على السطح الحر، مع اعتبار الضغط فوق السطح الحر ثابتًا - والذي يُفترض أن يكون مساويًا للصفر من أجل التبسيط.

صياغة هاميلتونية

تم اكتشاف البنية الهاميلتونية لموجات الجاذبية السطحية على تدفق كامن بواسطة فلاديمير إي. زاخاروف في عام 1968، وأعيد اكتشافها بشكل مستقل بواسطة بيرت بروير وجون مايلز : [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]ρ∂η∂ت=+دلتاحدلتاφ،ρ∂φ∂ت=-دلتاحدلتاη،{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}} حيث يمثل ارتفاع السطح η والجهد السطحي φ - وهو الجهد Φ عند السطح الحر z = η ( x , t ) - المتغيرات الأساسية . الهاميلتونيح(φ،η){\displaystyle {\mathcal {H}}(\varphi ,\eta )}هي مجموع الطاقة الحركية والطاقة الكامنة للسائل: ح=∬{∫-ح(x)η(x،ت)12ρ[|∇Φ|2+(∂Φ∂z)2]دz+12ρزη2}دx.{\displaystyle {\mathcal {H}}\,=\,\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left[\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\,\mathrm {d} z\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}.}

القيد الإضافي هو أن التدفق في مجال المائع يجب أن يفي بمعادلة لابلاس مع شرط حدودي مناسب في الأسفل z = − h ( x ) وأن الجهد عند السطح الحر z = η يساوي φ :دلتاح/دلتاΦ=0.{\displaystyle \delta {\mathcal {H}}/\delta \Phi \,=\,0.}

العلاقة مع الصيغة اللاغرانجية

يمكن اشتقاق الصيغة الهاميلتونية من وصف لاغرانج للوك باستخدام قاعدة لايبنيز التكاملية على تكامل ∂Φ/∂ t : [ 6 ]لح=∫ت0ت1∬{φ(x،ت)∂η(x،ت)∂ت-ح(φ،η؛x،ت)}دxدت،{\displaystyle {\mathcal {L}}_{H}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\,{\frac {\partial \eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}\,-\,H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)\right\}\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;\mathrm {d} t,} معφ(x،ت)=Φ(x،η(x،ت)،ت){\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)=\Phi ({\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t)}قيمة جهد السرعة عند السطح الحر، وح(φ،η؛x،ت){\displaystyle H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)} كثافة الهاميلتوني - مجموع كثافة الطاقة الحركية والطاقة الكامنة - وترتبط بالهاميلتوني على النحو التالي: ح(φ،η)=∬ح(φ،η؛x،ت)دx.{\displaystyle {\mathcal {H}}(\varphi ,\eta )\,=\,\iint H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)\;\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}.}

تُكتب كثافة الهاميلتوني بدلالة جهد السطح باستخدام متطابقة غرين الثالثة على الطاقة الحركية: [ 9 ]

ح=12ρ1+|∇η|2φ(د(η)φ)+12ρزη2،{\displaystyle H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,{\sqrt {1\,+\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right|^{2}}}\;\;\varphi \,{\bigl (}D(\eta )\;\varphi {\bigr )}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},}

حيث D ( η ) φ تساوي المشتقة العمودية لـ ∂Φ/ ∂n عند السطح الحر. ونظرًا لخطية معادلة لابلاس - الصالحة داخل المائع والتي تعتمد على شرط الحدود عند قاع المائع z = −h والسطح الحر z = η - فإن المشتقة العمودية ∂Φ/∂n هي دالة خطية لجهد السطح φ ، ولكنها تعتمد بشكل غير خطي على ارتفاع السطح η . ويُعبَّر عن ذلك بواسطة مؤثر ديريشليه-نيومان D ( η ) ، الذي يعمل خطيًا على φ .

يمكن أيضًا كتابة كثافة الهاميلتوني على النحو التالي: [ 6 ]ح=12ρφ[w(1+|∇η|2)-∇η⋅∇φ]+12ρزη2،{\displaystyle H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\varphi \,{\Bigl [}w\,\left(1\,+\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right|^{2}\right)-\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,\varphi {\Bigr ]}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},} حيث w ( x , t ) = ∂Φ/∂z هي السرعة الرأسية عند السطح الحر z = η . كما أن w دالة خطية لجهد السطح φ من خلال معادلة لابلاس، لكن w تعتمد بشكل غير خطي على ارتفاع السطح η : [ 9 ]w=دبليو(η)φ،{\displaystyle w\,=\,W(\eta )\,\varphi ,} حيث تعمل الدالة W بشكل خطي على φ ، ولكنها غير خطية في η . ونتيجة لذلك، فإن الهاميلتوني دالة تربيعية للجهد السطحي φ . كما أن جزء طاقة الوضع في الهاميلتوني تربيعي أيضًا. مصدر اللاخطية في موجات الجاذبية السطحية هو الطاقة الحركية التي تعتمد بشكل غير خطي على شكل السطح الحر η . [ 9 ]

علاوة على ذلك، لا ينبغي الخلط بين ∇ φ والسرعة الأفقية ∇Φ عند السطح الحر:

∇φ=∇Φ(x،η(x،ت)،ت)=[∇Φ+∂Φ∂z∇η]z=η(x،ت)=[∇Φ]z=η(x،ت)+w∇η.{\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi \,=\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\bigl (}{\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t{\bigr )}\,=\,\left[{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\,=\,{\Bigl [}{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\Bigr ]}_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\,+\,w\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta .}

أخذ متغيرات لاغرانجيانلح{\displaystyle {\mathcal {L}}_{H}}فيما يتعلق بالمتغيرات الأساسيةφ(x،ت){\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}وη(x،ت){\displaystyle \eta ({\boldsymbol {x}},t)}أعطِ: ρ∂η∂ت=+دلتاحدلتاφ،ρ∂φ∂ت=-دلتاحدلتاη،{\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}}بشرط أن تحقق Φ في الجزء الداخلي السائل معادلة لابلاس، ΔΦ = 0 ، بالإضافة إلى شرط الحد السفلي عند z = − h و Φ = φ عند السطح الحر.

المراجع والملاحظات

  1. 1 2 ج. س. لوك (1967). "مبدأ تبايني لسائل ذي سطح حر". مجلة ميكانيكا الموائع . 27 (2): 395-397 . Bibcode : 1967JFM....27..395L . doi : 10.1017/S0022112067000412 . S2CID 123409273 . 
  2. ↑ إم دبليو دينغمانز (1997). انتشار موجات الماء فوق القيعان غير المستوية . سلسلة متقدمة في هندسة المحيطات. المجلد 13. سنغافورة: وورلد ساينتيفيك . ص 271. ISBN   981-02-0427-2.
  3. ↑ جي بي ويذام (1974). الموجات الخطية وغير الخطية . وايلي-إنترساينس . ص 555. ISBN  0-471-94090-9.
  4. 1 2 ف. إ. زاخاروف (1968). "استقرار الموجات الدورية ذات السعة المحدودة على سطح سائل عميق". مجلة الميكانيكا التطبيقية والفيزياء التقنية . 9 (2): 190-194 . Bibcode : 1968JAMTP...9..190Z . doi : 10.1007/BF00913182 . S2CID 55755251 . ظهرت في الأصل في Zhurnal Prildadnoi Mekhaniki i Tekhnicheskoi Fiziki 9 (2): 86–94، 1968.
  5. 1 2 ل. ج. ف. بروير (1974). "حول نظرية هاميلتون للأمواج السطحية". البحوث العلمية التطبيقية . 29 (1): 430-446 . Bibcode : 1974FTC....29..430B . doi : 10.1007/BF00384164 .
  6. 1 2 3 4 ج. و. مايلز (1977). "حول مبدأ هاميلتون للأمواج السطحية". مجلة ميكانيكا الموائع . 83 (1): 153-158 . Bibcode : 1977JFM....83..153M . doi : 10.1017/S0022112077001104 . S2CID 121777750 . 
  7. ↑ هـ. بيتمان (1929). "ملاحظات حول معادلة تفاضلية تظهر في الحركة ثنائية الأبعاد لسائل قابل للانضغاط والمسائل التغيرية المرتبطة بها" . وقائع الجمعية الملكية في لندن، السلسلة أ . 125 (799): 598-618 . رمز Bibcode : 1929RSPSA.125..598B . doi : 10.1098/rspa.1929.0189 .
  8. 1 2 3 جي. دبليو. ويذام (1974). الموجات الخطية وغير الخطية . نيويورك: وايلي . الصفحات 434-436 . ISBN  0-471-94090-9.
  9. 1 2 3 د. م. ميلدر (1977). "ملاحظة حول: 'مبدأ هاميلتون للأمواج السطحية'"مجلة ميكانيكا الموائع . 83 (1): 159-161 . Bibcode : 1977JFM .... 83..159M . doi : 10.1017/S0022112077001116 . S2CID 123609842 .